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814布尔-施罗德逻辑代数中的命题逻辑--布尔逻辑之七(尾篇)

(2020-06-17 17:08:19)
标签:

布尔

尾篇

独立探究

智力接续

科学

分类: 学术

814布尔-施罗德逻辑代数中的命题逻辑-- 布尔逻辑之七(尾篇)

一、一级命题与二级命题

布尔在他的《思维法则研究》一书中,给出了他有关命题的一个新理论,建立在他的类逻辑演算的基础上。布尔不愧是想象力的高手,他把命题分为两类,一类为一级命题,它对应于具体的“事物“类型;另一类为二级命题,它对应于抽象的“非事物”,也就是范畴般的类型。(见《思维法则研究》英文版第五章第53页)

The sun shines”,这是一级命题的实例,自然对应一些具体的,如“太阳,闪耀“这样的事物。而The sun shines is trueor false)”,这是二级命题的例子。它对应的是什么呢?它和哪一类具体的实体有关联呢?自然不会是与具体的事物相关,而是与抽象的实体相关。在这个二级命题中,具体的事物好像被人类的心灵给蒸发掉了。因为这个二级命题无关具体事物,仅仅只相关于一级命题,相关于认知主体对于那个一级命题的断定。那个一级命题当中,究竟有些什么具体事物含蕴其中,对于认知主体分析这样的二级命题,一点皮毛关系都没有,完全可以丢开不计。

由此,布尔开始借用一个哲学上的抽象范畴,那就是“时间”,用以展开他关于二级命题的一些设想。联系上这样一个抽象实体之后,我们就一步一步地走向了更为思辨的抽象,我们就会为数学与逻辑学先贤们的睿智与心灵而频发感叹。

二、二级命题的时间限定:古典的永恒真、有时真和有时假

布尔对二级命题相关于时间的想法,可以追源于柏拉图和亚里士多德,这正如他在自己的著作中所说的:

我们用“有些”这种限定语来限定一个一级命题的使用,但是,一个二级命题的限定,则通常使用“有时”。当我们说:“有时,不公正占上风”这个命题,它实际上等价于断定:存在着这样的一些时间段,在这些时间段中,“不公正占上风”是真命题。的确也存在这样的命题,命题的真并不限定于某个特指的时间或者说时间关口;命题在所有的时间段都是真的,这类命题可以获得“永恒真”的称号。对于每一个熟悉柏拉图亚里士多德的读者来说,特别是对于熟悉亚里士多德的读者来说,以下两类命题的对比特性应该非常清楚。第一类命题,科学的抽象真理,例如几何学中的一些命题,人们常常称其为总是真的;第二类命题,那些偶然的或者说事物现象方面联系的一些命题,人们则会有时候称其为真,有时候称其为假。但是,这两类被自然语言所表达的命题形式,都在表明依赖于时间观念;在一种情形中,命题被限定在有限的时间段中,在另一种情形中,命题的时间判定则需延伸到时间的永恒。(《思维法则研究》1853英文版第11章第163-164页)

 

于是,布尔代数中的那个时间范畴,就和真值判定关联起来。为了建立一个二级命题表达式的符号系统,布尔用大写字母XYZ表示基本命题,用小写字母xyz表示思维主体的某个心灵行为。例如,布尔用小写符号x,代表“‘命题Xis true”这个二级命题被主体断定时的心灵行为。布尔认为,这个心灵行为x,也就同时规定了被断定命题X在某个时间片断中为真。所以,心灵行为x,也就包含并且指称了命题X为真的那段时间。

标志时间为永恒的那个时间段,布尔没有用1来定义。0这个无类,因为他的系统中还没有排中律,也没有否定的符号,所以,无类好像也派不上用场。其实,从直观的层面看,某个时间段用无类来表示,似乎也不大符合直观。无不就是没有么?怎么还表示存在某个时间段的无类呢?岂不自相矛盾?

这的确是一个让人困惑的问题,有永恒的命题,也有偶然真,或者偶然假的命题。但这几种有关命题真值情形的概括,似乎用全无两类很难给你对应感。

但布尔自有他的灵智,他想到了一种处理方法。

布尔设想了全无两类,他还是用这个相通于全无类别的10两个自然数,来给出他有关命题判定的设想。虽然这个想法真有点牵强,却依然深藏睿智。它引发后世学者无尽的逻辑思考与展望,这些思考与展望的结果,建构起今天现代逻辑的参天集群,人类知识宝库中最为重要的一类认知和智慧。

三、x=1x=0

布尔显然撇开了柏拉图和亚里士多德那个永恒真的命题,暂不考虑那个永恒真,把思考仅框定在有时真、有时假的命题之中,他是这样思考的:

为了表述命题X为真这个命题,我们就被要求表述,在某个时间域之内,我们的话语所涉及到的那些东西,正是这些在某个时间域内的东西,框定了“命题X为真”。所以,我们就有理由把那个“时间域”用符号x来表示。并且,这个时间域x的跨度范围,对于我们的话语涉及到的东西而言,也可以说是在这个完整的时间域之内,表达了“命题X为真”这个命题。

于是,我们就有:x=1。(见《思维法则研究》英文版第169页)

这里的x,虽然用数字1来表示,但表达的却是抽象的时间。这个抽象的时间显然不是永恒,而是一个命题被确定它为真的那个相对完整的时间段。例如布尔常举的“阳光照耀”(‘The sun shines’)这样的实例,这个语句,自然不会总是真,只能是在某个时间段内为真。这个完整的时间段,这个时候就和真合在一起,构成了那个被说及的命题的真。

的确是有些拗口,但情理上似乎说得过去。

而为了表述“命题X为假”这个命题,我们同样被要求表述,在某个时间域之内,我们的话语所涉及到的那些东西,正是这些在某个时间域内的东西,框定了“命题X为假”。或者换个说法,没有任何一个“时间域”来表述“命题X为真”。由此,我们也可以把这个时间域用符号x来表示。这个时间域x的跨度范围,对于我们的话语涉及到的东西而言,也就是完全没有任何时间段来表述“命题X为真”。

于是,我们就有:x=0(见《思维法则研究》英文版第169页)

这里的x=0x用数字0来表示,表达的也是抽象的对象,其实都可以不属于时间了。布尔的意思很明显,这里的0,是表示没有任何时间去断定命题X的真,自然,这个断定可以等同于断定命题X的假。所以,这个0需要相对那个1来理解,完全没有时间去断定一个命题X的真,那这个X就一定是个假命题。

也很拗口的解释,但情理上似乎也说得过去。

这就构筑了布尔施罗德代数命题解释的基点,用C.I刘易斯的评论,这个把10赋予时间范畴中某个时间域的解释,让布尔施罗德代数的类解释和命题解释之间的联系更为清晰。一个命题符号,无论是二级命题A或者是一级命题a,都可以同等地看作为表达了所有情形中的类,在这些情形中,这个A或者a是真的。而如果被断定的命题,是一个复合的命题a*b呢,则这个复合的命题a*b,表达的也是所有情形中的类,在这些情形中ab也是真的。那么并非a呢,这个并非a,则表达的是在所有情形中的这个a是假的,也就是没有一个情形能够表达这个a是真的。这就使得,布尔施罗德代数在命题对象上的应用,几乎完全类似于类解释的运用。

类逻辑解释和命题逻辑解释的这种高度近似,使得人们对于这两种解释的理解更为容易。布尔施罗德的这个逻辑代数,实际上也就成了现代逻辑的一个开端。

使用数学史家Grattan.Guinness的说法,这门19世纪中期由布尔建构起来的数学与逻辑系统,超越了德国数学家莱布尼兹建立通用语言的野心。莱布尼兹也曾构想过指数法则,他把xy作为命题,也得到过x*y=x的公式。然而,布尔直到1855年才知道莱布尼兹也有过同样的设想。那时候,布尔的《思维法则研究》已经写就,有学者R.L.Eliss告知布尔,并帮布尔带来了莱布尼兹的逻辑著作,这就使得当时的英国学者,也来关注莱布尼兹的逻辑和哲学。(G.Guinness1870-1940数学与逻辑根基研究》英文版第51页)

布尔的这种超越,对后世的影响是多方面的。值此尾篇之际,仅就布尔施罗德代数在命题解释方面的设想所引发的后世学者新研究,做一简要提示。

四、布尔-施罗德代数的命题逻辑解释对现代逻辑的启发

科学史上,总有一些让人惊叹的独立结果和观念接续。广为人知的是英国的牛顿和德国的莱布尼兹,各自独立地发现了微积分理论。而本篇讲到的指数法则,则告知了我们差不多同样的故事,同样是德国人莱布尼兹,换了另一个英国人布尔,也是各自独立思考出了同样的法则。

人类的科学观念也许就是隐藏在宇宙深处的某种神奇存在,等待着人类中的智者去探索和发现。人类的科学观念还有某种神奇的接续,让人们为科学观念而惊异。数学史上的非欧几何,在它发现之时,人们几乎看不到他会有什么世俗的用途。但大约两百年之后,爱因斯坦发现相对论,这个相对论发现之时所用到的数学,恰好就是这个非欧几何。科学的这种神奇,也体现在逻辑之中。布尔虽然独立地构建起他的逻辑代数,但这种理论的出现,不正好是莱布尼兹普遍预言梦想的接续么?前后相差也有近两百年。

科学观念到了现代,接续的间隔明显缩短了。布尔构建的逻辑代数,在数学和信息科学领域的接续我暂且不表。仅就其命题逻辑的解释而言,立刻就引发了有关命题逻辑的一系列后续研究。在布尔逻辑理解的尾篇之际,至少有以下四个布尔的接续值得我们关注。

首先是美国人皮尔斯的,皮尔斯修改了布尔代数中一些不太清晰的东西,他把布尔代数中更接近于算术运算的关系和更有逻辑特性的逻辑关系区分开来。引入更多具有逻辑性的关系,例如推论关系,包含于关系,也称作蕴涵关系,把这些关系放进后来称作符号逻辑的理论之中。皮尔斯还像莱布尼兹一样,构想了一门类似莱布尼兹普遍语言的符号学,意图建立一般的包括数学在内的符号逻辑。这些改善非常有趣,我将在布尔之后立刻关注这个皮尔斯。多年之前就对这个皮尔斯感兴趣,是重新来思考这位智者的时候了。

其次是关于命题函项的理论。当布尔用1表示真,用0表示假的时候,布尔给出的命题实例是“阳光照耀”。但这样的命题,更严格的说不是命题,而是命题函项。因为我们日常语言中的许多命题都是这样的函项性质,它们有时真,有时假,相关于某个东西而被确定真值。大哲学家罗素在其《数理哲学导论》中专辟一章讨论命题函项,这个讨论其实也可以看作是布尔的延续。布尔的那个命题逻辑解释,显然不是命题函项的逻辑理论,命题函项理论明显是一个比布尔逻辑更为复杂的逻辑理论。如果有可能,这个和函数相关的逻辑理论也要有所理解。

第三是有关实质蕴涵的逻辑和严格蕴涵的逻辑。给布尔的命题逻辑解释再加上一个公设,就可以构建实质蕴涵的演算,也称作二值代数。对这个二值代数的研究,逻辑学家发现了所谓的实质蕴涵悖论,这就接续地产生美国逻辑学家刘易斯的“严格蕴涵的逻辑”。这个逻辑也是值得我们关注的。

最后,布尔对于真值的时间解释所生成的命题真值解释,接续了函项理论,接续了实质蕴涵理论,接续了严格蕴涵理论,又自然地产生另一种新逻辑,这个逻辑就是由刘易斯创立的模态逻辑。而刘易斯的这个创意,不仅来自于布尔,还来自于关注布尔的另一位英国逻辑学家hugh MacColl

因此,莱布尼兹开始的梦想,到布尔的接续,一直到刘易斯,是一条清晰而且充满趣味的智力旅行,值得期待。2020/06/17

 

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