计算几何之--------最小圆覆盖问题_winedia

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计算几何之--------最小圆覆盖问题

(2012-03-28 09:01:37)

标签：

计算几何

算法

分类： Algorithm

今天，zjoi出发日，居然还在做题！

好吧吐槽一下，于是正题。

恩，最小圆覆盖，很经典的问题。题目大概是，平面上n个点，求一个半径最小的圆，能够覆盖所有的点。

算法有点难懂，于是讲讲我的理解。

如果要求一个最小覆盖圆，这个圆至少要由三个点确定。有一种算法就是任意取三个点作圆，然后判断距离圆心最远的点是否在圆内，若在，则完成；若不在则用最远点更新这个圆。这里不仔细介绍，具体见：http://wenku.baidu.com/view/584b6d3e5727a5e9856a610d.html

这里介绍的算法是，先任意选取两个点，以这两个点的连线为直径作圆。再以此判断剩余的点，看它们是否都在圆内（或圆上），如果都在，说明这个圆已经找到。如果没有都在：假设我们用的最开始的两个点为p[1],p[2]，并且找到的第一个不在圆内（或圆上）的点为p[i]，于是我们用这个点p[i]去寻找覆盖p[1]到p[i-1]的最小覆盖圆。

那么，过确定点p[i]的从p[1]到p[i-1]的最小覆盖圆应该如何求呢？

我们先用p[1]和p[i]做圆，再从2到i-1判断是否有点不在这个圆上，如果都在，则说明已经找到覆盖1到i-1的圆。如果没有都在：假设我们找到第一个不在这个圆上的点为p[j]，于是我们用两个已知点p[j]与p[i]去找覆盖1到j-1的最小覆盖圆。

而对于两个已知点p[j]与p[i]求最小覆盖圆，只要从1到j-1中，第k个点求过p[k],p[j],p[i]三个点的圆，再判断k+1到j-1是否都在圆上，若都在，说明找到圆；若有不在的，则再用新的点p[k]更新圆即可。

于是，这个问题就被转化为若干个子问题来求解了。

由于三个点确定一个圆，我们的过程大致上做的是从没有确定点，到有一个确定点，再到有两个确定点，再到有三个确定点来求圆的工作。

关于正确性的证明以及复杂度的计算这里就不介绍了，可以去看完整的算法介绍：http://wenku.baidu.com/view/162699d63186bceb19e8bbe6.html

恩。关于细节方面。

a.通过三个点如何求圆？

先求叉积。

若叉积为0，即三个点在同一直线，那么找到距离最远的一对点，以它们的连线为直径做圆即可；

若叉积不为0，即三个点不共线，那么就是第二个问题，如何求三角形的外接圆？

b.如何求三角形外接圆？

假设三个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)；

设过(x1,y1),(x2,y2)的直线l1方程为Ax+By=C，它的中点为(midx,midy)=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，l1中垂线方程为A1x+B1y=C1；则它的中垂线方程中A1=-B=x2-x1，B1=A=y2-y1,C1=-B*midx+A*midy=((x2^2-x1^2)+(y2^2-y1^2))/2；

同理可以知道过(x1,y1),(x3,y3)的直线的中垂线的方程。

于是这两条中垂线的交点就是圆心。

c.如何求两条直线交点？

设两条直线为A1x+B1y=C1和A2x+B2y=C2。

设一个变量det=A1*B2-A2*B1；

如果det=0，说明两直线平行；若不等于0，则求交点：x=(B2*C1 -B1*C2)/det，y=(A1*C2-A2*C1)/det；

d.于是木有了。。

恩。都讲清楚了。于是是代码：

#include<stdio.h>

#include<math.h>

struct  
TPoint  

{  

double x,y;  

};

TPoint a[1005],d;

double r;

double  
distance(TPoint  
p1,  
TPoint  
p2)  
//两点间距离

{  

    return (sqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x
-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y)));      

}

double multiply(TPoint  
p1,  
TPoint  
p2,  
TPoint  
p0)  

{  

    return  
((p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y));          

}  

void MiniDiscWith2Point(TPoint  
p,TPoint  
q,int  
n)

{

    d.x=(p.x+q.x)/2.0;

    d.y=(p.y+q.y)/2.0;

    r=distance(p,q)/2;

    int k;

    double c1,c2,t1,t2,t3;

    for(k=1;k<=n;k++)

    {

if(distance(d,a[k])<=r)continue;

if(multiply(p,q,a[k])!=0.0)

{

c1=(p.x*p.x+p.y*p.y-q.x*q.x-q.y*q.y)/2.0;

c2=(p.x*p.x+p.y*p.y-a[k].x*a[k].x-a[k].y*a[k].y)/2.0;

d.x=(c1*(p.y-a[k].y)-c2*(p.y-q.y))/((p.x-q.x)*(p.y-a[k].y)-(p.x-a[k].x)*(p.y-q.y));

d.y=(c1*(p.x-a[k].x)-c2*(p.x-q.x))/((p.y-q.y)*(p.x-a[k].x)-(p.y-a[k].y)*(p.x-q.x));

r=distance(d,a[k]);

}

else

{

t1=distance(p,q);

t2=distance(q,a[k]);

t3=distance(p,a[k]);

if(t1>=t2&&t1>=t3)

{d.x=(p.x+q.x)/2.0;d.y=(p.y+q.y)/2.0;r=distance(p,q)/2.0;}

else if(t2>=t1&&t2>=t3)

{d.x=(a[k].x+q.x)/2.0;d.y=(a[k].y+q.y)/2.0;r=distance(a[k],q)/2.0;}

else

{d.x=(a[k].x+p.x)/2.0;d.y=(a[k].y+p.y)/2.0;r=distance(a[k],p)/2.0;}

}

    }

}

void MiniDiscWithPoint(TPoint  
pi,int  
n)

{

    d.x=(pi.x+a[1].x)/2.0;

    d.y=(pi.y+a[1].y)/2.0;

    r=distance(pi,a[1])/2.0;

    int j;

    for(j=2;j<=n;j++)

    {

    if(distance(d,a[j])<=r)continue;

else

{

MiniDiscWith2Point(pi,a[j],j-1);

}

    }

}

int main()

{

    int i,n;

    while(scanf("%d",&n)&&n)

    {

for(i=1;i<=n;i++)

{

scanf("%lf %lf",&a[i].x,&a[i].y);

}

if(n==1)

{ printf("%.2lf %.2lf
0.00\n",a[1].x,a[1].y);continue;}

r=distance(a[1],a[2])/2.0;

d.x=(a[1].x+a[2].x)/2.0;

d.y=(a[1].y+a[2].y)/2.0;

for(i=3;i<=n;i++)

{

if(distance(d,a[i])<=r)continue;

else

MiniDiscWithPoint(a[i],i-1);

}

printf("%.2lf %.2lf
%.2lf\n",d.x,d.y,r);

    }

    return 0;

}

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