加载中…
个人资料
JoeJoe20110101
JoeJoe20110101
  • 博客等级:
  • 博客积分:0
  • 博客访问:85,507
  • 关注人气:42
  • 获赠金笔:0支
  • 赠出金笔:0支
  • 荣誉徽章:
相关博文
推荐博文
谁看过这篇博文
加载中…
正文 字体大小:

813布尔-施罗德逻辑代数中的公设对应--布尔逻辑之六

(2020-06-11 20:14:17)
标签:

布尔施罗德

逻辑代数

代数解释

公设

对应

分类: 学术

813布尔-施罗德逻辑代数中的公设对应-- 布尔逻辑之六

 

由布尔奠定的逻辑代数,经过耶芳斯(Jevos)和皮尔斯(Pierce)等人的补充修订,成为现代逻辑的一个起点。

但布尔系统的完善,更得力于英美学圈之外的欧洲大陆学者,特别是德国数学家施罗德(Karl Ernst SchrÖder1841-1902))的工作。施罗德批判性地修改了布尔的类逻辑,特别强调了逻辑加和逻辑乘观念之间的双向性。而这种双向性,也是耶芳斯在他19世纪晚期著作中引入逻辑代数之中的。

施罗德的逻辑代数著作,还特别借鉴了美国学者皮尔斯为这个领域所作的工作(有关皮尔斯的工作,准备稍后再表,此处略)。施罗德的《逻辑代数讲演集》(Lectures on the algebra of logic,融和了布尔,德摩根、耶芳斯、皮尔斯、亨廷顿还有许多欧美其它学者,在逻辑代数这门新学科中所作的各种贡献。因此,在这个意义上,逻辑代数虽然简称为布尔逻辑代数,但按照美国学者C.I刘易斯的意见,称作布尔-施罗德逻辑代数更为合理。(见《符号逻辑概览》第118页)

这个代数系统到施罗德那里,最重要的进展是采用欧氏几何的公理化模式,为系统建立公设。在C.I刘易斯的《符号逻辑概览》一书中,刘易斯借用施罗德和亨廷顿等人的工作,还有英国耶芳斯和美国皮尔斯的工作,给布尔系统增添了一个重要的关系概念:“包含于”或者称“蕴涵”概念。而亨廷顿,曾经为逻辑代数做过四种公设集合,刘易斯对其所做的第三种公设集合做了修改,把布尔-施罗德逻辑代数设置为九个公设。

这九个公设中,乘法“*”为初始运算,0为初始类,否定符号“-”也作为初始符号引进。然后,通过定义方式,从初始元素0引入1,从初始运算乘法借助德摩根定律引入加法。除乘法的交换律之外,还增加了乘法的结合律。最后,依据乘法,引入一个耶芳斯和皮尔斯创立的新符号:包含于“关系的符号。这个逻辑系统的公设,我将其缩写为BSP

我照录BSP这九个公设并简介如下。

 

“公设为:

一个元素为abc等等,关系为乘法“*”的类别K,使得:

1.1 如果abK中元素,那么a*bK中元素,该公式唯一地由ab来判定。

1.2 对任意元素aa*a = a。(布尔指数法则)

1.3 对任意元素aba*b = b*a。(乘法交换律)

1.4 对任意元素abca*b*c=a*b*c。(乘法结合律)

1.5 存在唯一元素0K中,使得对于任意元素aa*0 = 0。(引入布尔空符号nothing

1.6 对于任意元素a,都存在一个元素-a,使得(这是引入布尔没有的否定符号)

1.6.1 如果x*-a = 0,那么x*a = x。(否定相乘为空,则肯定相乘的那个元素不变)

1.6.2 如果y*a = yy*-a = y,那么y = 0。(古老的归谬法则)

1.7 def 1 = -0。(通过定义引入布尔的那个“全”类)

1.8 def a + b = --a * - b)(这是从否定和乘法出发给加法的定义,有点德摩根定律的味道)

1.9 ab等价于a*b = a (这是引入布尔没有,莱布尼兹更没有想到的“包含于”,或者“蕴涵”符号,这里的“等价于”概念,是在等值概念基础上构建的另一个有关等同的概念。)”

(见《符号逻辑概览》第119页,其中圆括号部分的文字是我加的简介)

 

以这九个公设为基础,可以发展成为一个抽象的数学系统。上述公设中的等号“=”,是具有通常数学意义中的等号。它和公设中的乘法符号*,加法符号+和包含于符号一样,都属于与公设一致的任意关系。布尔的逻辑代数之后,皮尔斯等人的关系逻辑也是值得关注的,这待布尔以后篇幅再议。

以这九个假设构成的演算系统,可以给出至少二种解释,如上篇曾谈到的。一种是类逻辑的解释,还有一种是命题逻辑的解释。此篇简略地给出类逻辑的解释,命题逻辑的解释则留待下篇。

“类”(classes)这个概念,在今天的计算机语言中使用频度很高,你要是学习python语言,几乎通篇都会看到类、对象、实例、方法、继承、多重继承、函数等这样一大串与类相关的词项集群。计算机语言中的类,也许和布尔的这个类逻辑有所关联吧。

那么,布尔的这个“类逻辑究竟是个什么样的逻辑呢?

先对类”这个常识语词做个解释。

在布尔代数中,我们有“全”和“无”这两个类,它们被假定为这个世界最大的一个类和最小的一个类。所有的东西都能够装进去,这就是最大的类。什么都没有,空空如也,这是最小的类。由此可以想象,在这个最大和最小之间还存有很多很多的东西,用语词来表示,通常是名词,特别是实在性的名词所表达的东西。而用数字来表达,就是从1到最大之间的那些可以用数字计算的东西。所有这些,都可以归到“类”这个概念之下。布尔的类之后,很快就出现了“集合”这个近似于“类”的概念,非常相近,几乎难以区分,但还是各有千秋。这也留待来日再说,此处暂且打住。

布尔代数,既是创新也是传承,它传承了古典逻辑有关词项的内涵与外延之分。在内涵与外延的意义上,布尔施罗德代数的类逻辑就是一种外延的逻辑。一个逻辑的类abc等等,我们只是从外延的角度来看待它们,我们把abc等“类”符号的内涵给抽象掉了,只注重类符号的外延,忽略掉类符号的内涵。

而所谓一个逻辑类符号a的外延,那就是看这个a是由哪些成员组成的,至于这些成员具有什么属性或者内涵则放置一旁,不予理会。这如同我篮框中的一堆苹果,不管它们好坏,也不管它们形状,反正是苹果没错,我只按个数来数一样。

由此就可以知道类逻辑的一般含义,那就是说,运算符号的载体是类符号的外延。

对于类符号的这种外延解释,立刻就产生和前述布尔-施罗德逻辑代数九个公设的对应公设。类逻辑的这个对应公设,我缩写为CLP

立刻就可以看到BSP公设与CLP公设的对应。

BSP公设1CLP公设1作为对应:

CLP1:如果a*b是逻辑类,取其外延则有,ab共同具有的成员也构成一个逻辑类。在a*b中没有共同成员,这样构成的类就是空类0。(乘法公式形成公设)

BSP公设2-9CLP公设2-9作为对应:

CLP2:a*a共同具有的成员构成了类a本身。(乘法指数公设)

CLP3:a*b共同具有的成员等同于b*a共同具有的成员。(乘法交换律公设)

CLP4:a*b*c共同具有的成员,等同于a*b*c)共同具有的成员。(这是乘法结合律公设)

CLP5:任意类a*0共同具有的成员等同于空类0。(空类0公设)

CLP6:对任意类a,存在其否定-aa-a构成全类,不包含在a之中,且使得:

CLP6.1:如果-a和任意x没有共同成员,那么,x的所有成员都对于xa是共同具有的成员,或者x就包含在a中。(正好与BLP5对应)

CLP6.2:如果任意类y的所有成员对于ya是共同具有的成员,并且也对y-a是共同具有的,那么y一定是空类。

CLP7:全类,万事万物,是空类和无有的否定。(对应BLP7

CLP8:a+b,这个表达式等同于--a*-b)(德摩根定律)

CLP9:ab中,等价于:a*b=a。(包含于关系)

 

可以看到几乎是完全对应的公设,仅仅只是在表述上稍有不同,前者使用的是元素,后者使用的是类。

有了这些CLP公设之后,一批基本定理就可以证明出来。布尔施罗德代数作为类逻辑是其原初性的意图,但这个逻辑的解释除了类作为运算的载体这样的解释之外,还有一种命题的解释,运算的载体是命题。本篇也就省略掉对于这个类逻辑的诸多描述,把这个描述的篇幅留给命题逻辑,真正的现代逻辑开端,且待下篇。2020/06/11

 



0

阅读 评论 收藏 转载 喜欢 打印举报/Report
  • 评论加载中,请稍候...
发评论

    发评论

    以上网友发言只代表其个人观点,不代表新浪网的观点或立场。

      

    新浪BLOG意见反馈留言板 电话:4000520066 提示音后按1键(按当地市话标准计费) 欢迎批评指正

    新浪简介 | About Sina | 广告服务 | 联系我们 | 招聘信息 | 网站律师 | SINA English | 会员注册 | 产品答疑

    新浪公司 版权所有