加载中…第二章 有理数
在上面的天气预报电视屏幕上，我们看到，这一天上海的最低温度是-5℃，读作负5℃，表示零下5℃。这里，出现了一种新数——负数.
我们将会看到，除了表示温度以外，还有许多量需要用负数来表示.有了负数，数的家族引进了新的成员，将变得更加绚丽多彩，更加便于应用.
本章将引进负数，并研究有理数的大小比较和运算.
§2.1 正数和负数
回忆
我们已经学过哪些数？它们是怎样产生和发展起来的？
我们知道，为了表示物体的个数或事物的顺序，产生了数1，2，3，...; 为了表示“没有”，引入了数0；有时分配、测量的结果不是整数，需要用分数(小数)表示. 总之，数是为了满足生产和生活的需要而产生发展起来的.
1. 相反意义的量
在日常生活中，常会遇到这样的一些量：
例1 汽车向东行驶3公里和向西行驶2公里；
例2 温度是零上10℃和零下5℃；
例3 收入500元和支出237元;
例4 水位升高5.5米和下降3.6米等等.
例5买进100辆自行车和卖出20辆自行车。
这里出现的每一对量，虽然有着不同的具体内容，但有着一个共同特点，它们都是具有相反意义的量，向东和向西、零上和零下；收入和支出;升高和下降都具有相反的意义.
这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点?
你能再举出几个日常生活中的具有相反意义的量吗?
2. 正数与负数
只用原来的那些数很难区分量的相反意义. 例如,零上5℃用5表示, 那么零下5℃就不能仍用同一个数5来表示.
在天气预报的电视屏幕上我们发现，零下5℃可以用-5℃来表示. 一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示，把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数(零除外)前面放上一个“-”(读作负)号来表示.
就拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃用 -5℃来表示.
在例1中，如果规定向东为正，那么向西为负.汽车向东行驶3公里记作3公里，向西2公里应记作-2公里.
在例3中，如果规定收入为正，收入500元记作500元，支出237元应记作什么?
在例4和例5中，我们如何表示这些具有相反意义的量呢？
为了表示具有相反意义的量, 我们引进了象-5,-2,-237,-3.6这样的数, 这是一种新数,叫做负数(negative number). 过去学过的那些数(零除外),如10,3,500,5.5等,叫做正数(positive number). 正数前面有时也可放上一个"+"号, 如5可以写成+5, +5和5是一样的.
注意
练习
1.
2.在中国地形图上，在珠穆朗
玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明它们的高度的数，如图所示.这个数通常称为海拔高度，它是相对于海平面来说的.请说出图中所示的数8844和-155表示的实际意义。海平面的高度用什么数表示?
3.下列各数中,哪些是正数?哪些是负数?
+6；-21；54；0； ；-3.14；0.001；-999
4.“一个数，如果不是正数，必定就是负数.”这句话对不对?为什么?
3. 有理数
引进了负数以后，我们学过的数就可以分为以下几类：
正整数，如1，2，3，...;
零: 0;
负整数, 如-1,-2,-3,...;
正分数, 如 , ,4.5(即 );
负分数, 如- , ,-0.3(即 ), ....
正整数、零和负整数统称整数(integers)，正分数和负分数统称分数(fractions).
整数和分数统称有理数(rational numbers).
我们可以作出如下的分类表：
把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集(set of numbers).所有的有理数组成的 数集叫做有理数集.类似地，所有的整数组成的数集叫做整数集，所有的正数组成的数集叫做正数集，所有的负数组成的数集叫做负数集，如此等等.
例6 把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里： -18,
解
, 3,2001,
95%
－18，0，2001
整数集
练习
1. 请说出两个正整数, 两个负整数, 两个正分数,两个负分数.它们都是有理数吗?
2. 有理数集中有没有这样的数,它既不是正数,也不是负数? 如有,这样的数有几个?
3. 下面两个圆圈分别表示正数集合和整数集合,请在这两个圆圈内填入六个数,其中有三个数既在正数集合内, 又在整数集合内.这三个数应填在哪里? 你能说出这两个圆圈的重叠部分表示什么数的集合吗?
正数集
习题2.1
1. 下列各数,哪些是整数,哪些是分数? 哪些是正数,哪些是负数?
1， -0.10， ，-789， 325， 0，-20， 10.10， 1000.1
2.把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里：
, 0.618, -3.14, 260, -2001, , , -5%
整数集
负数集
3.下面的大括号表示一些数的集合,把第1、2两题中的各数填入相应的大括号里:
正整数集:{
负整数集:{
正分数集:{
负分数集:{
4观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数，你能说出第100个数、第2000个数、第2001个数是什么吗?
(1)1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，
(2)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，
(3)-1, ,- , , , ,
,
§2.2 数轴
1. 数轴
我们在小学学习数学时，就能用直线上依次排列的点来表示自然数，它帮助我们认识了自然数的大小关系.
如图2.2.1，温度计上有刻度，可以方便地读出温度的度数，并且可以区分出是零上还是零下。
与温度计相仿，我们可以在一条直线上规定一个正方向，就可以用这条直线上的点表示正数、零和负数.
(图2-2-1)
画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一点作为原点，用这点表示０.规定直线 图2-2-1上从原点向右为正方向,画上箭头,那么相反方向为负方向. 再选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…(图2-2-2).
概括
象这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 .
在数轴上画出表示有理数的点，可以先由这个数的符号确定它在数轴上原点的哪一个方向，再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度.
例1. 画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：
4，-2，-4.5， ，0 .
解 如图2-2-3所示
图2-2-3
练习
⑵
⑶
2.指出数轴上点A、B、C、D分别表示什么数.
-1.8,0,-3.5, ,
再按数轴上从左到右的顺序，将这些数重新排成一行.
2.在数轴上比较数的大小
在小学里，我们已经学会了比较两个正数的大小，那么，引进负数以后，怎样比较任意两个有利数的大小呢？例如，1与-2那个大？-1与0哪个大？-3-4哪个大？
探索
（1）
（2）
把温度计横过来放，就像一条数轴，能否从中发现在数轴上怎样比较两个有理数的大小？
概括
我们发现，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
根据有理数在数轴上表示的相对位置，在应用中我们也常说：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.
例2 将有理数3，0， ，-4按从小到大顺序排列，用“＜”号连接起来.
解 正数 ＜3，由正、负数大小比较法则，得
-4＜0＜ ＜3 .
例3 比较下列各数的大小：
解 将这些数分别在数轴上表示出来(图2-2-4)：
所以 -5＜-3＜-1.3＜0.3
练习
1.判断下列各式是否正确:
2.用“＜”号或“＞”号填空：
习题2.2
1. 指出数轴上A、B、C、D各点所表示的数：
2. 分别画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：
3. 指出在数轴上表示下列各数的点分别位于原点的哪边，与原点距离多少个单位长度：
4. 如下图，一个点从数轴上原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度. 可以看出，终点表示数-2.
已知A、 B是数轴上的点.
(1)如果点A表示
数-3，将A向右移动7个单位长度，那么终点表示数
(2)如果点A表示数3，
将A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示数
(3)如果将点B向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，终点表示的数是0，那么点B所表示的数是
5. 比较下列每对数的大小：
6. 画出数轴，把下列各组数分别在数轴上表示出来，并按从小到大顺序排列，用“<”连接起来：
(1)1，-2，3，-4；
(2) ，0 ，-3 ，0.2.
7. 下表是某年一月份我国几个城市的平均气温，将各城市按平均气温从高到低的顺序排列.
8. 下列各数是否存在?有的话把他们找出来：
(1) 最小的正整数；
(2) 最小的负整数；
(3) 最大的负整数；
(4) 最小的整数.
§2.3 相反数
做一做
在数轴上，画出表示一下两对数的点：
-6和6，1.5和-1.5
这两对点，各有哪些相同？哪些不同？
如图2.3.1，在数轴上在数轴上(图2-3-1)，-6和6位于原点两旁，且与原点的距离相等，也就是说，它们对于原点的位置只有方向不同。1.5 和 -1.5也是这样.
概括
象这样只有符号不同的两个数称互为相反数 (opposite number).如 和- 互为相反数.即 是- 的相反数. - 是
在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等.
我们还规定：0的相反数是0.
是否还有相反数等于本身的数?
例1 分别写出下列各数的相反数：
解: 5的相反数是-5.
我们通常把在一个数前面添上“-”号，表示这个数的相反数.例如 -(-4)=4, -(+5.5)=-5.5，- 0 = 0.
同样，在一个数前面添上“+”号，表示这个数本身.
例如 +(-4)=-4，+(+12)=12，+ 0 = 0.
解 (1)-(+10)=-10.
练习
1. 填空：
(1)2.5的相反数是
(2)
(3)
是
(4)
(5)8.2和
2. 化简下列各数：
(1)
-(+0.78)；
(2)
3. 判断下列语句是否正确，为什么?
(1) 符号相反的两个数叫做互为相反数；
(2)互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数；
(3)相反数和我们以前学过的倒数是一样的.
习题2.3
1. 分别写出下列各数的相反数：
-2.5，1，0， ，-(+10).
2. 画出数轴，在数轴上表示下列各数及它们的相反数：
(1)-(-16)； (2)-(+25)；
(3)+(-12)； (4)+(+2.1)；
(5)-(+33)； (6)-(- ).
4. 回答下列问题：
(1) 什么数的相反数大于本身?
(2) 什么数的相反数等于本身?
(3) 什么数的相反数小于本身?
§2.4 绝对值
观察
在一些量的计算中，有时并不注重其方向.例如为了计算汽车行驶所耗汽油，起主要作用的是汽车行驶的路程而不是行驶的方向.
在讨论数轴上的点与原点的距离时，只需要观察它与原点之间相隔多少个单位长度，与位于原点何方无关.
我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值( absolute value ).记作|a|
例如，在数轴上表示数-6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以-6和6的绝对值都是6，记作|-6|=|6|=6.同样可知|-4|=4，|+1.7|=1.7.
试一试：
(2)|0|=
(3)|-3|=
概括
由绝对值的意义，我们可以知道：
1. 一个正数的绝对值是它本身；
2.
3. 一个负数的绝对值是它的相反数.
试一试
你能将上面的结论用数学式子表示吗？
1.
2.
3.
由此可以看出，不论有理数a取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数).即对任意有理数a，总有
|a|≥0.
例1 求下列各数的绝对值：
- , ,-4.75,10.5
│- │=
=
|-4.75|=4.75
|10.5|=10.5.
例2 化简：
(1)
;
解
(1)
(2)
1. 求下列各数的绝对值：
-5，4.5，-0.5，+1，0.
2. 填空：
(1)-3的符号是
(2)符号是“+”号，绝对是7的数是
(3)10.5的符号是
(4)绝对值是5.1，符号是“-”号的数是
3. 回答下列问题：
(1) 绝对值是12的数有几个?是什么?
(2) 绝对值是0的数有几个?是什么?
(3) 有没有绝对值是-3的数?为什么?
习题2.4
1. 在数轴上表示下列各数，并分别写出它们的绝对值：
，5，0，-2，4.2
2. 化简：
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
3. 计算：
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
4. 下列判断是否正确?为什么?
(1) 有理数的绝对值一定是正数；
(2) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
(3) 如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身；
(4) 如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数.
§2.5 有理数的大小比较
由2.2节我们知道，在数轴上表示的两个有理数，左边的数总比右边的数小.正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。
那么，怎样表较两个负数的大小呢？
例如：-2与-5哪个大？
探索
在数轴上，画出表示-2和-5的点，这两个数中哪个较大？
从中你能概括出直接比较两个负数大小的法则来吗？说说你的道理。
概括
我们发现：两个负数，绝对值大的反而小.
这是因为，在数轴上表示两个负数的两个点中，与原点距离较大的那个点在左边。
例如，比较两个负数 和 的大小：
① 先分别求出它们的绝对值：
= =
② 比较绝对值的大小：
因为
所以
③ 得出结论：
（1）
（2）
（3）
（4）
解 (1)这是两个负数比较大小，
因为|-1|=1， |-0.01|=0.01，
且 1>0.01，
所以 -1< -0.01 .
(2) 化简 -|-2|=-2，
因为负数小于0，
所以-|-2| < 0 .
(3) 这是两个负数比较大小，
因为|-0.3|=0.3，
且 0.3 < ，
所以
(4) 分别化简两数，得
因为正数大于负数，所以
1. 用“<”号或“>”填 空：
(1)因为
2. 判断下列各式是否正确：
(1)
(2)
(3) >
(4) <
3. 比较下列各对数的大小；
(1) 与
(2) 与-0.618
4. 回答下列问题：
(1) 大于-4的负整数有几个?
(2) 小于4的正整数有几个?
(3) 大于-4且小于4的整数有几个?
习题 2.5
1. 比较下列每对数的大小：
(1) 与 ;
(2)-9.1与-9.099；
(3)-8与 |-8| ；
(4)-|-3.2|与-(+3.2).
2. 将有理数0，-3.14， ，2.7，-4，0.14按 从小到大的顺序排列，用“<”号连接起来.
3. 写出绝对值小于5的所有整数，并在数轴上表示出来.
4. 回答下列问题：
(1) 有没有最小的正数?有没有最大的负数?为什么?
(2) 有没有绝对值最小的有理数?把它写出来.
§2.6 有理数的加法
1. 有理数加法法则
问题
小明在一条东西向的跑道，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，相距多少米?
我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答.可是上述问题不能得到确定答案，因为小明最后的位置与行走方向有关.
试验
我们必须把问题说得明确些，并规定向东为正，向西为负.
(1)若两次都是向东走，很明显，一共向东走 了50米，写成算式就是
(+20)+(+30)=+50，
即这位同学位于原来位置的东方50米处.
这一运算在数轴上表示如图2-6-1.
(2)若两次都是向西走，则他现在位于原来位 置的西方50米处，写成算式就是
(-20)+(-30)=-50 .
写成算式是(+20)+(-30)=-10，
即这位同学位于原来位置的西方10米处.
(-20)+(+30)=(
即这位同学位于原来位置的(
后两种情形中两个加数符号不同(通常可称异号)，所得和的符号似乎不能确定，让我们再试几次(下式中的加数不仿仍可看作运动的方向和路程)：
(+4)+(-3)=(
(+3)+(-10)=(
(-5)+(+7)=(
(-6)+ 2 = (
再看两种特殊情形：
(-30)+(+30)=(
(-30)+ 0 =(
探索
从上述（1）-（6）中所写出的算式，你能总结出一些规律？
概括
综合以上情形，我们得到有理数的加法法则：
1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2. 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3. 互为相反数的两个数相加得0；
4. 一个数同0相加，仍得这个数.
注意
一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同.
例1 计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
解
(1)
(2)
(3)
(4)
1. 填 表：
2. 计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
3. 填 空：
(1)(
(2)(
(3)(-3)+(
(4)(-3)+(
4.两个有理数相加，和是否一定大于每个加数?
2. 有理数加法的运算律
在小学里我们知道，数的加法满足交换率，例如有
5+3.5=3.5+5
还满足结合律，例如有
（5+3.5）+2.5=5+（3.5+2.5）
引进了负数以后，这些运算率是否还成立？也就是说，上面两个等式中，将5、3.5和2.5换成任意的有理数，是否依然成立？
探索
（1）
□ + ○和○ + □
（2）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□、○和◇内，并比较两个运算结果：
( □ + ○ )+ ◇ 和□ +( ○ + ◇ ).
概括
有理数的加法仍满足加法交换率和结合律。
加法交换率：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
a+b=b+a
加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
( a + b )+ c = a + ( b + c )
这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，使计算简化.
例2 计算：
(1) (+26)+(-18)+5+(-16)
(2)
解 (1)(+26)+(-18)+5+(-16)
(2)
=
=
=
=
=
=
例3
2，-4，2.5，3，-0.5，1.5，3，-1，0，-2.5.
求这10 筐苹果的总重量.
解 2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5)
答：10筐苹果总重量是304千克.
练习
1. 计算：
(1)
(2)
2. 某天气温从早晨-3℃到中午升高了5℃，到晚上降低了3℃，到午夜又降低了4℃.求午夜时的温度.
习题 2.6
1. 计算：
(1)(-12)+(+3)； (2)(+15)+(-4)；
(3)(-16)+(-8)； (4)(+23)+(+24)；
(5)(-102)+132； (6)(-32)+(-11)；
(7)(-35)+0； (8)78+(-85).
2. 计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3. 计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
4. 列式并计算：
(1)求+1.2的相反数与-3.1的绝对值的和；
(2) 与 的和的相反数是多少?
5. 利用有理数加法解下列各题：
(1) 存折中原有550元，取出260元，又存入150元，现在存折中还有多少钱?
(2) 潜水艇原停于海面下800米处，先上浮150米，又下潜200米.这时潜水艇在海面下多少米处?
(3) 仓库内原存某种原料3500千克，一周内存入和领出情况如如下(存入为正，单位千克)： 1500，-300，-650，600，-1800，-250，-200.问第七天末仓库内还存这种原料多少千克?
(4) 某公路养护小组乘车沿东西向公路巡视维护.某天早晨从A地出发，晚上到达B地.约定向东为正方向，行走记录如下(单位千米)：
+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8.
问B地在A地何方，相距多少千米?若汽车行驶每千米耗油a升，求该天自出发至回到A地共耗油多少?
§2.7 有理数的减法
做一做
珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的海拔高度分别是8844米和-155米，问珠穆朗玛峰比吐鲁番盆地高多少？
这一问题通常可列出算式
8844-（-155）
那么，怎样进行有理数的减法呢？我们不妨先看一个简单的问题：
计算
(-8)-(-3)
根据减法的意义，就是求一个数?使
( ? )+(-3)=-8.
根据有理数加法运算，有
(-5)+(-3)=-8，
所以 (-8)-(-3)=-5. ①
填空：(-8)+(
容易得到(-8)+(+3)=-5. ②
比较①、②两式，我们发现：-8“减去-3”与“加上+3”结果是相等的.即
(-8)-(-3)=(-8)+(+3)
概括
从上述结果我们可以发现：
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
这就是 有理数减法法则。
例1 计算：
(1)(-32)-(+5)； (2)7.3-(-6.8)；
(3)(-2)-(-25)； (4)12-21 .
解
减号变加号
(1)(-32) -(+5)=(-32)+(-5)=-37.
减数变相反数
(注意：两处必须同时改变符号.)
(3)(-2)-(-25)=(-2)+25=23 .
(4)12-21 = 12+(-21)= -9 .
练习
1. 下列括号内各应填什么数?
2. 计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
3. 填空：
(1)温度3℃比-8℃高
(2)温度-9℃比-1℃低
(3)海拔高度-20m比-180m高
(4)从海拔22m到-50m，下降了
习题 2.7
1. 计算：
(1)(-14)-(+15)； (2)(-14)-(-16)；
(3)(+12)-(-9)； (4)12-(+17)；
(5)0-(+52)； (6)108-(-11).
2. 计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3. 计算：
(1) [(-4)-(+7)]-(-5)；
(2)3-[(-3)-12]；
(3)8-(9-10)；
(4)(3-5)-(6-10).
4. 某地连续五天内每天的最高气温与最低气温记录如下，哪一天的温差(最高气温与最低气温的差)最大，哪天的温差最小?
5.某一矿井的示意图如右：以地面为准A点的高度是＋4.2米，B、C两点的高度分别是－15.6米与－30.5米。A点比B点高多少？比C点呢？
6.求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离。
(1)
(2)
(3)
(4)
你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？
§2.8 有理数的加减混合运算
1. 加减法统一成加法
算式(-8)-(-10)+(-6)-(+4)是有理数的加减混合运算，可以按照运算顺序，从左到右逐一计算.通常也可以应用有理数的减法法则，把它改写成(-8)+(+10)+(-6)+(-4)，统一为只有加法运算的和式.
在一个和式里，通常把各个加号省略不写.如上式可写成省略加号的和的形式(和式中第一个加数同时省略括号，若是正数，正号也省略不写.)：
这个式子仍看作和式，读作“负8、正10、负6、负4的和”.按运算意义也可读作“负8加10 减6减4”.
例1 把 写成省略加号的和的形式，并把它读出来.
解
=
=
读作：“ 的和”。
练习
1.把下列各式写成省略加号的和的形式，并说出它们的两种读法.
(1)(-12)-(+8)+(-6)-(-5)；
(2)(+3.7)-(-2.1)-1.8+(-2.6).
2.按运算顺序直接计算：
(1)
(2)
2. 加法运算律在加减混合运算中的应用
联想
在有理数加法运算中，通常适当应用加法运算律，可使计算简化.有理数的加减混合运算统一成加法后，一般也应注意运算的合理性.
例1 计算：
（1）
（2）
-24+3.2-16-3.5+0.3
=-24-16+3.2+0.3-3.5
=-40 .
(2)
=
=
=
=
=
练习
1. 下列交换加数位置的变形是否正确?
(1) 1-4+5-4=1-4+4-5 ;
(2) 1-2+3-4=2-1+4-3;
(3)
(4)
2. 计算：
(1)
(2) –4.2+5.7-8.4+10.2;
(3) –30-11-(-10)+(-12)+18;
(4)
习题 2.8
1. 按运算顺序直接运算：
(1)
(2)
(3)
(4)
2.将下式写成省略加号的和的形式，并按括号内要求交换加数的位置：
(1)(+16)+(-29)-(-7)-(+11)+(+9)
(2)(-3.1)-(-4.5)+(+4.4)-(+1.3)+ (-2.5)
(使和为整数的加数在一起)；
(3)
(4)
(使计算简便)
3. 计算：
4. 当a=-2.1，b=1.2，c=-3.4时，
求下列各式的值：
阅读材料－－中国人最早使用负数
——《九章算术》和我国古代的“正负术”
《九章算术》是中国古典数学最重要的一部著作。这部著作的成书年代，根据现在的考证，至迟在公元前一世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、赢不足、方程、勾股等九章，其中所包含的数学成就是十分丰富的。
引进和使用负数是《九章算术》的一项突出的贡献。在《九章算术》的“方程术”中，当用遍乘直除算法消元时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，就需要引进负数《九章算术》在方程章中提出了如下的“正负术”： “同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”
这实际上就是正负术的加减运算法则。“同名”、“异名”分别指同号、异号；“相益”、“相除”分别指两数的绝对值相加、相减。前四句说的是正负数和零的减法法则，后四句说的是正负数和零的加法法则。用符号表示，设a＞b＞0，这八句话可以表示为：
(±a)－(±b)＝±(a－b)；
(±a)－(μb)＝±(a＋b)；
0－a＝－a；
0－(－a)＝＋a；
(±a)＋(μb)＝±(a－b),(±b)＋(μa)＝μ(a－b)；
(±a)＋(±b)＝±(a－b)；
0＋a＝＋a；
0＋(－a)＝－a。
不难看出，所有这些是与我们所学的有理数加减法法则是完全一致的。
《九章算术》以后，魏晋时期的数学家刘徽对负数的出现就作了很自然的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”，并主张在筹算中用红筹代表正数，黑筹代表负数。
在国外，负数的出现和使用要比我国迟好几百年，直到七世纪时印度数学家才开始使用负数。而在欧洲，直到十六世纪韦达的著作还拒绝使用负数。
§2.9 有理数的乘法
1.有理数的乘法法则
问题1
我们知道，这个问题可用乘法来解答：
3×2＝6，
即小虫位于原来位置的东方6米处.
注意： 这里我们规定向东为正，向西为负。
如果上述问题变为：
问题2
(－3)×2＝－6，
即小虫位于原来位置的西方6米处。
比较上面两个算式，有什么发现?
当我们把“3×2＝6”中的一个因数“3”换成它的相反数“－3”时，所得的积是原来的积“6”的相反数“－6”，一般地，我们有：
两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数.
试一试：
3×(－2)＝?
与3×2＝6相比较，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“－2”，所得的积是原来的积“6”的相反数“－6”，即
3×(－2)＝－6.
再试一试：(－3)×(－2)＝?
把上式与(－3)×2＝－6对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“－2”，所得的积是原来的积“－6”的相反数“6”，即(－3)×(－2)＝6
此外，如果有一个因数是0时，所得的积还是0，如(－3)×0＝0、0×2＝0.
概括：综合以上各种情况，我们有有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘.
任何数同0相乘，都得0.
例如：
(－5)×(－3)··················同号两数相乘
(－5)×(－3)＝＋( )················得正
5×3＝15····················把绝对值相乘
所以 (－5)×(－3)＝15.
再如：
(－6)×4····················异号两数相乘
(－6)×4＝－( )···················得负
6×4＝24····················把绝对值相乘
所以 (－6)×4＝－24.
例1 计算：
(1)
(2)
解
(1)
(2)
1.确定下列两数的积的符号:
(1)
(2)
(3)
(4)
2.计算:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
3.计算:
(1)
(2)
(3) ；
(4)0×(－1)；
(5)
(6)
(7)
(8)
2．有理数乘法的运算律
概括
有理数的乘法仍满足交换率和结合律。
乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
ab＝ba.
乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相积乘，或者先把后两个数相乘，积不变.
(ab)c＝a(bc).
根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.
例2 计算：
(-10) × ×0.1×6
解(-10) × ×0.1×6
= [(-10) ×0.1] ×
= (-1) ×2 = - 2
能直接写出下列各式的结果吗?
(-10) × ×0.1×6
=
(-10) × ×(-0.1)×6
=
(-10) × ×(-0.1)×( -6
)=
观察以上各式，能发现几个正数与负数相乘，积的符号与各因数的符号之间的关系吗?
一般地，我们有几个:不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.
几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘.
思考
三个数相乘，积为负，其中可能有几个因数为负数？四个数相乘，积为正，这四个数中是否可能有负数？
试一试：
几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.
例3 计算:
(1) ;
(2)
解
(1) = = 8+3=11
(2) = =
1.计算：
(1)
(2)
(3)
2.计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
小学里我们还学过乘法分配律，例如
6*（1/2+1/3）=6*1/2+6*1/3
概括
有理数的乘法仍满足分配律：
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.
a(b＋c)＝ab＋ac.
(1) ;
(2)
解
(1)
(2)
例5 计算：
(1)
(2)
解
(1)
(2)
由上面的例子可以看出，应用运算律，有时可使运算简便. 也有时需要先把算式变形，才能用分配律，如例4(2)，还有时需反向运用分配律，如例5(1).
1.计算:
(1)
(2) ;
(3) ;
(4)
2.计算:
(1) ;
(2)
习题2.9
1.计算
(1)(－6)×(－7)； (2)(－5)×12；
(3)(－26)×(－1)； (4)(－25)×14.
2.计算：
(1)0.5×(－0.4)； (2)－10.5×0.2；
(3)(－100)×(－0.001)；(4)－4.8×(－1.25)；
(5)－7.6×0.02； (6)－4.5×(－0.32).
3.计算：
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4)
4.计算：
(1)－2×(－3)×(－4); (2)6×(－7)×(－5);
(3)100×(－1)×(－0.1);
(4)(－8)××(－1) ×0.5;
(5)21×(－71)×0×43;
(6)－9×(－11)－12×(－8).
5.计算：
(1) ;
(2)
(3)
(4)
读一读
队列操练中的数学趣题
一次团体操排练活动中，某班45名学生面向老师站成一列横队.老师每次让其中任意6名学生向后转(不论原来方向如何)，能否经过若干次后全体学生都背向老师站立?如果能够的话请你设计一种方案，如果不能够，请说明理由.
问题似乎与数学无关，却又难以入手.注意到学生站立有两个方向，与具有相反意义的量有关，向后转又可想象为进行一次运算，或者说改变符号.我们能否设法联系有理数知识进行讨论?
让我们再发挥一下想象力：假设每个学生胸前有一块号码布，上写“+1”，背后有一块号码布，上写“-1”，那么一开始全体学生面向老师，胸前45个+1的“乘积”是+1.如果最后全部背向老师，则45个-1的“乘积”是-1.
再来观察每次6名学生向后转进行的是什么“运算”.我们也设想老师不叫“向后转”，而称这6名学生对着老师的数字都“乘以-1”.这样问题就解决了：每次“运算”乘上了6个-1，即乘上了+1，故45个数的乘积不变(数学上称不变量)，始终是+1.所以要乘积变为-1是不可能的.
一个难题，被有理数的简单运算别出心裁地解决了.有理数的知识多么有用！可同学们的想象力更重要.
试一试
将一根绳子两端分别涂上红色和白色，再在中间随意涂上若干个白色或红色的圆点.在这些圆点中间剪开，这样所得到的各小段两端都有颜色.试说明两端颜色不同的小段数目必是奇数.
§2.10 有理数的除法
回忆
小学里学过的除法的意义是什么?它与乘法有什么关系？
试一试
计算： (－6)÷2＝( ?)
根据除法的意义，这就是要求一个数“？”，使
（？）×2=(－6)
根据有理数的乘法运算，有
2×(－3)＝－6，
所以，(－6)÷2＝(－6).
这表明除法可以转化为乘法来进行.
做一做
填空：
8÷(－2)＝8×(
6÷(－3)＝6×(
－6÷(
－6÷(
做完上述填空后，你有什么发现？
小学里我们学过倒数的意义，对于有理数仍然有：
想一想
乘积是1的两个数互为倒数(reciprocal).
例如，2与 、( )与( )分别互为倒数.
这样，又历数的处罚都可以转化为乘法：
除以一个数等于乘上这个数的倒数.
注意：0不能作除数.
例1 计算:
(1) ;
(2) ;
(3)
解
(1)
(2)
(3)
因为除法可化为乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
(1)
(1)
(2)
例3 计算:
(1)
;
解
(1)
(2)
1.写出下列各数的倒数:
(1) ;
(4) 1;
2.计算:
(1)
;
(4)
3.计算:
(1)
4. 下列计算正确吗？为什么？
习题2.10
1.写出下列各数的倒数:
(1) –15;
2.计算:
(1)(-42)
(2) ;
(3) ;
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
3.化简下列分数:
(1) ;
4.计算:
(1) ;
(2)
(3)
5.(1)把图中第一个圈里的每一个数，各乘以－2,请写出第二个圈里对应的数.
(2)把图中第一个圈里的每一个数，各除以(－2) , 请写出第二个圈里对应的数.
(第5题)
§2.11 有理数的乘方
在小学已经学过，
记作 ，读作a的平方(或 a的二次方)；a·a·a记作 ，读作a的立方(或a的三次方).
一般地，我们有：
n个相同的因数a 相乘，即a·a·…·a，记作
n个
例如，2×2×2＝23；(－2)(－2)(－2)(－2)＝(－2)4.
例如， 中，底数是2，指数是3， 读作2的3次方，或2的3次幂.
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是 ，通常指数为1时省略不写.
例1 计算:
(1) ；(2) ；(3) .
解:
(1) ＝(－2)(－2)(－2)＝－8，
(2) ＝(－2)(－2)(－2)(－2)＝16，
(3) ＝(－2)(－2)(－2)(－2)(－2)＝－32.
根据有理数乘法运算法则，我们有：
正数的任何次幂都是正数；
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
试一试：
读作什么?其中底数是什么?指数是什么? 是正数还是负数?
;
练习
1. 读作什么?其中－4叫做什么数?5叫做什么数? 是正数还是负数?
2.计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
习题2. 11
1.把下列各式写成乘方运算的形式：
(1)6×6×6； (2)2.1×2.1;
(3)(－3)(－3)(－3)(－3)；
(4) .
2.把下列各式写成乘法运算的形式：
(1) ；
(3) ； (4) .
3.
4. 计算
(1) ;
阅读材料
1000 与3
数学是奇妙的，有趣的。当你在做数学题时，是否也有这样的感受呢？数的运算千变万化，看看下面的例子，你可能会更感到数学的妙了。
10 与3 ，粗看很像，但是10 =1000，3 =59049，大小相差几十倍。
再添一个零怎么样？
100 =1000000，
3 =515377520732011331036461
如果再添一个零呢？
1000 =1000000000，
3
=132207081948080663689045
再添一个零，他们的差距实在太大了！看来做数学题时，千万要仔细，不然会相差十万八千里。
继续学习，你将会遇到许许多多这样的大数。加拿大的一位年轻人通过网络，借用全球数十万台电脑，找到目前为止已知的最大的素数（即只能被1和自己整除的数）为
2 -1
它的位数超过400万位，而3 才478位呢！
§2.12 科学计数法
用乘方的形式，有时可方便地来表示日常生活中遇到的一些较大的数，如：
光的速度大约是300 000 000米/秒;
全世界人口数大约是6 100 000 000.
这样的大数，读、写都不方便，考虑到10的乘方有如下特点：
＝100， ＝1000， ＝10000，…
一般地，10的n次幂，在1的后面有n个0，这样就可用10的幂表示一些大数，如，
6 100 000 000＝6.1×1 000 000 000＝6.1× .
象上面这样把一个大于10的数记成a× 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法.
例2 用科学记数法记出下列各数:
(1)696 000；(2)1 000 000；(3)58 000.
解
(1)696 000＝6.96× .
(2)1 000 000＝ .
(3)58 000＝5.8× .
注意：一个数的科学记数法中，10的指数比原数的整数位数少1，如原数有6位整数，指数就是5.
练习
1.用科学记数法记出下列各数.
2.下列用科学记数法记出的数，原来各是什么数?
(1)1× ；(2)5.18× ；(3)7.04× .
习题2.12
1.用科学记数法记出下列各数：
(1)3210； (2)50600；(3)10 000 000.
2.下列用科学记数法记出的数，原来各是什么数?
(1)2× ；(2)6.03× ；(3)5.002× .
3.用科学记数法记出下列各数：
(1)地球离太阳约有一亿五千万千米；
(2)地球上煤的储量估计为15万吨以上.
4.一天有8.64× 秒，一年有365天，一年有多少秒?(用科学记数法表示)
5.地球绕太阳转动每小时约通过1.1×105千米，声音在空气中传播，每小时约通过1.2× 千米.地球转动的速度与声音传播的速度哪个大?
阅读材料－－光年和纳米
在阅读报章杂志或科技书刊时，有时我们会看到“光年”、“纳米”这两个名称，你知道它们的含意吗?
光年(light year)是天文学中使用的距离单位，简记为ly或l.y.，主要用于度量太阳系外天体的距离 。 1 光年是指光在真空中经历一年所走的距离。真空中光速为
c＝299792.458千米／秒，
而1年 (秒)，
故 1光年 299792.458.259.46 (千米),即约等于9.46万亿千米。
离太阳最近的恒星(半人马座比邻星)与太阳的距离为4.22光年。银河系的直径约10万光年。人类所观测的宇宙深度已达到150亿光年。同学们,你能算出这些距离等于多少千米吗? 从中你是否可以体会到用光年作单位的优越性。
光年是表示较大距离的一个单位, 而纳米(nanometer)则是表示微小距离的单位。1纳米= 米，即1米= 纳米。我们通常使用的尺上的一小格是一毫米(mm)，1毫米= 米。可见，1毫米= 纳米，容易算出，1纳米相当于1毫米的一百万分之一。可想而知，1纳米是多么的小。
超微粒子的大小一般在1～100 纳米范围内，故又称纳米粒子。纳米粒子的尺寸小，表面积大，具有高度的活性。因此，利用纳米粒子可制备活性极高的催化剂，在火箭固体燃料中掺入铝的纳米微粒，可提高燃烧效率若干倍。利用铁磁纳米材料具有很高矫顽力的特点，可制成磁性信用卡、磁性钥匙，以及高性能录像带等。利用纳米材料等离子共振频率的可调性可制成隐形飞机的涂料。纳米材料的表面积大，对外界环境(物理的和化学的)十分敏感，在制造传感器方面是有前途的材料，目前已开发出测量温度、热辐射和检测各种特定气体的传感器。在生物和医学中也有重要应用。
纳米材料科学是20世纪80年代末诞生并正在崛起的科技新领域，它将成为跨世纪的科技热点之一。
§2.13 有理数的混合运算
观察
下面的算式里有哪几种运算?
3＋50÷22×( )－1.
这个算式里，含有加、减、乘、除、乘方等多种运算，称为有理数的混合运算。
有理数混合运算的运算顺序规定如下：
1 先算乘方，再算乘除，最后算加减；
2 同级运算，按照从左至右的顺序进行；
3 如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。
试一试：
指出下列各题的运算顺序：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
例1 计算
解
思考
2÷（１/２－２）与2÷１/２－２有什么不同?
（-2）÷(2×3)与（-2）÷2×3有什么不同?
试一试：
计算：
练习
1. 计算2× －4×(－3)＋15.
2.计算 .
3. 计算 .
有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键，能用简便方法的就用简便方法、能够口算的就口算，下面再看几个例子.
例2 计算:
解
················(先算乘方)
···············(化除为乘)
···(先定符号，再算绝对值)
例3 计算:
解
=
=
=
例4 计算:
解
=
=
也可这样来算
=
=
练习
1.计算:
(1) ;
(2) ;
(3)
2.下列计算有无错误?若出错如何改正?
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4)
习题2. 13
1.计算:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5)
(6)
2.计算:
(1)
(2) ;
(3) ;
(4)
3.计算:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5)
§2.14 近似数和有效数字
做一做
1.
2.
如果统计得到班上喜欢看球赛的同学的人数是35，则35这个数十余世纪完全符合的准确数，一个也不多一个也不少。如果量得课本的宽为18.4厘米，由于所用尺的刻度有精确度限制，而且用眼观察不可能非常细致，因此与实际宽度会有一点偏差。这里的18.4是一个与实际宽度非常接近的数称为近似数(approximate number).测量的结果，往往是近似数。
除了测量，我们还会遇到或用到近似数。例如，我国的陆地面积约为960万平方千米，小离家的写字台长120厘米，这里的960、120都是近似数。.
使用近似数就有一个近似程度的问题，也是就精确度的问题.
我们都知道，
···.
计算中我们须对π取近似数：
如果结果只取整数，那么按四舍五入的法则应为2，就叫做精确到个位；
如果结果取1位小数，则应为1.7，就叫做精确到十分位(或叫精确到0.1)；
如果结果取2位小数，则应为1.67，就叫做精确到百分位(或叫精确到0.01)；
···························.
概括
一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
这时，从左边第一个不是0的数起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字(significant digits).
例如，小明的身高为1.70米，1.70这个近似数精确到百分位，共有3个有效数字：1、7、0。
例1 下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位?各有哪几个有效数字?
(1)132.4；(2)0.0572
解：(1)132.4精确到十分位(精确到0.1)，共有4个有效数字1、3、2、4；
(2)0.0572精确到万分位(精确到0.0001)，共有3个有效数字5、7、2；
例2 用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数.
(1)0.34082(精确到千分位)；
(2)64.8 (精确到个位)；
(3)1.504 (精确到0.01)；
(4)0.0692 (保留2个有效数字)；
(5)30542 (保留3个有效数字)；
解 (1)0.34082 ≈ 0.341.
(2)64.8 ≈ 65 .
(3)1.504 ≈ 1.50.
(4)0.0692 ≈ 0.069.
(5)30542. ≈ 3.05×104 .
注意
(1)
(2)
1.请你举几个准确数和近似数的例子.
2.圆周率 ···，如果取近似数3.14, 它精确到哪一位?有几个有效数字?如果取近似数3.1416呢?
3.下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位?各有哪几个有效数字?
(1)127.32； (2)0.0407； (3)20.053；
(4)230.0千； (5)4.002.
4.用四舍五入法，将下列各数按括号中的要求取近似数.
(1)0.6328 (精确到0.01)；
(2)7.9122 (精确到个分位)；
(3)47155 (精确到百位)；
(4)130.06 (保留4个有效数字)；
(5)460215 (保留3个有效数字).
5.一桶玉米的重量大约为45.2千克.场上有一堆玉米，估计大约相当于12桶.估计这堆玉米大约重多少千克(精确到1千克)?
6.王平与李明测量同一根铜管的长，王平测得长是0.80米，李明测得长是0.8米.两人测量的结果是否相同?为什么.
习题 2.14
1.下列各个数据中，哪些数是准确数?哪些是近似数?
(1)小琳称得体重为38千克；
(2)现在的气温是－2℃；
(3)1m等于100cm；
(4)东风汽车厂2000年生产汽车14500辆.
2.下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字?
(1)5.67； (2)0.003010；
(3)111万； (4)1.200亿.
3.用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值：
(1)1102.5亿(精确到亿)；
(2)0.00291 (精确到万分位)；
(3)0.07902 (保留三位有效数字).
4.用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值，并用科学计数法表示：
(1)129551(保留3个有效数字)；
(2)0.004753(保留2个有效数字).
5.量出课本封面的长度和宽度(精确到1mm).
读一读
巧算平均数
在实际生活中常见到求平均数的问题.例如
问题 某校初一年级蓝球队12名同学的身高分别如下(单位：厘米)：
163，158，161，165，171，164，167，163，168，166，166，164.
求全队同学的平均身高(保留4个有效数字).
分析 我们已经熟悉平均数的求法：将这12个数相加，所得和除以12即所需结果.这是小学阶段已掌握的方法，但计算较繁琐.应用有理数知识可否加以简化?
观察这些数字，发现大多在160至170之间.若以“居中”的数165为基准，超过部分记作正数，不足部分记作负数，得到一组新的数据.这些数的绝对值较小，且有正数、有负数，估计计算较简便.
解 分别将各数减去165，得
计算这组数的平均数
答：全队同学的平均身高约为164厘米.
§2.15 用计算器进行数的简单运算
问题
已知一个圆柱的底面半径长2.32cm，高为7.06cm，求这个圆柱的体积.
我们知道，圆柱的体积＝底面积×高.因此，计算这个圆柱的体积就要做一个较复杂的运算：
碰到复杂的计算，我们可以利用电子计算器(简称计算器)来完成.
例1 用计算器求345＋21.3.
解 用计算器求345＋21.3的过程为：
键入345+21.3，显示器显示运算式为345+21.3，再按SHIFT=，在第二行显示运算结果366.3，所以
345＋21.3＝366.3.
做一做 按例1的方法，用计算器求105.3－243.
例2 用计算器求31.2÷(－0.4).
解 用计算器求31.2÷(－0.4)的按键顺序是：
3 1 . 2 ÷ 0 . 4 ＋/－ ＝ .
所以 31.2÷(－0.4)＝78.
注意：(1) 输入0.4时可以省去小数点前的0，按成 . 4 。
(2)不同型号的计算机可能会有不同的按键顺序.如输入负数-5，有的计算机是（-）5或-5，有的则为5+/-。
做一做 按例2的方法，用计算器求
例3 用计算器求62.2－4×(－7.8).
这是减法和乘法的混合运算.对于加、减、乘、除法和乘方的混合运算.只要按算式的书写
顺序输入，计算器会按要求算出结果.因此，本题的按键顺序是：
6 2 . 2 － 4 × ÷ 7 . 8 % ＝ .
所以， 62.2－4×(－7.8)＝93.4.
做一做 按例3的方法，用计算器求
例4 用计算器求2.7 .
解 用计算器求 2.7 ，可以使用求立方的专用键x ,按键顺序是
2 · 7 x =.
显示结果为19.683，所以
2.7 ＝19.683.
也可以使用成方的专用键x (按2·7 x 后，出现2.7 )，按键顺序是：
2·7 x 3=
注意
用计算器求一个数的正整数次幂，不同的计算器会有不同的按键方式。
若求一个数的平方，不少计算器都有专用键。
做一做
(1)按例4的方法求
(2)用计算器求出本节开头的圆柱的体积(结果精确到mm, 取3.14).
1.用计算器求下列各式的值：
(1)27＋308；
(2)0.75＋32.04；
(3)3.65－72.7；
(4)－97.9＋34.8；
(5)－43－(－28)；
(6)0.147×63；
(7)36×125；
(8)84÷(－24)；
(9)76÷(－0.19)；
(10)(－0.125) ×(－18)；
(11)－125×0.42÷(－7)；
(12)83＋139－328＋512；
(13)－3.14＋5.76－7.19；
(14)2.5×76÷(－0.19)；
(15)－125×0.42÷(－7)；
(16)－389÷15.2×3(结果保留三位有效数字)。
2.用计算器求下列各式的值：
(1)23×15＋4； (2)50÷2－20×3；
(3)25×3×2＋(－127)；(4)；0.84÷4＋0.79×2
(5)－24×2＋15÷0.75；(6) ；
(7) ； (8) ；
(9) ； (10) .
3.用计算器求下列各式的值：
(1)2.6×3－ ；
(2) ；
(3) .
习题 2. 15
1.用计算器求下列各式的值：
(1)83＋189－328＋512；
(2)－3.14＋5.76＋28.34－7.19；
(3)43×97×985；
(4) ；
(5)989÷37÷45(精确到0.01)；
(6)－389÷5.2×3(保留三位有效数字).
2.已知圆环的外径为46mm，内径为27mm，求圆环的面积( 取3.14，结果精确到mm).
3.圆锥的体积公式是：
圆锥的体积＝ ×底面积×高.
用计算器计算高为7.6cm，底面半径为2.7cm的圆锥的体积(结果保留两个有效数字，( 取3.14).
阅读材料
从结绳计数到计算器
伴随着人类诞生，数数和计数就同时出现在人们的各项活动中，成为人类文明史的一个重要组成部分。我国古代早有结绳计数的记载，即用绳子打结作为记录和计数的工具，之后石块、算筹等等都被用于劳动与生活，随着人们的数学知识的增加和技术的发展，我国在元代发明了算盘及相应的算珠算法，17世纪，英国人发明了计算尺，与此同时，法国和德国发明了手摇计算器，进行数的四则运算。
如今，计算器已经成为人们工作与生活不可缺少的有用工具，一个计算器，看来它的体积很小，但作用却极大，具有很多功能，它既可以帮助我们进行各种复杂的数学计算，解答现实生活中的各种数学问题，还可以帮助我们理解数学概念？有的计算器还可以编织各种程序，有的计算器还可以绘制各种图形，有的升值还可以进行式的运算，真是琳琅满目，功能强大。
由于计算器的型号各不相同，因此使用方法也未必一样，计算器大致可分为两类，一类是按数学的书写顺序输入的，另一类是不按数学的书写顺序输入的。例如要输入-4，前一类计算器的按键顺序为-4，而后一类计算器的按键顺序为4+/-，根据计算器的显示屏幕，计算器又可分为一行显示、两行显示以及多行显示。
我们的航船已经浩浩荡荡的驶进了奇妙的数学世界，千万别忘了带上你的计算器，一起遨游知识的海洋。
小结
一、知识结构
二、注意事项
1. 数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，学习本章要善于结合数轴理解有理数的有关概念(如相反、绝对值)，会利用数轴比较两个有理数的大小.
2. 在有理数的运算中，要特别注意符号问题，提高运算的正确性，还要善于灵活运用运算律简化运算.
3. 在实际运算中经常会遇到近似数，要注意按要求的精确度进行计算和保留结果.对较大的数用科学记数法表示既方便，又容易体现对有效数字的要求.
复习题
A组
1.有理数＋2.5，－8，－0.7， ， ，0.05，0中，哪些是正数?哪些是负数?
2.根据下表每行中的已知数，填写该行中的其它数：
3.把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序用“<”号把这些数连续起来；
＋2.5, －3, , , 0, －1.6.
4.按照从大到小的顺序，用“>”号把下列各数连结起来：
－3.2,
5.在数轴上画出所有表示大于－5，并且小于4的整数的点来，其中最大的一个数是多少?
6.比较下列各组数的大小：
(1) 和 ； (2)－1.17和－1.2；
(3) 和 ； (4) 和－2；
(5)0.001和0.009.
7.计算
8.计算：
9.(1)平方得 的有理数有哪几个?有没有平方得 的有理数?
(2)立方得27的有理数有几个?有没有立方得－27的有理数?
10.(1)两个互为相反数的数的和是什么?
(2)如果这两个互为相反数的数都不为0，那么它们的商是多少?
11.用四舍五入法对下列各数按括号中的要求取近似值：
(1)2.768(精确到百分位)；
(2)0.009403(保留三个有效数字)；
(3)8.965(精确到0.1)；
(4)17289(精确到千位).
12.当a＝－1.2, b＝－1.6, c＝2时，求下列各式的值：
(1) ； (2) ；
(3)
13.根据下列语句列式并计算：
(1)－3与0.3的和余以2的倒数；
(2)45加上15与－3的积；
(3)34与6的商减去 ；
(4) 与－5的差的平方.
14.(1)0和1之间的数的平方比原数大还是小呢?立方呢?倒数呢?举例说明.
(2)－1和0之间的数的平方比原数大还是小呢?立方呢?倒数呢?举例说明.
15.选择题：
(1)下列各组数中，不相等的一组是( )
A. 和
C. 和
(2)计算 ＋ 所得结果是( )
A.
(3)下面各组有理数中，大小关系判断正确的一组是( ).
A.0>|－10|
C.
16.计算：
(1)当a＞0，b＞0，a<b时，1a与1b哪个大?
(2)当a<0，b<0，a<b时，与哪个大?
18.如图，数轴上的点A、B、O、C、D分别表示－5，—1，0，2.5，6，回答下列问题.
(1) C、B两点间的距离是多少?
(2) B、D两点间的距离是多少?
(3) A、B两点间的距离是多少?
19.某食品厂从生产的食品罐头中，抽出20听检查重量.将超过标准的重量用正数表示，不足标准的重量用负数表示，结果记录如下表：
问这批样品的平均重量比标准重量轻几克?
20.在1：50 000 000的地图上量得两地的距离是1.3cm，试用科学计数法表示这两地间的实际距离(单位：米).
21.圆柱的体积计算公式是：圆柱体积＝底面积×高，求高为0.82m，底而半径为0.47m的圆柱的体积( 取3.14，结果保留2个有效数字).
22.加工一根轴，圆纸上注明它的直径是.其中是表示直径是 表示合格的直径最大只能比规定的直径大0.03mm，－0.02mm表示合格的直径最小只能比规定的直径小0.02mm.那么合格的直径最大可为多少?最小可为多少?
23.说出符合下列条件的字母所表示的有理数是正数?负数?还是零?
(1)|a|＝a； (2)|a|>a；
(3)|a|＝－a； (4)a>－a；
24.(1)由|m|＝|n|，能得到m＝n吗?请举例说明；
(2)由|m|＝|n|，能得到m2＝n2吗?请举例说明；
25.你能由右图得出计算规律吗?
1＋2＋5＋7＋9＋11＝
由此你能推得，n个从1开始的连续奇数之和等于多少吗?
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