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第二章  有理数

(2010-12-12 22:36:57)
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初中数学

杂谈

第二章 有理数. 2

§2.1 正数和负数. 3

1. 相反意义的量. 3

2. 正数与负数. 4

3. 有理数. 6

§2.2 数轴. 11

1. 数轴. 11

2.在数轴上比较数的大小. 13

§2.3 相反数. 18

§2.4 绝对值. 22

§2.5 有理数的大小比较. 27

§2.6 有理数的加法. 32

1. 有理数加法法则. 32

2. 有理数加法的运算律. 37

§2.7 有理数的减法. 42

§2.8 有理数的加减混合运算. 48

1. 加减法统一成加法. 48

2. 加法运算律在加减混合运算中的应用. 50

阅读材料--中国人最早使用负数. 53

§2.9 有理数的乘法. 55

1.有理数的乘法法则. 55

2.有理数乘法的运算律. 58

§2.10 有理数的除法. 66

§2.11 有理数的乘方. 71

阅读材料  1000 和3

§2.12 科学计数法. 75

阅读材料--光年和纳米. 77

§2.13 有理数的混合运算. 79

§2.14 近似数和有效数字. 84

§2.15 用计算器进行数的简单运算. 90

    阅读材料  从结绳计数到计算器

小结. 94

复习题. 96

 

第二章 有理数

 

在上面的天气预报电视屏幕上,我们看到,这一天上海的最低温度是-5℃,读作负5℃,表示零下5℃。这里,出现了一种新数——负数.

我们将会看到,除了表示温度以外,还有许多量需要用负数来表示.有了负数,数的家族引进了新的成员,将变得更加绚丽多彩,更加便于应用.

本章将引进负数,并研究有理数的大小比较和运算.

§2.1 正数和负数

回忆

我们已经学过哪些数?它们是怎样产生和发展起来的?

我们知道,为了表示物体的个数或事物的顺序,产生了数1,2,3,...; 为了表示“没有”,引入了数0;有时分配、测量的结果不是整数,需要用分数(小数)表示. 总之,数是为了满足生产和生活的需要而产生发展起来的.

1. 相反意义的量

在日常生活中,常会遇到这样的一些量:

例1 汽车向东行驶3公里和向西行驶2公里;

例2 温度是零上10℃和零下5℃;

例3 收入500元和支出237元;

例4 水位升高5.5米和下降3.6米等等.

例5买进100辆自行车和卖出20辆自行车。

这里出现的每一对量,虽然有着不同的具体内容,但有着一个共同特点,它们都是具有相反意义的量,向东和向西、零上和零下;收入和支出;升高和下降都具有相反的意义.

这些例子中出现的每一对量,有什么共同特点?

你能再举出几个日常生活中的具有相反意义的量吗?

2. 正数与负数

只用原来的那些数很难区分量的相反意义. 例如,零上5℃用5表示, 那么零下5℃就不能仍用同一个数5来表示.

在天气预报的电视屏幕上我们发现,零下5℃可以用-5℃来表示. 一般地,对于具有相反意义的量,我们可把其中一种意义的量规定为正的,用过去学过的数表示,把与它意义相反的量规定为负的,用过去学过的数(零除外)前面放上一个“-”(读作负)号来表示.

就拿温度为例,通常规定零上为正,于是零下为负,零上10℃就用10℃表示,零下5℃用 -5℃来表示.

在例1中,如果规定向东为正,那么向西为负.汽车向东行驶3公里记作3公里,向西2公里应记作-2公里.

在例3中,如果规定收入为正,收入500元记作500元,支出237元应记作什么?

在例4和例5中,我们如何表示这些具有相反意义的量呢?

为了表示具有相反意义的量, 我们引进了象-5,-2,-237,-3.6这样的数, 这是一种新数,叫做负数(negative number). 过去学过的那些数(零除外),如10,3,500,5.5等,叫做正数(positive number). 正数前面有时也可放上一个"+"号, 如5可以写成+5, +5和5是一样的.

注意

 0既不是正数,也不是负数.

练习

1.  将你所举出的具有相反意义的量用正数或负数来表示.

2.在中国地形图上,在珠穆朗 玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明它们的高度的数,如图所示.这个数通常称为海拔高度,它是相对于海平面来说的.请说出图中所示的数8844和-155表示的实际意义。海平面的高度用什么数表示? 

3.下列各数中,哪些是正数?哪些是负数?

+6;-21;54;0; ;-3.14;0.001;-999

4.“一个数,如果不是正数,必定就是负数.”这句话对不对?为什么?

3. 有理数

引进了负数以后,我们学过的数就可以分为以下几类: 

正整数,如1,2,3,...;

零: 0;

负整数, 如-1,-2,-3,...;

正分数, 如 , ,4.5(即 );

负分数, 如- , ,-0.3(即 ), ....

正整数、零和负整数统称整数(integers),正分数和负分数统称分数(fractions).

整数和分数统称有理数(rational numbers).

我们可以作出如下的分类表:

 

把一些数放在一起,就组成一个数的集合,简称数集(set of numbers).所有的有理数组成的 数集叫做有理数集.类似地,所有的整数组成的数集叫做整数集,所有的正数组成的数集叫做正数集,所有的负数组成的数集叫做负数集,如此等等.

6 把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里: -18,  , 3.1416, 0, 2001,  , -0.142857, 95%

 

                 

   

     正整数                       负整数

 

 

       整数集                  有理数集

 

 

, 3,2001, 95%        -18,  , -0.142857

     正整数                       负整数

 

-18,0,2001          -18,  , 3.1416, 0, 2001,  , -0.142857, 95%

整数集                  有理数集

练习

1. 请说出两个正整数, 两个负整数, 两个正分数,两个负分数.它们都是有理数吗?

2. 有理数集中有没有这样的数,它既不是正数,也不是负数? 如有,这样的数有几个?

3. 下面两个圆圈分别表示正数集合和整数集合,请在这两个圆圈内填入六个数,其中有三个数既在正数集合内, 又在整数集合内.这三个数应填在哪里? 你能说出这两个圆圈的重叠部分表示什么数的集合吗?

 

正数集      整数集

 

习题2.1

1. 下列各数,哪些是整数,哪些是分数? 哪些是正数,哪些是负数?

1, -0.10, ,-789, 325, 0,-20, 10.10, 1000.1

2.把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里:

, 0.618, -3.14, 260, -2001, , , -5%

 

整数集                      分数集

 

 

负数集                     有理数集

3.下面的大括号表示一些数的集合,把第1、2两题中的各数填入相应的大括号里:

正整数集:{                     

负整数集:{    }

正分数集:{                      

负分数集:{    }

4观察下面依次排列的一列数,它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数,你能说出第100个数、第2000个数、第2001个数是什么吗?

(1)1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,     ,     ,     ,......;

(2)1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,     ,     ,     ,......;

(3)-1, ,- , , , , ,           ,......

§2.2 数轴

1. 数轴

我们在小学学习数学时,就能用直线上依次排列的点来表示自然数,它帮助我们认识了自然数的大小关系.

如图2.2.1,温度计上有刻度,可以方便地读出温度的度数,并且可以区分出是零上还是零下。

与温度计相仿,我们可以在一条直线上规定一个正方向,就可以用这条直线上的点表示正数、零和负数.

(图2-2-1)  体做法如下:

画一条直线(通常画成水平位置),在这条直线上任取一点作为原点,用这点表示0.规定直线 图2-2-1上从原点向右为正方向,画上箭头,那么相反方向为负方向. 再选取适当的长度作为单位长度,从原点向右每隔一个单位长度取一点,依次标上1,2,3,…;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次标上-1,-2,-3,…(图2-2-2).

 

                   图2-2-2

概括

象这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 .

在数轴上画出表示有理数的点,可以先由这个数的符号确定它在数轴上原点的哪一个方向,再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度.

1. 画出数轴,并在数轴上画出表示下列各数的点:

4,-2,-4.5, ,0 .

如图2-2-3所示

 

图2-2-3

练习

 1.下列各图表示数轴是否正确?为什么?

 

 

 

 

 

 

2.指出数轴上点A、B、C、D分别表示什么数.

 

 3.画出数轴,并在数轴上画出表示下列各数的点:

-1.8,0,-3.5, ,

再按数轴上从左到右的顺序,将这些数重新排成一行.

 

2.在数轴上比较数的大小

在小学里,我们已经学会了比较两个正数的大小,那么,引进负数以后,怎样比较任意两个有利数的大小呢?例如,1与-2那个大?-1与0哪个大?-3-4哪个大?

探索

(1)           任意写出两个正数,在数轴上画出表示它们的点,较大的数与较小的数的对应点的位置有什么关系?

(2)           1℃和-2℃那个温度高?-1℃与0℃哪个温度高?这个关系在温度计上表现为怎样的情况?

把温度计横过来放,就像一条数轴,能否从中发现在数轴上怎样比较两个有理数的大小?

概括

我们发现,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.

根据有理数在数轴上表示的相对位置,在应用中我们也常说:正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数.

2 将有理数3,0, ,-4按从小到大顺序排列,用“<”号连接起来.

正数 <3,由正、负数大小比较法则,得

-4<0< <3 .

3 比较下列各数的大小:

 -1.3,0.3,-3,-5 .

将这些数分别在数轴上表示出来(图2-2-4):

 

 图2-2-4

所以 -5<-3<-1.3<0.3

练习

1.判断下列各式是否正确:

 ⑴ 2.9>-3.1; ⑵ 0<-14;

 ⑶ -10>-9; ⑷ -5.4<-4.5

2.用“<”号或“>”号填空:

 ⑴ 3.6   2.5; ⑵ -3   0;

 ⑶ -16   -1.6; ⑷ +1   -10;

 ⑸ -2.1    +2.1; ⑹ -9    -7

习题2.2

1. 指出数轴上A、B、C、D各点所表示的数:

 

2. 分别画出数轴,并在数轴上画出表示下列各数的点:

 ⑴ -2.1,-3,0.5, ;

 ⑵ -50,250,0,-400 .

3. 指出在数轴上表示下列各数的点分别位于原点的哪边,与原点距离多少个单位长度:

 -3,4.2,-1, .

4. 如下图,一个点从数轴上原点开始,先向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度. 可以看出,终点表示数-2.

 

已知A、 B是数轴上的点.

(1)如果点A表示 数-3,将A向右移动7个单位长度,那么终点表示数  

(2)如果点A表示数3, 将A向左移动7个单位长度,再向右移动5个单位长度,那么终点表示数  

(3)如果将点B向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度,终点表示的数是0,那么点B所表示的数是   .

5. 比较下列每对数的大小:

 (1)-8,-6;   (2)-5, 0.1;

 (3 ,0;    (4)-4.2;-5.1;

 (5) , ;  (6) ,0 ;

6. 画出数轴,把下列各组数分别在数轴上表示出来,并按从小到大顺序排列,用“<”连接起来:

(1)1,-2,3,-4;

(2) ,0 ,-3 ,0.2.

7. 下表是某年一月份我国几个城市的平均气温,将各城市按平均气温从高到低的顺序排列.

 

8. 下列各数是否存在?有的话把他们找出来:

(1) 最小的正整数;

(2) 最小的负整数;

(3) 最大的负整数;

(4) 最小的整数.

 

§2.3 相反数

做一做

在数轴上,画出表示一下两对数的点:

-6和6,1.5和-1.5

这两对点,各有哪些相同?哪些不同?

如图2.3.1,在数轴上在数轴上(图2-3-1),-6和6位于原点两旁,且与原点的距离相等,也就是说,它们对于原点的位置只有方向不同。1.5 和 -1.5也是这样.

 

                       图2-3-1

    容易看出,每对数中的两个数,都只有符号不同。

概括

象这样只有符号不同的两个数称互为相反数 (opposite number).如 和- 互为相反数.即 是- 的相反数. - 是   的相反数.

在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁,且与原点的距离相等.

我们还规定:0的相反数是0.

是否还有相反数等于本身的数?

1 分别写出下列各数的相反数:

 5,-7,- ,+11.2.

: 5的相反数是-5.

   -7的相反数是7.

   - 的相反数是 .

   +11.2的相反数是-11.2.

我们通常把在一个数前面添上“-”号,表示这个数的相反数.例如 -(-4)=4, -(+5.5)=-5.5,- 0 = 0.

同样,在一个数前面添上“+”号,表示这个数本身.

例如 +(-4)=-4,+(+12)=12,+ 0 = 0.

 2 化简下列各数:

 (1)-(+10); (2)+(-0.15);

 (3)+(+3); (4)-(-20).

解 (1)-(+10)=-10.

 (2)+(-0.15)=-0.15.

 (3)+(+3)=+3 = 3.

 (4)-(-20)=20.

练习

1. 填空:

(1)2.5的相反数是    

(2)    是-100的相反数;

(3) 是     的相反数;

(4)     的相反数是-1.1;

(5)8.2和     互为相反数.

2. 化简下列各数:

(1) -(+0.78);      (2)+(+ );

(2)  (3)-(-3 .14); (4)+(-10.1).

3. 判断下列语句是否正确,为什么?

(1) 符号相反的两个数叫做互为相反数;

(2)互为相反数的两个数不一定一个是正数,一个是负数;

(3)相反数和我们以前学过的倒数是一样的.

 习题2.3

1. 分别写出下列各数的相反数:

-2.5,1,0, ,-(+10).

2. 画出数轴,在数轴上表示下列各数及它们的相反数:

  ,-2,0,-3.75.

 3. 化简下列各数:

(1)-(-16); (2)-(+25);

(3)+(-12); (4)+(+2.1);

(5)-(+33); (6)-(- ).

4. 回答下列问题:

(1) 什么数的相反数大于本身?

(2) 什么数的相反数等于本身?

(3) 什么数的相反数小于本身?

 

§2.4 绝对值

观察

在一些量的计算中,有时并不注重其方向.例如为了计算汽车行驶所耗汽油,起主要作用的是汽车行驶的路程而不是行驶的方向.

在讨论数轴上的点与原点的距离时,只需要观察它与原点之间相隔多少个单位长度,与位于原点何方无关.

我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值( absolute value ).记作|a|

例如,在数轴上表示数-6与表示数6的点与原点的距离都是6,所以-6和6的绝对值都是6,记作|-6|=|6|=6.同样可知|-4|=4,|+1.7|=1.7.

试一试:

 (1)|+2|=     , =     ,|+8.2|=    

(2)|0|=    

(3)|-3|=     ,|-0.2|=     ,|-8.2|=     .

概括

由绝对值的意义,我们可以知道:

1. 一个正数的绝对值是它本身;

2.  0的绝对值是0;

3. 一个负数的绝对值是它的相反数.

试一试

你能将上面的结论用数学式子表示吗?

1.  当a>0时,│a│=            

2.  当a=0时,│a│=            

3.  当a<0时,│a│=            

由此可以看出,不论有理数a取何值,它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数).即对任意有理数a,总有

|a|≥0.

1 求下列各数的绝对值:

- , ,-4.75,10.5

 

│- │=

=

|-4.75|=4.75

|10.5|=10.5.

2 化简:

(1) ;         (2)

(1)  ;

(2)

练习

1. 求下列各数的绝对值:

-5,4.5,-0.5,+1,0.

2. 填空:

(1)-3的符号是     ,绝对值是    

(2)符号是“+”号,绝对是7的数是    

(3)10.5的符号是     ,绝对值是    

(4)绝对值是5.1,符号是“-”号的数是      .

3. 回答下列问题:

(1) 绝对值是12的数有几个?是什么?

(2) 绝对值是0的数有几个?是什么?

(3) 有没有绝对值是-3的数?为什么?

习题2.4

1. 在数轴上表示下列各数,并分别写出它们的绝对值:

,5,0,-2,4.2

2. 化简:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) .

3. 计算:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) .

4. 下列判断是否正确?为什么?

(1) 有理数的绝对值一定是正数;

(2) 如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等;

(3) 如果一个数是正数,那么这个数的绝对值是它本身;

(4) 如果一个数的绝对值是它本身,那么这个数是正数.

 

§2.5 有理数的大小比较

由2.2节我们知道,在数轴上表示的两个有理数,左边的数总比右边的数小.正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数。

那么,怎样表较两个负数的大小呢?

例如:-2与-5哪个大?

探索

在数轴上,画出表示-2和-5的点,这两个数中哪个较大?

从中你能概括出直接比较两个负数大小的法则来吗?说说你的道理。

概括

我们发现:两个负数,绝对值大的反而小.

这是因为,在数轴上表示两个负数的两个点中,与原点距离较大的那个点在左边。

例如,比较两个负数 和 的大小:

① 先分别求出它们的绝对值:

= =

② 比较绝对值的大小:

因为

 

所以

 

③ 得出结论:

 

 1 比较下列各对数的大小:

(1)   -1与-0.01;

(2)   与0

(3)   -0.3与

(4)  

(1)这是两个负数比较大小,

因为|-1|=1, |-0.01|=0.01,

且 1>0.01,

所以 -1< -0.01 .

(2) 化简 -|-2|=-2,

因为负数小于0,

所以-|-2| < 0 .

(3) 这是两个负数比较大小,

因为|-0.3|=0.3,

且 0.3 < ,

所以

(4) 分别化简两数,得

 

因为正数大于负数,所以

 

练习

1. 用“<”号或“>”填 空:

(1)因为      ,所以    

 (2)因为 |-10|     |-100| ;所以 -10     -100 .

2. 判断下列各式是否正确:

(1)

(2)

(3) >

(4) <

3. 比较下列各对数的大小;

(1) 与

(2) 与-0.618

4. 回答下列问题:

(1) 大于-4的负整数有几个?

(2) 小于4的正整数有几个?

(3) 大于-4且小于4的整数有几个?

习题 2.5

1. 比较下列每对数的大小:

(1) 与 ;

(2)-9.1与-9.099;

(3)-8与 |-8| ;

(4)-|-3.2|与-(+3.2).

2. 将有理数0,-3.14, ,2.7,-4,0.14按 从小到大的顺序排列,用“<”号连接起来.

3. 写出绝对值小于5的所有整数,并在数轴上表示出来.

4. 回答下列问题:

(1) 有没有最小的正数?有没有最大的负数?为什么?

(2) 有没有绝对值最小的有理数?把它写出来.

§2.6 有理数的加法

1. 有理数加法法则

问题

小明在一条东西向的跑道,先走了20米,又走了30米,能否确定他现在位于原来位置的哪个方向,相距多少米?

我们知道,求两次运动的总结果,可以用加法来解答.可是上述问题不能得到确定答案,因为小明最后的位置与行走方向有关.

试验

我们必须把问题说得明确些,并规定向东为正,向西为负.

(1)若两次都是向东走,很明显,一共向东走 了50米,写成算式就是

(+20)+(+30)=+50,

即这位同学位于原来位置的东方50米处.

这一运算在数轴上表示如图2-6-1.

 

                    图2-6-1

(2)若两次都是向西走,则他现在位于原来位 置的西方50米处,写成算式就是

(-20)+(-30)=-50 .

 (3)若第一次向东走20米,第二次向西走30米,我们先在数轴上表示如图2-6-2.

 

                            图2-6-2

写成算式是(+20)+(-30)=-10,

即这位同学位于原来位置的西方10米处.

 (4)若第一次向西走20米,第二次向东走30米,写成算式是

(-20)+(+30)=(   ).

即这位同学位于原来位置的(   )方(   )米处.

后两种情形中两个加数符号不同(通常可称异号),所得和的符号似乎不能确定,让我们再试几次(下式中的加数不仿仍可看作运动的方向和路程):

(+4)+(-3)=(   );

(+3)+(-10)=(   );

(-5)+(+7)=(   );

(-6)+ 2 = (   ).

再看两种特殊情形:

 (5)第一次向西走了30米,第二次向东走了30米.写成算式是

(-30)+(+30)=(   ).

 (6)第一次向西走了30米,第二次没走.写成算式是

(-30)+ 0 =(   ).

探索

从上述(1)-(6)中所写出的算式,你能总结出一些规律?

概括

综合以上情形,我们得到有理数的加法法则:

1. 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

2. 绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

3. 互为相反数的两个数相加得0;

4. 一个数同0相加,仍得这个数.

注意

一个有理数由符号和绝对值两部分组成,所以进行加法运算时,必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同.

1 计算:

(1)             (+2)+(-11);

(2)             (+20)+(+12);

(3)             ;

(4)             (-3.4)+4.3

(1)             (+2)+(-11)=-(11-2)=-9;

(2)             (+20)+(+12)=+(20+12)=+32=32;

(3)             ;

(4)             (-3.4)+4.3=+(4.3-3.4)=0.9

练习

1. 填 表:

 

2. 计算:

(1)             10+(-4);

(2)             (+9)+7;

(3)             (-15)+(-32);

(4)             (-9)+0;

(5)             100+(-199);

(6)             (-0.5)+4.4;

(7)             +(1.25);

(8)            

3. 填 空:

(1)(   )+(-3)=-8;

(2)(   )+(-3)= 8;

(3)(-3)+(   )=-1;

(4)(-3)+(   )= 0 .

4.两个有理数相加,和是否一定大于每个加数?

2. 有理数加法的运算律

在小学里我们知道,数的加法满足交换率,例如有

5+3.5=3.5+5

还满足结合律,例如有

(5+3.5)+2.5=5+(3.5+2.5)

引进了负数以后,这些运算率是否还成立?也就是说,上面两个等式中,将5、3.5和2.5换成任意的有理数,是否依然成立?

探索

(1)          任意选择两个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□和○内,并比较两个运算结果:

□ + ○和○ + □

(2)任意选择三个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□、○和◇内,并比较两个运算结果:

( □ + ○ )+ ◇ 和□ +( ○ + ◇ ).

概括

有理数的加法仍满足加法交换率和结合律。

加法交换率:两个数相加,交换加数的位置,和不变。

a+b=b+a

加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.

( a + b )+ c = a + ( b + c )

这样,多个有理数相加,可以任意交换加数的位置,也可先把其中的几个数相加,使计算简化.

2 计算:

(1) (+26)+(-18)+5+(-16)

(2)

(1)(+26)+(-18)+5+(-16)

 =(26+5)+[(-18)+(-16)]

 = 31+(-34)= -(34-31)= - 3 .

(2)

=

=

=

=

=

=

  10筐苹果,以每筐30千克为准,超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,记录如下:

2,-4,2.5,3,-0.5,1.5,3,-1,0,-2.5.

求这10 筐苹果的总重量.

2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5)

 = (2+3+3)+(-4)+[2.5+(-2.5)]+[(-0.5)+(-1)+1.5]

 =8+(-4)= 4 .

 30×10 + 4 = 304 .

答:10筐苹果总重量是304千克.

练习

1. 计算:

(1)             (-7)+(+10)+(-11)+(-2);

(2)             2+(-3)+(+4)+(-5)+6;

 (3)

2. 某天气温从早晨-3℃到中午升高了5℃,到晚上降低了3℃,到午夜又降低了4℃.求午夜时的温度.

习题 2.6

1. 计算:

(1)(-12)+(+3); (2)(+15)+(-4);

(3)(-16)+(-8); (4)(+23)+(+24);

(5)(-102)+132; (6)(-32)+(-11);

(7)(-35)+0; (8)78+(-85).

2. 计算:

(1)             (-0.9)+(+1.5);

(2)             (+6.5)+3.7;

(3)             1.5+(-8.5);

(4)             (-4.1)+(-1.9);

(5)             ;

(6)            

3. 计算:

(1)             (+14)+(-4)+(-2)+(+26)+(-3);

(2)             (-83)+(+26)+(-41)+(+15);

(3)             (-1.8)+(+0.7)+(-0.9)+1.3+(-0.2);

(4)             .

4. 列式并计算:

(1)求+1.2的相反数与-3.1的绝对值的和;

(2) 与 的和的相反数是多少?

5. 利用有理数加法解下列各题:

(1) 存折中原有550元,取出260元,又存入150元,现在存折中还有多少钱?

(2) 潜水艇原停于海面下800米处,先上浮150米,又下潜200米.这时潜水艇在海面下多少米处?

(3) 仓库内原存某种原料3500千克,一周内存入和领出情况如如下(存入为正,单位千克): 1500,-300,-650,600,-1800,-250,-200.问第七天末仓库内还存这种原料多少千克?

(4) 某公路养护小组乘车沿东西向公路巡视维护.某天早晨从A地出发,晚上到达B地.约定向东为正方向,行走记录如下(单位千米):

+18,-9,+7,-14,-6,+13,-6,-8.

问B地在A地何方,相距多少千米?若汽车行驶每千米耗油a升,求该天自出发至回到A地共耗油多少?

 

§2.7 有理数的减法

做一做

珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的海拔高度分别是8844米和-155米,问珠穆朗玛峰比吐鲁番盆地高多少?

这一问题通常可列出算式

8844-(-155)

那么,怎样进行有理数的减法呢?我们不妨先看一个简单的问题:

计算

(-8)-(-3)

根据减法的意义,就是求一个数?使

( ? )+(-3)=-8.

根据有理数加法运算,有

(-5)+(-3)=-8,

所以 (-8)-(-3)=-5. ①

 试一试

填空:(-8)+(   )=-5,

容易得到(-8)+(+3)=-5. ②

比较①、②两式,我们发现:-8“减去-3”与“加上+3”结果是相等的.即

(-8)-(-3)=(-8)+(+3)

概括

从上述结果我们可以发现:

减去一个数,等于加上这个数的相反数.

这就是 有理数减法法则。

1 计算:

(1)(-32)-(+5); (2)7.3-(-6.8);

(3)(-2)-(-25); (4)12-21 .

减号变加号

 


(1)(-32) -(+5)=(-32)+(-5)=-37.

 


        减数变相反数

      减号变加号

 


 (2)7.3-(-6.8)=7.3 + 6.8 =14.1 .

 


减数变相反数

(注意:两处必须同时改变符号.)

(3)(-2)-(-25)=(-2)+25=23 .

(4)12-21 = 12+(-21)= -9 .

练习

1. 下列括号内各应填什么数?

 (1)(+2)-(-3)=(-2)+(  );

 (2)0 - (-4)= 0 +(  );

 (3)(-6)- 3 =(-6)+(  );

 (4)1 - (+39) = 1 +(  ).

2. 计算:

(1)             (+3)-(-2);

(2)             (-1)-(+2);

(3)             0-(-3);

(4)             1-5;

(5)             (-23)-(-12);

(6)             (-1.3)-2.6;

(7)             ;

(8)            

3. 填空:

(1)温度3℃比-8℃高    

(2)温度-9℃比-1℃低    

(3)海拔高度-20m比-180m高    

(4)从海拔22m到-50m,下降了     .

习题 2.7

1. 计算:

(1)(-14)-(+15); (2)(-14)-(-16);

(3)(+12)-(-9); (4)12-(+17);

(5)0-(+52); (6)108-(-11).

2. 计算:

(1)             4.8-(+2.3);

(2)             (-1.24)-(+4.76);

(3)             (-3.28)-1;

(4)             ;

(5)             ;

(6)            

3. 计算:

(1) [(-4)-(+7)]-(-5);

(2)3-[(-3)-12];

(3)8-(9-10);

(4)(3-5)-(6-10).

4. 某地连续五天内每天的最高气温与最低气温记录如下,哪一天的温差(最高气温与最低气温的差)最大,哪天的温差最小?

 

5.某一矿井的示意图如右:以地面为准A点的高度是+4.2米,B、C两点的高度分别是-15.6米与-30.5米。A点比B点高多少?比C点呢?

6.求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离。

(1)             3与-2.2;

(2)             与 ;

(3)             -4与-4.5;

(4)             与 。

你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗?

§2.8 有理数的加减混合运算

1. 加减法统一成加法

算式(-8)-(-10)+(-6)-(+4)是有理数的加减混合运算,可以按照运算顺序,从左到右逐一计算.通常也可以应用有理数的减法法则,把它改写成(-8)+(+10)+(-6)+(-4),统一为只有加法运算的和式.

在一个和式里,通常把各个加号省略不写.如上式可写成省略加号的和的形式(和式中第一个加数同时省略括号,若是正数,正号也省略不写.):

 -8 + 10 - 6 - 4 .

这个式子仍看作和式,读作“负8、正10、负6、负4的和”.按运算意义也可读作“负8加10 减6减4”.

1 把 写成省略加号的和的形式,并把它读出来.

 

=

=

读作:“ 的和”。

练习

1.把下列各式写成省略加号的和的形式,并说出它们的两种读法.

(1)(-12)-(+8)+(-6)-(-5);

(2)(+3.7)-(-2.1)-1.8+(-2.6).

2.按运算顺序直接计算:

(1)             (-16)+(+20)-(+10)-(-11);

(2)            

2. 加法运算律在加减混合运算中的应用

联想

在有理数加法运算中,通常适当应用加法运算律,可使计算简化.有理数的加减混合运算统一成加法后,一般也应注意运算的合理性.

1 计算:

(1)   -24+3.2-16-3.5+0.3;

(2)  

  (1)因为原式表示-24,3.2,-16,-3.5,0.3的和,所以可将加数适当交换位置,并作适当的结合进行计算,即

-24+3.2-16-3.5+0.3

=-24-16+3.2+0.3-3.5

=-40 .

(2)

=

=

=

=

=

练习

1. 下列交换加数位置的变形是否正确?

(1) 1-4+5-4=1-4+4-5 ;

(2) 1-2+3-4=2-1+4-3;

(3)             4.5-1.7-2.5+1.8=4.5-2.5+1.8-1.7;

(4)

 

2. 计算:

(1)  0-1+2-3+4-5;

(2) –4.2+5.7-8.4+10.2;

(3) –30-11-(-10)+(-12)+18;

(4)

习题 2.8

1. 按运算顺序直接运算:

(1)             (-7)-(-10)+(-8)-(+2);

(2)             ;

(3)             ;

(4)             (-1.2)+[1-(-0.3)]

2.将下式写成省略加号的和的形式,并按括号内要求交换加数的位置:

(1)(+16)+(-29)-(-7)-(+11)+(+9)

 (使符号相同的加数在一起);

(2)(-3.1)-(-4.5)+(+4.4)-(+1.3)+ (-2.5)

(使和为整数的加数在一起);

(3)

 (使分母相同或便于通分的加数在一起);

(4)

(使计算简便)

3. 计算:

4. 当a=-2.1,b=1.2,c=-3.4时,

求下列各式的值:

 (1)a+b-c; (2)(b-a)-(c+b).

阅读材料--中国人最早使用负数

——《九章算术》和我国古代的“正负术”

《九章算术》是中国古典数学最重要的一部著作。这部著作的成书年代,根据现在的考证,至迟在公元前一世纪,但其中的数学内容,有些也可以追溯到周代。《九章算术》采用问题集的形式,全书246个问题,分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、赢不足、方程、勾股等九章,其中所包含的数学成就是十分丰富的。

引进和使用负数是《九章算术》的一项突出的贡献。在《九章算术》的“方程术”中,当用遍乘直除算法消元时,可能出现减数大于被减数的情形,为此,就需要引进负数《九章算术》在方程章中提出了如下的“正负术”: “同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之。其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。”

这实际上就是正负术的加减运算法则。“同名”、“异名”分别指同号、异号;“相益”、“相除”分别指两数的绝对值相加、相减。前四句说的是正负数和零的减法法则,后四句说的是正负数和零的加法法则。用符号表示,设a>b>0,这八句话可以表示为:

(±a)-(±b)=±(a-b);

(±a)-(μb)=±(a+b);

0-a=-a;

0-(-a)=+a;

(±a)+(μb)=±(a-b),(±b)+(μa)=μ(a-b);

(±a)+(±b)=±(a-b);

0+a=+a;

0+(-a)=-a。

不难看出,所有这些是与我们所学的有理数加减法法则是完全一致的。

《九章算术》以后,魏晋时期的数学家刘徽对负数的出现就作了很自然的解释:“两算得失相反,要令正负以名之”,并主张在筹算中用红筹代表正数,黑筹代表负数。

在国外,负数的出现和使用要比我国迟好几百年,直到七世纪时印度数学家才开始使用负数。而在欧洲,直到十六世纪韦达的著作还拒绝使用负数。

§2.9 有理数的乘法

1.有理数的乘法法则

问题1  一只小虫沿一条东西向的跑道,以每分钟3米的速度向东爬行2分钟,那么它现在位于原来的位置的那个方向,相距多少米?

我们知道,这个问题可用乘法来解答:

3×2=6,

即小虫位于原来位置的东方6米处.

注意: 这里我们规定向东为正,向西为负。

如果上述问题变为:

问题2  小虫向西以每分钟3米的速度爬行2分钟,那么结果有何变化?这也不难,写成算式就是:

(-3)×2=-6,

即小虫位于原来位置的西方6米处。

比较上面两个算式,有什么发现?

当我们把“3×2=6”中的一个因数“3”换成它的相反数“-3”时,所得的积是原来的积“6”的相反数“-6”,一般地,我们有:

两数相乘,若把一个因数换成它的相反数,所得的积是原来的积的相反数.

试一试

3×(-2)=?

与3×2=6相比较,这里把一个因数“2”换成了它的相反数“-2”,所得的积是原来的积“6”的相反数“-6”,即

3×(-2)=-6.

再试一试:(-3)×(-2)=?

把上式与(-3)×2=-6对比,这里把一个因数“2”换成了它的相反数“-2”,所得的积是原来的积“-6”的相反数“6”,即(-3)×(-2)=6

此外,如果有一个因数是0时,所得的积还是0,如(-3)×0=0、0×2=0.

概括:综合以上各种情况,我们有有理数乘法法则:

两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对植相乘.

任何数同0相乘,都得0.

例如:

(-5)×(-3)··················同号两数相乘

(-5)×(-3)=+( )················得正

5×3=15····················把绝对值相乘

所以 (-5)×(-3)=15.

再如:

(-6)×4····················异号两数相乘

(-6)×4=-( )···················得负

6×4=24····················把绝对值相乘

所以 (-6)×4=-24.

1 计算:

(1)             (-5)×(-6);

(2)            

(1)             (-5)×(-6)=30;

(2)            

练习

1.确定下列两数的积的符号:

(1)             5×(-3);

(2)             (-3)×3;

(3)             (-2)×(-7);

(4)            

2.计算:

(1)             3×(-4);

(2)             (-5)×2;

(3)             (-6)×2;

(4)             6×(-2);

(5)             (-6)×0;

(6)             0×(-6);

(7)             (-4)×0.25;

(8)             (-0.5)×(-8);

(9)             ;

(10)        ;

(11)        (-5)×2;

(12)        2×(-5)

3.计算:

(1)             3×(-1);

(2)             (2)(-5)×(-1);

(3) ;

(4)0×(-1);

(5)             (-6)×1;

(6)             (6)2×1;

(7)             0×1;

(8)             (8)1×(-1).

2.有理数乘法的运算律

概括

有理数的乘法仍满足交换率和结合律。

乘法交换律: 两个数相乘,交换因数的位置,积不变。

ab=ba.

乘法结合律: 三个数相乘,先把前两个数相积乘,或者先把后两个数相乘,积不变.

(ab)c=a(bc).

根据乘法交换律和结合律可以推出:三个以上有理数相乘,可以任意交换乘数的位置,也可以先把其中的几个数相乘.

2 计算:

(-10) × ×0.1×6

(-10) × ×0.1×6

= [(-10) ×0.1] ×

= (-1) ×2 = - 2

能直接写出下列各式的结果吗?

(-10) × ×0.1×6 =     

(-10) × ×(-0.1)×6 =     

(-10) × ×(-0.1)×( -6 )=     

观察以上各式,能发现几个正数与负数相乘,积的符号与各因数的符号之间的关系吗?

一般地,我们有几个:不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.

几个不等于0的数相乘,首先确定积的符号,然后把绝对值相乘.

思考

三个数相乘,积为负,其中可能有几个因数为负数?四个数相乘,积为正,这四个数中是否可能有负数?

试一试:

 

 

几个数相乘,有一个因数为0,积就为0.

3 计算:

(1) ;

(2)

(1) = = 8+3=11

(2) = =

练习

1.计算:

(1)

(2)

(3)

2.计算:

(1)

(2)

(3)

(4)

小学里我们还学过乘法分配律,例如

6*(1/2+1/3)=6*1/2+6*1/3

概括

有理数的乘法仍满足分配律:

一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.

a(b+c)=ab+ac.

 4 计算:

(1) ;

(2)

(1)             ;

(2)            

5 计算:

(1)             4×(-12)+(-5)×(-8)+16

(2)            

(1)             4×(-12)+(-5)×(-8)+16=8×(-6+5+2)=8×1=8

(2)            

由上面的例子可以看出,应用运算律,有时可使运算简便. 也有时需要先把算式变形,才能用分配律,如例4(2),还有时需反向运用分配律,如例5(1).

练习

1.计算:

(1)

(2) ;

(3) ;

(4)

2.计算:

(1) ;

(2)

习题2.9

1.计算

(1)(-6)×(-7); (2)(-5)×12;

(3)(-26)×(-1); (4)(-25)×14.

2.计算:

(1)0.5×(-0.4); (2)-10.5×0.2;

(3)(-100)×(-0.001);(4)-4.8×(-1.25);

(5)-7.6×0.02; (6)-4.5×(-0.32).

3.计算:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4)

4.计算:

(1)-2×(-3)×(-4); (2)6×(-7)×(-5);

(3)100×(-1)×(-0.1);

(4)(-8)××(-1) ×0.5;

(5)21×(-71)×0×43;

(6)-9×(-11)-12×(-8).

5.计算:

(1) ;

(2)

(3)

(4)

读一读

队列操练中的数学趣题

一次团体操排练活动中,某班45名学生面向老师站成一列横队.老师每次让其中任意6名学生向后转(不论原来方向如何),能否经过若干次后全体学生都背向老师站立?如果能够的话请你设计一种方案,如果不能够,请说明理由.

问题似乎与数学无关,却又难以入手.注意到学生站立有两个方向,与具有相反意义的量有关,向后转又可想象为进行一次运算,或者说改变符号.我们能否设法联系有理数知识进行讨论?

让我们再发挥一下想象力:假设每个学生胸前有一块号码布,上写“+1”,背后有一块号码布,上写“-1”,那么一开始全体学生面向老师,胸前45个+1的“乘积”是+1.如果最后全部背向老师,则45个-1的“乘积”是-1.

再来观察每次6名学生向后转进行的是什么“运算”.我们也设想老师不叫“向后转”,而称这6名学生对着老师的数字都“乘以-1”.这样问题就解决了:每次“运算”乘上了6个-1,即乘上了+1,故45个数的乘积不变(数学上称不变量),始终是+1.所以要乘积变为-1是不可能的.

一个难题,被有理数的简单运算别出心裁地解决了.有理数的知识多么有用!可同学们的想象力更重要.

试一试

将一根绳子两端分别涂上红色和白色,再在中间随意涂上若干个白色或红色的圆点.在这些圆点中间剪开,这样所得到的各小段两端都有颜色.试说明两端颜色不同的小段数目必是奇数.

§2.10 有理数的除法

回忆

小学里学过的除法的意义是什么?它与乘法有什么关系?

试一试

计算: (-6)÷2=( ?)

根据除法的意义,这就是要求一个数“?”,使

(?)×2=(-6)

根据有理数的乘法运算,有

2×(-3)=-6,

所以,(-6)÷2=(-6).

这表明除法可以转化为乘法来进行.

做一做

填空:

8÷(-2)=8×(   );

6÷(-3)=6×(   );

-6÷(   )=-6× ;

-6÷(  )=-6× .

做完上述填空后,你有什么发现?

小学里我们学过倒数的意义,对于有理数仍然有:

想一想

乘积是1的两个数互为倒数(reciprocal).

例如,2与 、( )与( )分别互为倒数.

这样,又历数的处罚都可以转化为乘法:

除以一个数等于乘上这个数的倒数.

注意:0不能作除数.

1 计算:

(1) ;

(2) ;

(3)

(1)             ;

(2)              ;

(3)            

因为除法可化为乘法,所以有理数的除法有与乘法类似的法则:

两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.

0除以任何一个不等于0的数,都得0.

 2 化简下列分数:

(1)     (2)

 

(1)

(2)

3 计算:

(1) ;        (2)

(1)

(2)

练习

1.写出下列各数的倒数:

(1) ;  (2) ;  (3) –5;

(4) 1;  (5) –1;  (6) 0.2

2.计算:

(1) ;     (2)      (3)

(4)      (5)      (6)

3.计算:

(1)        (2)

4. 下列计算正确吗?为什么?

 

习题2.10

1.写出下列各数的倒数:

(1) –15;  (2) 0.25;  (3) ;  (4)

2.计算:

(1)(-42)  12;

(2) ;

(3) ;

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

3.化简下列分数:

(1) ;  (2) ;  (3) ;  (4)

4.计算:

(1) ;

(2)

(3)

5.(1)把图中第一个圈里的每一个数,各乘以-2,请写出第二个圈里对应的数.

(2)把图中第一个圈里的每一个数,各除以(-2) , 请写出第二个圈里对应的数.

 

(第5题)

§2.11 有理数的乘方

在小学已经学过,

记作 ,读作a的平方(或 a的二次方);a·a·a记作 ,读作a的立方(或a的三次方).

一般地,我们有:

n个相同的因数a 相乘,即a·a·…·a,记作

 


n个

例如,2×2×2=23;(-2)(-2)(-2)(-2)=(-2)4.

    这种求几个相同因数的积的运算,叫做乘方(involution),乘方的结果叫做幂(power).在 中,a叫作底数,n叫做指数, 读作a的n次方, 看作是a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂.

 

例如, 中,底数是2,指数是3, 读作2的3次方,或2的3次幂.

一个数可以看作这个数本身的一次方,例如8就是 ,通常指数为1时省略不写.

例1 计算:

(1) ;(2) ;(3) .

解:

(1) =(-2)(-2)(-2)=-8,

(2) =(-2)(-2)(-2)(-2)=16,

(3) =(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)=-32.

根据有理数乘法运算法则,我们有:

正数的任何次幂都是正数;

负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.

试一试

读作什么?其中底数是什么?指数是什么? 是正数还是负数?

     

练习

1. 读作什么?其中-4叫做什么数?5叫做什么数? 是正数还是负数?

2.计算

(1)  ;

(2) 

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

习题2. 11

1.把下列各式写成乘方运算的形式:

(1)6×6×6; (2)2.1×2.1;

(3)(-3)(-3)(-3)(-3);

(4) .

2.把下列各式写成乘法运算的形式:

(1) ;  (2) ;

(3) ; (4) .

3.  3的平方是多少?-3的平方是多少?平方得9的数有几个?有无平方得-9的有理数?

4. 计算

(1) ;  (2) ;  (3) ;  (4)

阅读材料

1000 与3

数学是奇妙的,有趣的。当你在做数学题时,是否也有这样的感受呢?数的运算千变万化,看看下面的例子,你可能会更感到数学的妙了。

10 与3 ,粗看很像,但是10 =1000,3 =59049,大小相差几十倍。

再添一个零怎么样?

100 =1000000,

3 =515377520732011331036461129765621272702107552001相差太远了!

如果再添一个零呢?

1000 =1000000000,

3 =1322070819480806636890455259752144365965422032752148167664920368226828597346704899540778313850608061963909777696872582355950954582100618911865342725257953647027620225198320803878014774228964841274390400117588618041128947825623094438061566173054086674490506178125480344405547054397038895817465368254916136220830268563778582290228416398307887896918556404084898937609373242171846359938695516765018940588109060426089671438864102814350385648747165832010614366132173102768902855220001.

再添一个零,他们的差距实在太大了!看来做数学题时,千万要仔细,不然会相差十万八千里。

继续学习,你将会遇到许许多多这样的大数。加拿大的一位年轻人通过网络,借用全球数十万台电脑,找到目前为止已知的最大的素数(即只能被1和自己整除的数)为

2 -1

它的位数超过400万位,而3 才478位呢!

§2.12 科学计数法

用乘方的形式,有时可方便地来表示日常生活中遇到的一些较大的数,如:

光的速度大约是300 000 000米/秒;

全世界人口数大约是6 100 000 000.

这样的大数,读、写都不方便,考虑到10的乘方有如下特点:

=100, =1000, =10000,…

一般地,10的n次幂,在1的后面有n个0,这样就可用10的幂表示一些大数,如,

6 100 000 000=6.1×1 000 000 000=6.1× .

象上面这样把一个大于10的数记成a× 的形式,其中a 是整数数位只有一位的数,这种记数法叫做科学记数法.

2 用科学记数法记出下列各数:

(1)696 000;(2)1 000 000;(3)58 000.

(1)696 000=6.96× .

(2)1 000 000= .

(3)58 000=5.8× .

注意:一个数的科学记数法中,10的指数比原数的整数位数少1,如原数有6位整数,指数就是5.

练习

1.用科学记数法记出下列各数.

 (1)800;(2)1 800 000;(3)1230.

2.下列用科学记数法记出的数,原来各是什么数?

(1)1× ;(2)5.18× ;(3)7.04× .

习题2.12

1.用科学记数法记出下列各数:

(1)3210; (2)50600;(3)10 000 000.

2.下列用科学记数法记出的数,原来各是什么数?

(1)2× ;(2)6.03× ;(3)5.002× .

3.用科学记数法记出下列各数:

(1)地球离太阳约有一亿五千万千米;

(2)地球上煤的储量估计为15万吨以上.

4.一天有8.64× 秒,一年有365天,一年有多少秒?(用科学记数法表示)

5.地球绕太阳转动每小时约通过1.1×105千米,声音在空气中传播,每小时约通过1.2× 千米.地球转动的速度与声音传播的速度哪个大?

阅读材料--光年和纳米

在阅读报章杂志或科技书刊时,有时我们会看到“光年”、“纳米”这两个名称,你知道它们的含意吗?

光年(light year)是天文学中使用的距离单位,简记为ly或l.y.,主要用于度量太阳系外天体的距离 。 1 光年是指光在真空中经历一年所走的距离。真空中光速为

c=299792.458千米/秒,

而1年 (秒),

故 1光年 299792.458.259.46 (千米),即约等于9.46万亿千米。

离太阳最近的恒星(半人马座比邻星)与太阳的距离为4.22光年。银河系的直径约10万光年。人类所观测的宇宙深度已达到150亿光年。同学们,你能算出这些距离等于多少千米吗? 从中你是否可以体会到用光年作单位的优越性。

光年是表示较大距离的一个单位, 而纳米(nanometer)则是表示微小距离的单位。1纳米= 米,即1米= 纳米。我们通常使用的尺上的一小格是一毫米(mm),1毫米= 米。可见,1毫米= 纳米,容易算出,1纳米相当于1毫米的一百万分之一。可想而知,1纳米是多么的小。

超微粒子的大小一般在1~100 纳米范围内,故又称纳米粒子。纳米粒子的尺寸小,表面积大,具有高度的活性。因此,利用纳米粒子可制备活性极高的催化剂,在火箭固体燃料中掺入铝的纳米微粒,可提高燃烧效率若干倍。利用铁磁纳米材料具有很高矫顽力的特点,可制成磁性信用卡、磁性钥匙,以及高性能录像带等。利用纳米材料等离子共振频率的可调性可制成隐形飞机的涂料。纳米材料的表面积大,对外界环境(物理的和化学的)十分敏感,在制造传感器方面是有前途的材料,目前已开发出测量温度、热辐射和检测各种特定气体的传感器。在生物和医学中也有重要应用。

纳米材料科学是20世纪80年代末诞生并正在崛起的科技新领域,它将成为跨世纪的科技热点之一。

§2.13 有理数的混合运算

观察

下面的算式里有哪几种运算?

3+50÷22×( )-1.

这个算式里,含有加、减、乘、除、乘方等多种运算,称为有理数的混合运算。

有理数混合运算的运算顺序规定如下:

1 先算乘方,再算乘除,最后算加减;

2 同级运算,按照从左至右的顺序进行;

3 如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的。

试一试:

指出下列各题的运算顺序:

(1)             ;

(2)             ;

(3)             ;

(4)             ;

(5)             ;

(6)             ;

(7)            

1 计算

 

 

思考

2÷(1/2-2)与2÷1/2-2有什么不同?

(-2)÷(2×3)与(-2)÷2×3有什么不同?

试一试

计算:

练习

1. 计算2× -4×(-3)+15.

2.计算 .

3. 计算 .

有理数的混合运算涉及多种运算,确定合理的运算顺序是正确解题的关键,能用简便方法的就用简便方法、能够口算的就口算,下面再看几个例子.

2 计算:

················(先算乘方)

···············(化除为乘)

···(先定符号,再算绝对值)

3 计算:

=

=

=

4 计算:

=

=

也可这样来算

 

=

=

练习

1.计算:

(1) ;

(2) ;

(3)

2.下列计算有无错误?若出错如何改正?

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4)

习题2. 13

1.计算:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5)

(6)

2.计算:
(1)  ;

(2) ;

(3) ;

(4)

3.计算:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5)

§2.14 近似数和有效数字

做一做

1.  统计班上喜欢看球赛的同学的人数。

2.  量一量这一侧数学课本的宽度。

如果统计得到班上喜欢看球赛的同学的人数是35,则35这个数十余世纪完全符合的准确数,一个也不多一个也不少。如果量得课本的宽为18.4厘米,由于所用尺的刻度有精确度限制,而且用眼观察不可能非常细致,因此与实际宽度会有一点偏差。这里的18.4是一个与实际宽度非常接近的数称为近似数(approximate number).测量的结果,往往是近似数。

除了测量,我们还会遇到或用到近似数。例如,我国的陆地面积约为960万平方千米,小离家的写字台长120厘米,这里的960、120都是近似数。.

使用近似数就有一个近似程度的问题,也是就精确度的问题.

我们都知道,

···.

计算中我们须对π取近似数:

如果结果只取整数,那么按四舍五入的法则应为2,就叫做精确到个位;

如果结果取1位小数,则应为1.7,就叫做精确到十分位(或叫精确到0.1);

如果结果取2位小数,则应为1.67,就叫做精确到百分位(或叫精确到0.01);

···························.

概括

一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.

这时,从左边第一个不是0的数起,到精确到的数位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字(significant digits).

例如,小明的身高为1.70米,1.70这个近似数精确到百分位,共有3个有效数字:1、7、0。

1 下列由四舍五入法得到的近似数,各精确到哪一位?各有哪几个有效数字?

(1)132.4;(2)0.0572

:(1)132.4精确到十分位(精确到0.1),共有4个有效数字1、3、2、4;

(2)0.0572精确到万分位(精确到0.0001),共有3个有效数字5、7、2;

2 用四舍五入法,按括号中的要求把下列各数取近似数.

(1)0.34082(精确到千分位);

(2)64.8 (精确到个位);

(3)1.504 (精确到0.01);

(4)0.0692 (保留2个有效数字);

(5)30542 (保留3个有效数字);

(1)0.34082 ≈ 0.341.

(2)64.8 ≈ 65 .

(3)1.504 ≈ 1.50.

(4)0.0692 ≈ 0.069.

(5)30542. ≈ 3.05×104 .

注意

(1)             例2的(5)中,如果把结果写成30500,会把末两位的0误解为有效数字,这里用科学技术法,把结果写成3.05×10 就确切的表示保留有三位有效数字.

(2)             有一些量,我们或者很难测出它们的准确值,或者没有必要算得他们的准确值,这是通过粗略的估算就能得到所要的近似数,又是近似数也并不总是按四舍五入法得到的。

   例如,某的遭遇水灾,约有10万人的生活受到影响。政府拟从外地调运一批粮食救灾,需估计每天要调运的粮食数。如果按一个人平均一天需要0.5千克粮食算,那么可以估计出每天要调运5万千克粮食。

   又如某校初一年级共有112名同学,想租用45座的客车外出秋游,因为112÷45=2.488···,这里就不能用四舍五入法,而要用“进一法”来估计应该租用客车的辆数,即应租3辆。

练习

1.请你举几个准确数和近似数的例子.

2.圆周率 ···,如果取近似数3.14, 它精确到哪一位?有几个有效数字?如果取近似数3.1416呢?

3.下列由四舍五入法得到的近似数,各精确到哪一位?各有哪几个有效数字?

(1)127.32; (2)0.0407; (3)20.053;

(4)230.0千; (5)4.002.

4.用四舍五入法,将下列各数按括号中的要求取近似数.

(1)0.6328 (精确到0.01);

(2)7.9122 (精确到个分位);

(3)47155 (精确到百位);

(4)130.06 (保留4个有效数字);

(5)460215 (保留3个有效数字).

5.一桶玉米的重量大约为45.2千克.场上有一堆玉米,估计大约相当于12桶.估计这堆玉米大约重多少千克(精确到1千克)?

6.王平与李明测量同一根铜管的长,王平测得长是0.80米,李明测得长是0.8米.两人测量的结果是否相同?为什么.

习题 2.14

1.下列各个数据中,哪些数是准确数?哪些是近似数?

(1)小琳称得体重为38千克;

(2)现在的气温是-2℃;

(3)1m等于100cm;

(4)东风汽车厂2000年生产汽车14500辆.

2.下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字?

(1)5.67; (2)0.003010;

(3)111万; (4)1.200亿.

3.用四舍五入法,按要求对下列各数取近似值:

(1)1102.5亿(精确到亿);

(2)0.00291 (精确到万分位);

(3)0.07902 (保留三位有效数字).

4.用四舍五入法,按要求对下列各数取近似值,并用科学计数法表示:

(1)129551(保留3个有效数字);

(2)0.004753(保留2个有效数字).

5.量出课本封面的长度和宽度(精确到1mm).

读一读

巧算平均数

在实际生活中常见到求平均数的问题.例如

问题 某校初一年级蓝球队12名同学的身高分别如下(单位:厘米):

163,158,161,165,171,164,167,163,168,166,166,164.

求全队同学的平均身高(保留4个有效数字).

分析 我们已经熟悉平均数的求法:将这12个数相加,所得和除以12即所需结果.这是小学阶段已掌握的方法,但计算较繁琐.应用有理数知识可否加以简化?

观察这些数字,发现大多在160至170之间.若以“居中”的数165为基准,超过部分记作正数,不足部分记作负数,得到一组新的数据.这些数的绝对值较小,且有正数、有负数,估计计算较简便.

解 分别将各数减去165,得

 

计算这组数的平均数

 

答:全队同学的平均身高约为164厘米.

§2.15 用计算器进行数的简单运算

问题

已知一个圆柱的底面半径长2.32cm,高为7.06cm,求这个圆柱的体积.

我们知道,圆柱的体积=底面积×高.因此,计算这个圆柱的体积就要做一个较复杂的运算:

 

碰到复杂的计算,我们可以利用电子计算器(简称计算器)来完成.

1 用计算器求345+21.3.

解 用计算器求345+21.3的过程为:

键入345+21.3,显示器显示运算式为345+21.3,再按SHIFT=,在第二行显示运算结果366.3,所以

345+21.3=366.3.

做一做 按例1的方法,用计算器求105.3-243.

2 用计算器求31.2÷(-0.4).

用计算器求31.2÷(-0.4)的按键顺序是:

3 1 . 2 ÷ 0 . 4 +/- = .

所以 31.2÷(-0.4)=78.

注意:(1) 输入0.4时可以省去小数点前的0,按成 . 4 。

(2)不同型号的计算机可能会有不同的按键顺序.如输入负数-5,有的计算机是(-)5或-5,有的则为5+/-。

做一做 按例2的方法,用计算器求

 8.2×(-4.3) ÷2.5.

3 用计算器求62.2-4×(-7.8).

这是减法和乘法的混合运算.对于加、减、乘、除法和乘方的混合运算.只要按算式的书写

顺序输入,计算器会按要求算出结果.因此,本题的按键顺序是:

6 2 . 2 - 4 × ÷ 7 . 8 % = .

所以, 62.2-4×(-7.8)=93.4.

做一做 按例3的方法,用计算器求

 (-59)×2÷4.2÷(-7).

4 用计算器求2.7 .

用计算器求 2.7 ,可以使用求立方的专用键x ,按键顺序是

2 · 7 x =.

显示结果为19.683,所以

2.7 =19.683.

也可以使用成方的专用键x (按2·7 x 后,出现2.7 ),按键顺序是:

2·7 x 3=

注意

用计算器求一个数的正整数次幂,不同的计算器会有不同的按键方式。

若求一个数的平方,不少计算器都有专用键。

做一做

(1)按例4的方法求

(2)用计算器求出本节开头的圆柱的体积(结果精确到mm, 取3.14).

练习

1.用计算器求下列各式的值:

(1)27+308;

(2)0.75+32.04;

(3)3.65-72.7;

(4)-97.9+34.8;

(5)-43-(-28);

(6)0.147×63;

(7)36×125;

(8)84÷(-24);

(9)76÷(-0.19);

(10)(-0.125) ×(-18);

(11)-125×0.42÷(-7);

(12)83+139-328+512;

(13)-3.14+5.76-7.19;

(14)2.5×76÷(-0.19);

(15)-125×0.42÷(-7);

(16)-389÷15.2×3(结果保留三位有效数字)。

2.用计算器求下列各式的值:

(1)23×15+4; (2)50÷2-20×3;

(3)25×3×2+(-127);(4);0.84÷4+0.79×2

(5)-24×2+15÷0.75;(6) ;

(7) ; (8) ;

(9) ; (10) .

3.用计算器求下列各式的值:

(1)2.6×3- ;

(2) ;

(3) .

习题 2. 15

1.用计算器求下列各式的值:

(1)83+189-328+512;

(2)-3.14+5.76+28.34-7.19;

(3)43×97×985;

(4) ;

(5)989÷37÷45(精确到0.01);

(6)-389÷5.2×3(保留三位有效数字).

2.已知圆环的外径为46mm,内径为27mm,求圆环的面积( 取3.14,结果精确到mm).

3.圆锥的体积公式是:

圆锥的体积= ×底面积×高.

用计算器计算高为7.6cm,底面半径为2.7cm的圆锥的体积(结果保留两个有效数字,( 取3.14).

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从结绳计数到计算器

伴随着人类诞生,数数和计数就同时出现在人们的各项活动中,成为人类文明史的一个重要组成部分。我国古代早有结绳计数的记载,即用绳子打结作为记录和计数的工具,之后石块、算筹等等都被用于劳动与生活,随着人们的数学知识的增加和技术的发展,我国在元代发明了算盘及相应的算珠算法,17世纪,英国人发明了计算尺,与此同时,法国和德国发明了手摇计算器,进行数的四则运算。

如今,计算器已经成为人们工作与生活不可缺少的有用工具,一个计算器,看来它的体积很小,但作用却极大,具有很多功能,它既可以帮助我们进行各种复杂的数学计算,解答现实生活中的各种数学问题,还可以帮助我们理解数学概念?有的计算器还可以编织各种程序,有的计算器还可以绘制各种图形,有的升值还可以进行式的运算,真是琳琅满目,功能强大。

由于计算器的型号各不相同,因此使用方法也未必一样,计算器大致可分为两类,一类是按数学的书写顺序输入的,另一类是不按数学的书写顺序输入的。例如要输入-4,前一类计算器的按键顺序为-4,而后一类计算器的按键顺序为4+/-,根据计算器的显示屏幕,计算器又可分为一行显示、两行显示以及多行显示。

我们的航船已经浩浩荡荡的驶进了奇妙的数学世界,千万别忘了带上你的计算器,一起遨游知识的海洋。

小结

一、知识结构

 

二、注意事项

1. 数轴是理解有理数概念与运算的重要工具,学习本章要善于结合数轴理解有理数的有关概念(如相反、绝对值),会利用数轴比较两个有理数的大小.

2. 在有理数的运算中,要特别注意符号问题,提高运算的正确性,还要善于灵活运用运算律简化运算.

3. 在实际运算中经常会遇到近似数,要注意按要求的精确度进行计算和保留结果.对较大的数用科学记数法表示既方便,又容易体现对有效数字的要求.

复习题

A组

1.有理数+2.5,-8,-0.7, , ,0.05,0中,哪些是正数?哪些是负数?

2.根据下表每行中的已知数,填写该行中的其它数:

 

3.把表示下列各数的点画在数轴上,再按从小到大的顺序用“<”号把这些数连续起来;

+2.5, -3, , , 0, -1.6.

4.按照从大到小的顺序,用“>”号把下列各数连结起来:

-3.2,  , 0.6, -0.6, 5, -3.3.

5.在数轴上画出所有表示大于-5,并且小于4的整数的点来,其中最大的一个数是多少?

6.比较下列各组数的大小:

(1) 和 ; (2)-1.17和-1.2;

(3) 和 ; (4) 和-2;

(5)0.001和0.009.

7.计算

 

8.计算:

 

9.(1)平方得 的有理数有哪几个?有没有平方得 的有理数?

(2)立方得27的有理数有几个?有没有立方得-27的有理数?

10.(1)两个互为相反数的数的和是什么?

(2)如果这两个互为相反数的数都不为0,那么它们的商是多少?

11.用四舍五入法对下列各数按括号中的要求取近似值:

(1)2.768(精确到百分位);

(2)0.009403(保留三个有效数字);

(3)8.965(精确到0.1);

(4)17289(精确到千位).

12.当a=-1.2, b=-1.6, c=2时,求下列各式的值:

(1) ; (2) ;

(3)

  B组

 

13.根据下列语句列式并计算:

(1)-3与0.3的和余以2的倒数;

(2)45加上15与-3的积;

(3)34与6的商减去 ;

(4) 与-5的差的平方.

14.(1)0和1之间的数的平方比原数大还是小呢?立方呢?倒数呢?举例说明.

(2)-1和0之间的数的平方比原数大还是小呢?立方呢?倒数呢?举例说明.

15.选择题:

(1)下列各组数中,不相等的一组是( )

 

A. 和    B. 和

C. 和    D. 和

(2)计算 + 所得结果是( )

A.    B.-1   C.-2   D.

(3)下面各组有理数中,大小关系判断正确的一组是( ).

A.0>|-10|                   B.

C.       D.

16.计算:

 

(1)当a>0,b>0,a<b时,1a与1b哪个大?

(2)当a<0,b<0,a<b时,与哪个大?

18.如图,数轴上的点A、B、O、C、D分别表示-5,—1,0,2.5,6,回答下列问题.

 

(1) C、B两点间的距离是多少?

(2) B、D两点间的距离是多少?

(3) A、B两点间的距离是多少?

 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

 

  (第18题)

 

19.某食品厂从生产的食品罐头中,抽出20听检查重量.将超过标准的重量用正数表示,不足标准的重量用负数表示,结果记录如下表:

 

问这批样品的平均重量比标准重量轻几克?

20.在1:50 000 000的地图上量得两地的距离是1.3cm,试用科学计数法表示这两地间的实际距离(单位:米).

21.圆柱的体积计算公式是:圆柱体积=底面积×高,求高为0.82m,底而半径为0.47m的圆柱的体积( 取3.14,结果保留2个有效数字).

22.加工一根轴,圆纸上注明它的直径是.其中是表示直径是 表示合格的直径最大只能比规定的直径大0.03mm,-0.02mm表示合格的直径最小只能比规定的直径小0.02mm.那么合格的直径最大可为多少?最小可为多少?

 

 

                          C组

 

23.说出符合下列条件的字母所表示的有理数是正数?负数?还是零?

(1)|a|=a; (2)|a|>a;

(3)|a|=-a; (4)a>-a;

 

24.(1)由|m|=|n|,能得到m=n吗?请举例说明;

 

(2)由|m|=|n|,能得到m2=n2吗?请举例说明;

25.你能由右图得出计算规律吗?

1+2+5+7+9+11=

由此你能推得,n个从1开始的连续奇数之和等于多少吗?

 

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