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四分量波函数的几何平均值

(2011-03-12 12:21:05)
标签:

杂谈

    四分量波函数的几何平均值

 

 

    薛定谔方程是根据下列粒子的能量及动量间非相对论关系建立起来的。

 

 

    ε=p^2/2m↓e+U (1)

 

    因此,这一方程一般只适用于描述电子或基本粒子的速度V远小于光速C的情况。在电子加速器中,电子的速度接近光速时,对总自旋角动量为零的电子团,电子的能量和动量耗散应写成

 

    E=m↓e C^2 /√[1-(V/C)^2 ] (2)

 

    p=m↓e V/√[1- (V/C)^2 ] (3)

 

    根据上面两个式子,有

 

    (E/C)^2=m↓e^2C^2 / [1- (V/C)^2] (4)

 

    P^2=m↓ e^2V^2/[1- (V/C)^2] (5)

 

    将(4)式和(5)式的等号两边分别相减,得到

 

    (E / C)^2 - p^2=m↓e^2 C^2 (6)

 

    E=√(C^2p^2+m↓ e^2+C^4 ) (7)

 

    (7)式是相对论波动方程描述总自旋角动量为零的电子能量的基本关系。但是,电子团的能量耗散不但与它的速度有关,而且还与它们的自转平均线速度μ有关。即自转电子团的相对论能量表达式具有选择几何平均算符的统计意义。当自转的带电粒子在磁场中运动时,受洛仑兹力的表达式中包含了3个速度变量C、V(电子的运动速度)、μ(电子团的自转线速度),这表明电磁场相互作用的状态是由带电粒子的3个速度矢量合成而决定的。然而,就统计的平均意义来说,我们应选择几个自由度呢?在最简单的情形下,我们选择了4个自由度。要写出自转粒子团的相对论耗散能量和动量表达式,我们定义下面完全相似的几何平均值算符,这些算符对计算粒子能量统计平均值的作用是类似的。它们是

 

    1/ C√[(C+V)(C-V)]=1/ C√( C^2-V^2)

 

    1/ C√[√(C^2+μ^2)+V] [√(C^2+μ^2)- V ]= √[1+(μ/ C)^ 2-(V/C)^ 2]

 

    1/ C√[√ (C^ 2-V^2)+μ][√(C^2-V^2)-μ]= √[1- (V/C)^ 2-(μ/C)^ 2]

 

    1/ C√[μ+√(C^2-V^2)] [μ-√(C^2-V^2)]= √[(μ/ C)^ 2+(V/ C)^ 2-1]

 

    于是, 应将电子能量和动量耗散写成

 

    E=m↓e C^2 /√[1-(V/C)^2 ] (8)

 

    E1=m↓e C^2 /√[1+(μ/ C)^ 2-(V/C)^ 2] (9)

 

    E2=m↓e C^2 /√[1- (V/C)^ 2-(μ/C)^ 2] (10)

 

    E3=m↓e C^2 /√[(μ/ C)^ 2+(V/ C)^ 2-1] (11)

    
     E1+E  E2+E  ,E3+E
     

    P=m↓e V/√[1- (V/C)^2 ]  (12)

 

    P1=m↓e V/√[1+(μ/ C)^ 2-(V/C)^ 2]  (13)

 

    P2=m↓e V/√[1- (V/C)^ 2-(μ/C)^ 2]  (14)

 

    P3=m↓e V/√[(μ/ C)^ 2+(V/ C)^ 2-1]  (15)

 

     P1+P  P2+P  ,P3+P

 

  为什么在很多种几何平均值的组合中,我们只选择了四分量的统计值呢?因为,该四分量是控制粒子场状态的真实波函数,这些算符都不是对称互易的。因此,它们与狄拉克的电子相对论波动方程的四分量波函数具有完全不同的形式。因为这些算符是从研究粒子场状态的分析力学角度被提出来的,所以,它们都有确定的物理含义。

 

    在狄拉克理论中,把自由电子的能量本征值写成对称的形式:

 

    ε=±√(C^2p^2+m↓ e^2+C^4 ) (16)

 

    但是,在自然界中,我们并没有看到这种具有负能量及负质量的电子。因此,正电子或反质子在狄拉克理论中的表现是十分神秘的。实际上,自然界可能根本不存在带单位正电荷的正电子或是带单位负电荷的反质子。而粒子和“表象的反粒子” 能量的本征值总是不对称的。当我们引入上面一些几何平均算符时就会发现,关于粒子与反粒子的对称性问题可能不像以往理论想象的那么简单。

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