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层次分析法—AHP

(2011-02-25 23:24:38)
标签:

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特征向量

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层次分析法

矩阵

杂谈

分类: 战略

 

第一单元   层次分析法AHP简介

(The Analgtic Hierarachy Process----AHP)

 

前言

最优化技术在决策分析中占着极重要的位置,数学模型在最优化技术中占着统治地位;由于系统越来复杂,数学模型也越来越复杂,掌握运用困难很多,并且随着复杂性增加,模型解与实际要求距离也在增加。事实上,数学模型也非万能,决策中大量因素无法定量表示,所以,有时人们不得不回到决策的起点和终点:——人的选择和判断,需要认真地研究选择和判断的规律,这就是AHP产生的背景。

匹兹堡大学Saaty教授于七十年代中期提出层次分析法AHP。于80年代初由Saaty的学生介绍到我国。

层次分析AHP的特点:

1. 输入信息主要是决策者的选择和判断。决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识;

2. 简洁性:基于高中知识,可不用计算机完成计算;

3. 实用性:能进行定量分析,也可定性分析;而通常最优化方法只能用于定量分析;

4. 系统性:

人们决策大致分三种:(因果判断、概率推断和系统推断),AHP把问题看作一个系统属于第三种,真正要搞清楚AHP原理,需要深刻的数学背景。好在我们只重应用,并不过多涉及AHP的数学背景。

AHP的主要不足在于:

1. AHP只能用于选择方案,而不能生成方案;主观性太强,从层次结构建立,判断矩阵的构造,均依赖决策人的主观判断,选择,偏好,若判断失误,即可能造成决策失误。

规划论——采用较严格的数学计算,把人的主观性降到最低程度;但有些决策结果令决策人难以接受。

AHP——从本质上讲是试图使人的判断条理化,所得结果基本上依据人的主观判断,当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲时,AHP的结果显然靠不住,所以,AHP中通常是群组判断方式。

尽管AHP在理论上尚不完善,应用中也有缺陷;但由于AHP简单、实用,仍被视为是多目标决策的有效方法,至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法。

 

§1  AHP预备知识(一)

1. 特征根与特征向量

n阶方阵,若存在常数 和非零n维向量 ,使得

                                             (1)

则称, 是矩阵A的特征根(或特征值),非零向量 是矩阵A关于特征根 的特征向量。

1.1 特征根的求法

由(1)得 ,这是一个n元一次线性齐次方程组,按题意该方程组有非零解,则其充分必要条件为:系数行列式为零,即

                                          2

称(2)式为矩阵A的特征方程,它是一个一元n次方程,由代数基本定理知,该方程有且只有n个根。

2. 重量模型

n个物体,重量分别是 。但是,我们并不知道物体的重量,只知两两之间重量比的比值:

 

设准则C为重量,问题是:

已知 ,在准则C下对元素 排序,也就是按其重量大小排序已知。

 

显然 满足(1)(2): 1

       2

                                   3

但是,(3)式通常不被满足,满足(1)、(2)的A为正互反矩阵;满足(1)、(2)并且(3)也成立时的 称为一致性判断矩阵。问题是:已知判断矩阵A,在准则C下对n个物体排序。即按重量大小排序。

如果, 是, 是重量的精确值,此时(3)式必定成立,即A是一致性矩阵。令

 

显见n是方阵A的特征根,gA的与 对应的特征向量;事实上此时不难验证:n是方阵A=(aij)的最大特征根,其余n-1个特征根全为零,而gA的与最大特征根n对应的特征向量。(证明见附录)gn个分量是物体的相对重量,因此,可按此对 排序。

如果对矩阵A有一个小的扰动,即 不再是真实重量的比值,这时显然A不满足一致性条件,此时A的最大特征根 不再是n;因扰动很小,自然 n不远,这时 对应的特征向量虽然不会是n个物体的真实重量 ,但是,变动也不会太大。我们设想:如果扰动不大,则 n就不远,此时 对应的特征向量 差不多,如果 不改变g的各分量的大小次序,则 同样给出n个物体 按重量大小的真实排序。

     这样,对不满足一致性的正互反矩阵 ,我们求其最大特征根 ,再求与 对应的特征向量g,则可按gn个物体 按重量大小排序。但是,这一番理论有几个疑点:①当A不满足一致性时,A还有没有最大正的特征根;②既使A有最大特征根,那么,这个最大特征根 对应的特征向量的全部分量能否还是正数?因为,该特征向量的各个分量对应的是n个物体的相对重量(特征向量乘一个非零常数仍是特征向量)。因为矩阵代数中Perro—Frobineus理论明确地回答了这个问题。

    Perro-Frobineus定理:

1. 正矩阵存在重数为1重的正特征根,其它特征根的模均小于这个正特征根,该正特征根对应的特征向量可以全部由正分量组成,经“归一化”处理后该特征向量是惟一的。(证明略)

Perron定理明白地告诉我们,对正的互反矩阵A,既使它不满足一致性,也一定存在最大正的实特征根,它对应的特征向量的各个分量都可以是正数,并且“归一化”后是惟一的。但是,我们能否按这个“归一化”后是惟一的特征向量对n个物体按重量大小排序呢?或说这个“归一化”后的特征向量是否会改变扰动前的一致性矩阵A的最大特征根 =n对应的特征向量的各分量间大小的排序呢?这个问题太难了,人们简直难于正面明确地回答,而只能给出一个并不是十分令人满意的简接回答。那就是对判断矩阵 的一致性满意程度进行检验:

我们说过,由于对A不大的扰动,最大特征根离n不应太远,所以一致性检验自然与n有关。我们可以证明:只要A的一致性不被满足,那么A的最大特征根 一定比n大,即 n>0。(证明略)

                                  

显然,我们希望 尽量小;但是, 小到什么程度,才能使 n对应的特征向量“归一化”后各分量大小次序不被破坏呢?这仍是一个非常非常困难的问题,可以说,人们难以正面回答这个问题。为此,Saaty给出了平均一致性检验值 。我们重复1000次,对随机判断矩阵A的最大特征根进行计算后求取算术平均值得到如下平均随机一致性检验指标如下:

 

阶数

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

R.I.

0

0

0.52

0.89

1.12

1.26

1.36

1.41

1.46

1.49

1.52

1.54

1.56

1.58

1.59

 

                                        

    时,认为判断矩阵A的一致性是可以被接受的。亦即当 时,就是说,当给定的判断矩阵 的一致性指标C.I.不超过平均随机一致性指标R.I.0.1倍时,认为判断矩阵 的一致性是可以被接受的。言外之意:此时的A 对应的特征向量“归一化”后,能给出n个物体 按重量大小的真实排序。明显看出这个回答不是正面的,也有些令人难以置信。但是,这已是目前为止最好的回答了,这也是AHP理论上不够严谨的问题。不过,从应用角度讲,当C.R.<0.1时,排序的正确性已为所有应用例子所证实。但是,当C.R.>0.1时,AHP不再适用,这时,只能回头考虑,变更递阶层次结构,或对判断矩阵A重新赋值。

    由此得层次分析法AHP的步骤如下。

    结论:

    1. 给了A后求 及相应特征向量;

    2. 将特征向量“规一”后,即得排序向量;

    3. 排序向量是否可信,须进行一致性检验,若检验难过则可信;否则重新检验A

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