布鲁纳认知理论及对数学教育的启示

 

一、布鲁纳生平活动与著作

　　布鲁纳（Bruner,1915-）是美国认知派心理学家。1941年获哈佛大学心理学博士学位。布鲁纳早期从事有关动物知觉和行为的研究。第二次世界大战期间，研究方向一度转向社会心理学。战后他重返哈佛大学任教，致力于人的认知发展的研究。1952年任哈佛大学教授。1960年布鲁纳参与创建哈佛大学认知研究中心并担任主任。布鲁纳还美国心理学会主席、美国教育研究院研究员、美国总统顾问委员会以及白宫教育研究与发展特别小组成员等职务。

　　布鲁纳的教育代表作是《教育过程》（1960）。用作者自己的话说，它是一本“按照结构主义表达知识观，按照知觉主义来表达研究认识过程”的书。他的另外两本教育论文集《教学论探讨》（1966）和《教育的适合性》（1971），对《教育过程》中的某些思想做了补充性阐述。这三部著作代表了布鲁纳的主要教育观点，其中以《教育过程》最为重要，影响也最大。

二、布鲁纳认知理论

　　1.论认知发展

　　布鲁纳把认知发展作为有关教学论问题讨论的基础。他指出：“一个教学理论实际上就是关于怎样利用各种手段帮助人成长和发展的理论。”布鲁纳将其称为“成长科学”，即认知科学或智力发展科学。

　　布鲁纳原则上同意皮亚杰关于儿童的认知结构是连续的阶段性发展的结论，但在时间上往前推移了一些，并解释说这是因为儿童大脑发育比通常人们所认为的要快。布鲁纳认为，儿童的认知发展可以分为表演式再现表象期、肖像式再现表象期和象征式再现表象期。

　　表演式再现表象期。儿童主要借助于动作去学习。其认知特点是“以某种学会作出反应和形成习惯的动作为基础”。于是，“一个客观事物就是人对之有所动作的东西。”对于儿童来说，因此，训练必须与肌肉活动发生联系。

　　肖像式再现表象期。儿童开始具有一种表象系统，“它依靠视觉或其他感觉组织和各种概括化映象的作用。”这一年龄阶段儿童的视觉记忆十分具体和特异。人们在一个 1周岁婴儿面前放一件玩具，除非玩具原是握在他手里的，把它拿走是不会使他哭叫的。但对于一个3岁儿童来说，只要他已经看到玩具，把它拿走就足以惹怒他，这时客观事物具有了一种独立于动作之外的性质。“影像发展成了一种有独立状态的东西，它们成了动作的高度概括。”但一般来说，儿童尚无力透过事物表面变化来认识数量守恒现象。

　　象征式再现表象期。这一时期的特点是具有符号的性质。儿童能够借助语言来理解事物。“语言提供了一种可以不用形象作为唯一判断根据的手段。”首先是自然形式的语言，然后是数、词和逻辑形式出现的认为语言。它们能够超越动作或影象可达到的范围，而在最大程度上反映出现实的东西。

　　布鲁纳明确指出：教育过程的核心在于为受教育者提供帮助与对话的机会，以便受教育者把具体经验转为更加有力的标志系统和更有次序的体系。机遇这个理由，一种关于发展的力量内，必须既能同一种知识论，也能同一种教学论联系起来。在布鲁纳看来，脱离教育学理论的发展心理学，同忽视生长性质的教育学理论一样，都是空洞而无意义的东西。

　　值得注意的是，布鲁纳还提出了衡量认知发展水平的一些基本标准。例如，成长有赖于把各种过程内在化为某种与环境相适应的“存储系统”；智力成长涉及这样一种能力在不断增长，即用词语或信号手段对自己或他人说出他做了什么回将要做什么；智力发展有赖于在指导者和学习者之间发生的某种有系统的和偶发的相互作用；智力发展的标志是能同时处理若干不同的事物，在同一时间里能注意照顾若干相互关联的事物，能按多种要求适当地分配时间和注意等。

　　2.论认知结构

　　布鲁纳认为，智力活动本身是一个连续不断的构造过程。知识就是“我们构造起来的一种模式，它使得经验里的规律性具有了意义和结构。”知识的意义在于一个人的认知结构能与客观事物相符，并能很好地说明客观事物。

　　按布鲁纳的意见，知识结构的特点可以用三种方式来概括：一是“再现形式”，指知识结构的再现形式可以在动作、图象和符号这三者中选择；二是 “经济原则”，指把一门学科中多样化知识加以合理简约；三是“有效力量”，指产生新的命题和增强知识的可操作性等各种力量。布鲁纳指出，这三种方式内部影响着任何学习者对知识结构的掌握能力。

　　布鲁纳将结构原则列如了教学论的重要原则，并将它和动机原则、程序原则和强化原则并提。他把结构原则界说为“最便于学习者掌握的知识的组织方式”，并且将其与课程问题联系起来。这就是说，一门学科要为学习者提供尽量简要、有迁移力以及适于每个年龄阶段的学习者的基本结构，以促进认知能力的发展。

　　布鲁纳还指出，所谓“学科基本结构”是指某门学科的基本观念和原理。例如，化学中的“键”，物理中的“力”和“守恒定理”，数学中的交换律、分配律和结合律等。在他看来，掌握学科基本结构应成为学习者在运用知识方面的最低要求。它“不但包括掌握一般原理，而且还包括培养对待学习和调查研究、对待推测和预感、对待独立解决难题的可能性的态度”。布鲁纳认为，一门学科只教专门的课题或技能，而没有使学生把它们在知识领域更广博的基本结构中的脉络弄清楚，这是极不明智的。首先，这样的教学不能使学生从已学得的知识推广到他后来将碰到的问题；其次，不能使学生达到掌握一般原理，不利于激发学生的智慧；最后，学生所获得的知识将是一种多半会被遗忘的知识。

　　3.论发现学习

　　布鲁纳的结构课程论有一个中心信念：

　　无论在哪里，在知识的尖端也好，在三年级的教室里也好，智力的活动全都一样。一位科学家在他的书桌上或实验室了所做的，一位文学评论家在读一首诗时所做的，正像从事类似活动而想要获得理解的任何其他人所做的一样，都是属于同一类的活动。其间的差别，仅在程度而不在性质。学习物理的小学生就是个物理学家嘛，而且对他来说，像物理学家那样来学习物理学，比起做别的什么来，较为容易。

　　由这个中心信念必然推论得知，学生的学习与科学家的学习具有同样的性质，同属于发现学习。

　（1）发现学习的意义

　　何谓发现？布鲁纳认为：“我将运用这一个假设，即发现，不论是在校儿童凭自己的力量所作出的发现，还是科学家努力与日趋尖端的研究领域做作出的发现，按其性质来说，都不过是把现象重新组织或转换、使人能超越现象再进行组合，从而获得新的领悟而已。”所以发现的过程是一种高级的心理过程，一种问题解决的过程。发现学习就是不把学习内容直接呈现给学习者，而是由学习者通过一系列发现行为（如转换、组合、领悟等）而发现并获得学习内容的过程。

发现学习的渊源至少追溯至卢梭的浪漫自然主义以及杜威的经验自然主义对问题解决能力的重视，但布鲁纳是当代发现学习的主要倡导者。

　（2）发现行为的重要性

　　继《教育过程》之后，布鲁纳在一系列文章中都谈到了发现的心理机制及发现行为的重要性。特别是他1961年发表在《哈佛教育评论》上的生动而深刻的文章《发现的行为》，被不少西方教育家理解为“教育学的一个学派”的基础。布鲁纳认为发现行为具有如下价值。

　　第一，一切真知识都是自己发现的，发现行为因而成为教育追求的目标。布鲁纳指出：“发现不限于那种寻求人类尚未知晓之事物的行为，正确的说，发现包括着用自己的头脑亲自获得知识的一切形式。”只有亲自发现是知识才是真正属于个人的，才是自己的内在财富。教育要培养智力的卓越性，实际上就是培养发现知识的能力。

　　第二，发现行为有助于知觉思维能力的发展。布鲁纳在《教育过程》中提出了知觉思维与分析思维相互补充的观点。知觉思维能力是科学发现和创造中极其宝贵的品质。然而，可惜的是，“学校学习中的形式主义已经或多或少贬低了知觉的价值”。在发现学习中充满了尝试、猜想和领悟，这些都有助于知觉思维能力的养成。

　　第三，发现行为有助于引起学习的内部动机和自信心。在《教育过程》中，布鲁纳认为课程设计中要重视“发现的兴奋感”，即重视“由于发现观念间的以前未曾认识的关系和相似性的规律而产生的对本身能力的自信感”。在课程中提出一个学科的基本结构时可以保留一些令人兴奋的部分，引导学生自己去发现。在《发现的行为》中，布鲁纳指出：“使儿童的认知活动有效率的问题，多半在于应让儿童摆脱周围环境所给予的奖惩的直接控制。”在儿童的认知生活中应形成这样一种倾向，“即用自我奖赏这一自主性来展开他的学习活动，说的更确却些，便是儿童一发现作为奖赏而自主进行学习的活动”。这样，发现本身成为内部动机的主要来源。布鲁纳特别强调胜任动机作为内部动机的主要方面。

　　第四，发现行为有助于保持记忆。布鲁纳吸收认知心理学家米勒的观点，认为人类记忆的首要问题不是存储而是检索。从检索的角度看，记忆过程也是一个解决问题的过程，即发现的过程。布鲁纳据此指出：“一般来说，按照一个人自己的兴趣和认知结构组织起来的材料就是最有希望在记忆中‘自由出入’的材料。”因此，发现行为能够促进记忆的保持。

　　布鲁纳后来在谈到人们对“发现”概念的误用时指出：“某些教育家认为发现本身好象就有价值，而且自然会有价值，竟不管它是什么样的发现，也不管它对谁起作用。”因此，在布鲁纳看来，作为教育目的的发现行为，是内容与形式的统一。教育不应当不顾发现的内容的性质，把发现行为形式化，否则会从另一个极端束缚人的智力的发展。

三、布鲁纳认知理论对数学教学的启示

　　1.正确衡量学生认知发展水平是良好数学教学的前提。

　　在布鲁纳看来，学生认知发展有一定的阶段性，只有正确评价学生认知发展水平才能确定什么样的数学的可以教的和可以学的。否则，所选取的数学教学内容或者为学生已有知识结构的一部分或者远离学生的认知发展水平之所及，将不利于数学教学的顺利进行。

　　2.数学教学应注重数学学科整体知识结构的教学。

　　布鲁纳认为学习重在掌握知识的结构。加强数学学科整体知识结构的教学，能让学生把握数学学科的基本脉络，使所学知识成良序组织，有利于进行推广、引申和迁移。否则，数学教学中过于注意局部知识和个别问题的教学，忽视数学的知识结构，则让学生所学知识表现为零散的和无序的堆积，不利于学生对知识的记忆和内化，也不利于学生进行迁移和相关应用。

　　3.加强对学生发现学习的引导。

　　发现学习是高小率的学习方式。对学生进行发现学习的引导是提高学生学习效率和培养学生数学探究能力的重要途径。因此，在数学教学中应加强这方面的相关引导。当然，一个学生不可能只凭发现法学习，正像一个发明家不是一直都有发明创造一样。发现学习并不排斥讲授法、问答法、讨论法以及各种形式的练习。在实际教学中怎样把握一个关于发现的恰到好处的“度”还值得每一个数学教师和研究人员进一步思考。

 

 

杜威“教育即生活”与数学教学

 

 一、杜威的“教育即生活”思想述评

　　在19世纪中期的美国，从欧洲传入的赫尔巴特教育思想在学校教育领域中占据了统治地位，致使学校生活、课程内容和教学方法等方面极不适应生活的变化。尽管公告教育在美国的发展促使人数迅速增加，但学校却是个惹人厌烦的地方。学校教育与社会生活脱节，儿童被动接受教师早已准备好的教材；“划一的”教学内容和方法不能适应社会变革的需要，儿童学习的主动性和积极性得不到充分的发挥；在教师的控制下，儿童的个性也受到一定的压抑。这种教育是非常专门化的、片面的和狭隘的。这与我国20世纪的基础呈现的现象有一定的共同点和相似处。杜威在批判这种传统教育的同时，把自己的思想称为“现代教育”亦即实用主义教育思想，它是一个系统而完整的理论体系，以实用主义经验论、机能心理学和民主主义为理论基础，对教育本质和目的、教学论、道德教育、学校生活的组织、儿童和教师等方面进行了广泛而深入的论述。具体内容可见《民主主义与教育》（有中译本）。

　　“教育即生活”。杜威强调说“生活就是发展，而不断发展，不断生长，就是生活。没有教育即不能生活，所以我们可以说，教育即生活。”杜威认为教育过程是一个经验的不断改组、不断改造和不断转化的过程，在它自身以外无目的。教育就是现在儿童生活的过程，而不是将来生活的准备。因此，教育应该给儿童提供保证生活或充分生活的条件。

　　杜威将生物学上的一个名词“生长”搬用到教育上来。他说“生长是生活的特征，所以教育就是生长。”杜威说的“生长”就是指儿童本能发展过程中的各个阶段，不仅包括身体方面，而且也包含智力和道德方面。因此，学校教育的目的就在于，通过组织保证儿童继续生长的各种力量，使教育得以继续。“生活”是从实用主义方面说的，“生长”是从机能心理学方面加以阐述的。所以二者是统一的，“教育即生活”与“教育即成长”是一个问题的两个方面。

　　学校是一种社会生活过程，学校必须呈现儿童现在的社会生活，这种社会生活来源于儿童的“经验”。所谓“经验”是人的有机体与环境相互作用的结果（或称统一体），是人的主动尝试行为与环境的反作用而形成的一种特殊的组合。因此，行为与结果之间的连续不断的联系和结合就形成经验。也就是说，“经验”具有无所不包的性质，把自然以及经验的对象和经验的过程一起包含到经验之中，把人（经验的主体）和环境（经验的客体）看成是同一过程的两个侧面、相互联系以至合二为一，这样杜威否定了客观的物质是不依赖于客观而独立存在的。

　　在学校里，教学过程应该是“做”的过程，教学应该从儿童的现在生活经验出发，儿童应该从自身的活动中进行学习。“从做中学”实际上也就是“从活动中学”、“从经验中学”。杜威认为，儿童生来就有一个自然的愿望，要做事，要工作，对作业活动具有强烈的兴趣，如果能儿童从那些真正有教育意义和兴趣的活动中进行学习，也许是标志着对于儿童一生有益的一个转折点。

　　这种经验生活“做中学”体现在他的教学设计活动“主动作业”上。作为儿童的一种活动方式的工作，是指使用各种材料和工具，以及使用各种有意识地用以获得效果的技巧的一切活动，包括任何形式的表现活动和建造活动，任何形式的艺术活动和手工活动等。这种活动体现在以下五个步骤：

　　8226; 教师给儿童准备一个直接的经验情境，一个与现在的社会生活经验相联系的情境，同时给予一些暗示，使儿童有兴趣去了解某个问题和获得某种经验。

　　8226; 把此情境中产生的问题作为思维的刺激物，并要求有足够的资料和更多的实际材料，以便应付在情境中产生的问题。

　　8226; 从资料的应用、必要的观察和思维活动中，提出解决问题的各种假设。

　　8226; 儿童把这些假设加以整理和排列，使其秩序井然不紊。

　　8226; 儿童通过应用来检验这些假设，使这些假设的意义明确，并对它们是否有效作出自己的判断。

　　杜威的学生克伯屈设计教学法就是这“五步教学”的具体实践。上世纪80年代到现今的“问题解决”也沿袭了这“五步教学”的思想，是杜威实用主义思想的实践化。

　　现在，我们试着给“教育即生活”一个复合的解释，即儿童凭借自己以往获得的经验，在学校这个社会子系统中，通过“主动作业”的活动，不断生长和发展，获得适应现在社会的各种新经验，也即更好地生活和生长。当然，在这里应注意教师的作用。杜威认为教育过程是儿童和教师共同参与的过程，也是儿童和教师真正合作和相互作用的过程，儿童与教师双方都是作为平等者和学习者参与活动的，然而教师有责任对儿童起着监督作用的影响，对儿童给予必要的知道。

　　现在我们评价以下杜威的“教育即生活”思想：

　　8226; 强调了“知行统一”，即在“做中学”和在“学中做”，通过“主动作业”，使儿童生活的主体地位和主动参与性得以极大地提升。这是对传统的“儿童是被动的接受者”观点的反动。但对“知识”与“经验”的辨析笔者不敢苟同。

　　8226; 过分强调了儿童在教育过程中的地位，但并没有完全否定教师的作用，关键是在于教师应该如何发挥作用。所以说，杜威并不是儿童中心主义者。

　　8226; 从芝加哥实验学校可看出，这种“主动作业”过分强调活动和经验，不利于儿童学习到系统的数学知识，克伯屈的教学设计法也因这方面的局限而宣告失败。

　　8226; 学校不可能的社会的完全复制，它还是处于一种经过进化和理想化的空间，所以学生所获得的零碎经验不可能完全适应社会而健康地生活和成长。

　　8226; 教育必须从心理学探索儿童的本能、兴趣和习惯开始，但同时教师不应该采取对儿童予以放任的态度。这对今天我国的数学教学改革是极具启发意义的。

二、数学教学不全是生活

　　我们抛开杜威那些哲学、心理学以及政治学上的概念和思想争论，他的“教育即生活”和“教育即生长”对我们当今的中小学数学教学还是很有启发意义的。

　　第一，“数学教学就是生活”有它合理性的一面。从数学哲学上来看，数学不是静止和绝对的真理，也是可误和拟经验性的，它是在一种文化、历史和环境的熔炉中诞生和演进的。所以，儿童的经验对建构数学学习起着重要的引导作用。我们可以从现实生活和儿童生活经验中找到初等数学许多形式和非形式的数量和空间形式。但是另一方面，数学也处于数学共同体所形成的规则、标准、习俗和环境中，这种相互作用迫使数学形成一套有别于儿童生活经验的模式和程序。从某种意义上说，数学教学也就是让儿童置身于生活情境中，通过观察、归纳、验证以及多次的抽象而形成符合数学规范的知识，也即立足于儿童经验的数学化。

　　第二，数学问题解决的步骤与杜威的“五步教学”存在着步骤上的耦合，但实际上是不同的，“五步教学”是从“主动作业”开始，立足于手工、缝纫、木工、测量、摆弄花草等活动，是无法与数学知识的系统化和形式化相比拟的。问题解决的本意是让学生面队非常规的问题，通过自己的尝试、探索和验证，习得高级的数学思维，而不是简单适应社会生活的技巧和准备。这些不同点，我们可以从克伯屈的教学设计活动失败中体会到。

　　第三，在数学教学中，教师和学生很难有平等的对话与沟通。首先，教师凭借自己的经验已经将教学内容转换成适合学生经验和心理认知结构的片段，也即是通过设置问题情境，为学生的认知活动搭建脚手架。其次，儿童心理的局限性所形成的图式结构需要教师适时调整和精化，包括修正错误的观念，这种观念来自于生活经验的非形式化数学现实。最后，不是所有的数学知识都可以通过设置情境，学生尝试探究就能学会的，至少已有的研究中，学生形式化的图式建构策略等高级思维技能是很难教，也是很难学的。

　　第四，应该明白数学的学习虽然处于一个流动和可变的环境中，但应该立足于学数学、做数学的文化环境中，而不仅仅是文化和社会环境的大杂烩。我们已经知道，有许多的所谓活动和情境完全遮掩和忽视了数学的内隐意义和特征，这会导致数学学习的变质，学到的只是流于活动和情境的伪数学。从国内外的研究看，美国的大学生不会做分数除法，原因可能是难以找到一个“做数学”的情境；而中国学生很多不知道运算规律（交换律、分配律等），原因可能是我们缺乏“做数学”的过程的探究，而只追求结果的准确。这两种教学方法结合起来，可能是一个理想的数学学习过程。要达到这一步，至少应该注意以下观点：数学知识是涉及情境和个人的，中小学生的数学学习是用经验的结果来做构造，教学的任务就是为学生创造学习的经验以及帮助他们获得从这些经验中得出的一致的理解，课堂和学校的组织和技术的安排是在于使所有的经验是丰富的和有意义的，而这种经验需要儿童在活动中逐步形式化和数学化。

 

 

具有现实世界数学的真实问题

 

一、真实的问题与现实主义数学教育

　　1．在过去的20年中，美国数学教育的发展显而易见。但是有两个问题需要讨论：现实世界在数学教育中的地位；引入了现实世界而失去真实数学的问题。

　　2．现实世界的问题不是真实的问题

　　在许多国家的课程中，许多实例有丰富的现实世界的应用，却经常以一种不真实的方式体现。由于用虚假的方式引入现实世界，我们把这个问题退化为一个无关的人工问题。让我们来看两个相当典型的问题。

　　一天，一个销售商开车行驶了300里，用了x －4小时，第二天他开了325里，用了x + 2小时。

　　比较他两天的平均速度，写出一个比例式并化简。

　　在这个例子中，我们在处理一个既与学生无关，也没有意义的很人工化的问题。一个伪装的数学问题以便与一个现实世界的问题相似。其中，数学或许是真的，但问题不是。

另一个问题，来自美国的一套针对16岁的标准化测试，则清楚地表明，测试的设计者很不想令学生读懂问题。

　　从卡罗拉特到纽约市有350里，吉姆开车行驶完这段路用7小时，下列哪个式子表示每小时行驶的路程？

　　a.350+7;   b.350-7;  c.350×7;  d.350÷7;  e.以上都不是。

　　3．问题：创造合适的背景

　　在现实世界与真实的数学之间如何相匹配的问题根本不是一个新问题。弗赖登塔尔曾在国际数学教育大会的报告——数学教育的主要问题》中提出13个问题，其中第8个问题是这样的：

　　“怎样为教数学化创造合适的背景？”他认为这不是一个容易的问题。 

　　“现实世界意味着什么？……在教学中，现实世界的数学化要通过一个对课程学习者有意义的、含有一个数学问题的背景来体现。”

　　所以，判断现实世界问题的一个关键是我们是否在一个对学生有意义的背景下包含一个数学问题。来看一些这样的实例。

　　4．对于概念发展有意义的背景

　　设想8、9年级学生的一堂课，教师介绍这样一个问题：

　　“今晚，你们的父母要来参观学校——这是属于他们的夜晚。你们的父母要与教师一起讨论许多事宜。根据他们登记的情况，我们了解到要来81为家长，会议室将用来接待，并安排他们围桌子落座。桌子就放在会议室，每张桌子坐6位家长。”教师在黑板上画了一个草图，“问题是：我们需要在会议室放几张桌子？”

　　学生们组成3人的或4人的小组开始研究问题，教师一边在教室巡视，一边关于解题的过程询问一些小的问题。学生则急切地参与到解题的过程。大约10分钟后，教师停止小组活动，要求学生出示并解释他们的方法。他们的方法多种多样。

　　Badr按照教师画在黑板上的草图的样子，把需要的桌子和落座的人画了出来（如图）。另一名叫Roy的学生开始时用相同的方式，但画了两张桌子后，他改为一种较概要的表示（如图）：一个矩形框，内部用6标注。画了这样的两张“桌子”后，他意识到5张桌子加起来的人数是30人，想到这，由30到60，然后到72，再到78，最后，他加上最后的三把椅子。

　　第三个学生叫Abdelaziz,在数学化这个问题的过程中，前进了一步。虽然，他也在开始时模仿黑板上的桌子模型画图，但立即图示化这个问题，并运用最近的乘法知识，利用6的倍数，他写出6×6=36，然后36的二倍得72，再加另两张桌子，得出能坐84人。

　　如果从所用时间的长短来看这三种不同的方法（当然，还有更多的方法）我们注意到在这个现实世界的问题中运用真实数学的不同水平。许多教师可能会评论说，第一种方法根本没有用数学。但是直观化(visualizing)、图示化(schematizing)也是强有力的重要的数学工具。第三种方法使数学更显化，可以认为是更高水平。

　　这个问题可为以后的“除法问题”作准备。这是现象学探究的一部分，将为学生重构数学或再发现数学提供机会。

　　解决第一个问题后，教师要显示许多不同的方法，这是艰巨的复杂的任务。如果对于哪种方法最好无须做太多清晰的说明，整个课堂讨论之后，教师出示下个问题：

　　“我们将给81位家长提供咖啡。如果一壶咖啡可以倒7杯咖啡，我们将需要多少壶？”

　　用数学的观点看，这实际是相同的问题，是81÷7的问题代替81÷6。但对于学生并非如此。首先这个背景不允许简单的绘画的方法：学生们画咖啡壶显得很费力，正如Abdelaziz的方法所显示的（如图）。

　　Abdelaziz，在桌子问题中曾运用最形式化的方法，现在借助直观的支持完全在头脑中计算。Badr曾运用最简单的方法解决桌子问题，这次试图再运用画图的方法。他用相同的方式表示：7个杯子环绕一个咖啡壶，但是画了两个咖啡壶后他好象想起关于乘法的讨论：乘法是一种加快速度的方法。然后他跳到：10×7=70，70+11=81，也就是给他12壶。

　　这种方法已经没有直观（visualization），只有乘法。很容易发现，在一堂课上学生们针对此类现实世界问题的解决，以及为发展新的数学概念（除法）所进行的数学化方面已取得进步。

　　评价这些实例的一个重要方面是把实例至于背景中，这意味着从这些实例可产生一系列问题，用于发展已定义好的数学概念和活动。下个实例是为12岁学生设计的，问题本身既不新颖也不是独创的。但是它在课程中以及连接前后活动的作用使这个问题很重要。这个问题用直观方式显示（）如图：

　　（两件T恤和两杯可乐价值44美元，一件T恤和三杯可乐价值30美元，一件T恤多少美元？一杯可乐多少美元？）

　　学生们拿出许多精巧的不同的方法。他们没有意识到这个问题的代数本质，而且没有被教师和数学家都感到困难的代数知识所阻碍，他们不是用2x+2y=44,和x+3y=30来解，相反，他们仅仅运用一般意义（common sense）的推理解决这个问题。

　　观察许多教师的解法，可以注意到他们在头脑中有2x+2y=44,和x+3y=30系统的心智意象，并且试图从这种方法进行推导。学生则采取不同的运算：

　　这两种方法本质上很不同：第一种方法是：两件T恤和两杯可乐是44，则一件T恤和一杯可乐是22。然后，他们从第二幅图中拿走一件T恤和一杯可乐，剩下两杯可乐的价格是8美元。

　　第二种方法用规律性作为起点。第一幅图中显示2+2，第二幅显示1+3，所以第三幅图必显示0+4。按照数列44，30，16的规律，（四杯可乐的）价格必是16。这名学生对于推理的本质部分：从2，2后是1，3的事实导出0，4，显示出良好的洞察力。

　　美国6年级的一节课上，观察到大约五种清晰的不同的策略和许多含有标准的代数记号的表示，例如2t+2c=44等。从数学的、形式化的观点来看，会从中发现不正确的记号或语言。但从人种学的观点，这些只能是有益的。我们有时必须在数学的完全正确（从更高的观点）与人种学意义上的正确之间做出选择。

　　将来，学生将会用形式化方式处理方程系统。那时，他们就知道怎样去代数地推理，理解方程，运用适当的数学记号，甚至理解变量的概念。

　　5．现实主义的数学教育

　　它的哲学的基本观点是：首先，学生应该从一个真实的问题开始，所谓“真实”是指学生愿意参与，并且问题看上去有意义。描述可情境化的背景的条件很困难，背景可能是日常生活，以及文化的、科学的、虚拟的（artificial）数学和其他学科。背景的一个可能的作用是辅助学生明确一个在他将来的数学发展中有用的模型。

　　现实世界的问题将用于发展数学的概念。这个过程称为概念的数学化：解这样的问题不是出于“问题解决”的目的，真正的意义在于对于新的数学概念的基础探究。

　　在初始的数学化过程（使来自现实世界的问题发展为一个更多数学表述的问题）之后，要给学生创造机会进行抽象、形式化和一般化。

　　对概念进行抽象和形式化之后，学生将把获得的新知识应用于不同背景下的新问题。这样做的目的是：首先通过在新的背景中的应用，进一步强化概念。其次，学生们通过应用的过程获得了迁移技能，只有当学生能在不同的背景下运用某个概念时，他才掌握了这个概念。

　　现实主义数学教育的另一个重要观点是：数学要作为一个整体来看待。

　　最后，概念和过程的理解，数学的理解以及基本事实和技能的掌握之间应保持平衡。

 

二、与现实主义的数学教育有关的几个问题

　　许多数学教学活动通常不是以个体方式进行，都是在相似的情境下，以一种组织好的方式体现。掌握“不教”的艺术很困难，这已得到证实。

　　显然，前面的“桌子问题”和“咖啡与T恤问题”，不能用传统方式去“教”问题。这并不是说我们可以给教师一个准备好的，可用的固定情境。课堂将决定用什么样的方式获得包含交流、个体的活动、小组活动、课堂讨论、学生演示、教师演示及其他活动的最佳的结果。教师的作用在于组织和提供帮助。师生要共同面对有一种或多种正确解答，及多种策略的问题。不同的策略包含不同的数学思维水平，这增加了课堂管理的复杂性。

　　为了给学生提供一种教学现象探究（a didactical phenomenological exploration）的机会，象“视线”这样的简单概念怎样置于合适的背景下是一项美国——荷兰课程方案的设计者遇到的问题。第一个想法是：向学生演示一个徒步旅行者坐在大峡谷的壁崖上的照片，问题是：如果这个人直着向下看，向前看都不能看到水，是为什么？

　　尽管许多学生积极讨论，回答体现出对问题的一些理解，但几乎没有学生能产生视线的观点。基于课堂观察，研究者改进了原来的教学设计，新的设计基于一种不断变化的动力理论。研究者决定模拟峡谷，但不用卡通模型，而用桌子表示峡谷。（如图）

　　学生坐在桌子后面，根据提问，用点确定他们可以看见的垂直墙面上的部分。这项活动显示是成功的。如何创造一个适宜的情境的问题似乎解决了。但教师必须随时准备处理意料之外的事情。例如，左侧“峡谷”墙上的几个点意味着学生们开始想知道这些点之间的关系。下面是学生形成的几种假设：（1）这条线是直的；（2）这条线是中空的；（3）这条线反射出一座山的山顶。

　　设计者没有预见到这场讨论，教师只有靠自己。但另一方面，回报也是丰厚的。所描述的探究活动不仅促成“视线”、“盲点”、“盲面”的概念化，而且引出与视线的倾斜（角、比率）有关的议题。

 　　一个有真实数学的现实问题：

　　下面的问题取自美国课程革新方案之一，这个面向高中学生的方案把应用作为课程的核心。

　　“一座新建筑必须建在主干道上，A,B,C是三座建在支路上的建筑（如图），要使新建筑到A,B,C的距离尽可能小，它必须位于主干道的何处？”

　　一些教师可能又会议论：这是一个没有数学的问题。就象“桌子问题”，运用不同水平的矫饰的数学去解决问题。但是在做出明确的判断之前，我们还是继续看这个问题。下一问是：用表格去发现最近点。对此学生们都清楚的回答出来：“最近点在6的位置。”下个问题：

　　“假设新建筑物将建于主干道上，给出从新建筑到A,B,C的距离的绝对值方程。”

　　接着，要求学生用给出的图去发现最近点。

　　真实的数学，一个有意义的问题，好的推理，这些是我们在设计问题时应寻求的特征。即使这样设计小学水平的问题，也不是一项简单的任务。

    对背景问题的反思

　　对于课程中的背景，时间是本质的因素。发展新的数学概念时的背景，和在应用中运用新概念时的背景，二者的作用有本质的不同。如果背景能帮助学生建立一种模型，用于以后解决其它问题，这种背景就是有益的。背景的真实性不是很重要的问题。背景不需要来自真实的生活，只要对学生有意义，它完全可以是人工的。

　　未来要研究应用于不同的学生团体的背景。对于小学阶段的学生，他们趋向较人工化的，接近学生的背景，例如商场、学校、音乐、运动。对于年龄较大的学生（高中），背景更科学，更远离学生，也变的更真实。我们要同时注意背景的横向区别和纵向区别。