欧几里得87、利用代数基本定理证明√2是无理数

√2是无理数…证法4：

“仿上，得到a²=2b²（a的平方=2×b的平方），等式变形为b²=a²-b²=（a+b）（a-b）（b的平方=a的平方-b的平方=【a+b】【a-b】），因为b>1（见《欧几里得86》），因此存在质因数p，p整除a+b或a-b之一，或同时整除a+b与a-b…因此p能整除b…因为a²=2b²=2×b×b（a的平方=2×b的平方=2×b×b）…因此p能整除a…因此p是a、b的公因数——这与（a，b）=1矛盾…”寂寞de小老鼠说。

…寂寞de小老鼠：网友网名，见《欧几里得83》…

…仿上：模仿上面…

…质因数：见《欧几里得86》…

…（a，b）=1：a 与 b 最大的公因数是1，见《欧几里得84》…

“接下来的证法和‘证法3’中相同…”现代学者说。

…证法3：见《欧几里得86》…

证法5：利用代数基本定理

…

“根据代数基本定理，如果不考虑质因数的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成质数幂的积的形式，因此a=P₁^r1P₂^r2…P_m^rm（a=p₁的r₁次方×p₂的r₂次方×…×p_m的r_m次方），b=q₁^s1q₂^s2…q_n^sn（b=q₁的s₁次方×q₂的s₂次方×…×q_n的s_n次方），其中P₁，…，Pm与q₁，…，q_n都是质数，r₁，…，r_m与s₁，…，s_n都是正整数…”寂寞de小老鼠说。

…因数：见《欧几里得11》…

…幂：乘方运算的结果。n^m（n的m次方）指m个n相乘。把n^m（n的m次方）看作乘方的结果，叫做n的m次幂，也叫n的m次方…

“数学中的‘幂’，是‘幂’字面意思的引申…”现代学者说。

“‘幂’原指盖东西的布巾…数学中‘幂’是乘方的结果…而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的…就像在一个数上‘盖上了一头巾’…”现代学者接着说，“把乘方叫做幂，形式上很契合…”

“在现实中盖头巾又有升级的意思…把乘方叫做幂正好契合了数学中指数级数快速增长的含义…”现代学者继续说，“把乘方叫做幂，内容上也很契合…”

…指数：幂运算a（a≠0）（读作“a的n次方”）中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角。幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数，a（a的n次方）表示n个a连乘…

…参：检验，用其他有关材料来研究，考证某事物：～考。～照…

…参数：表明现象、机构、装置的某种性质的量。如导电率、导热率、膨胀系数等…

“因为a²=2b²（a的平方=2×b的平方），所以P₁^2r1P₂^2r2…P_m^2rm=2¹q₁^2s1q₂^2s2…q_n^2sn（P₁的2r₁次方×P₂的2r₂次方×…×P_m的2r_m次方=2的1次方×q₁的2s₁次方×q₂的2s₂次方×…×q_n的2s_n次方）”，质数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此√2是无理数…”寂寞de小老鼠接着说。

…

“不等式就是用大于（＞），小于（＜），大于等于（≥），小于等于（≤）连接而成的数学式子，它一般有如下八个基本性质：…

请看下集《欧几里得88、“√2是无理数”证法6；不等式的基本性质；连分数》”

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