加载中…
正文 字体大小:

[原创]上海交通大学王维克数学之旅笔记

(2017-06-25 09:18:38)
标签:

数学

分类: 数学信息
第一课  抽象
对数学不畏惧才是学习数学体验数学的开始
数学告诉你世界只能是什么样的,是用理性思维去想象,去理解世界。
数学尤其注重抽象能力(如距离:两点间,曲线距离,心灵距离需要抽象出一般的定义)
数学思维精确,严密和抽象。学习数学的目的就是掌握数学思维,尤其是抽象思维。
对象和属性是不一样的,关键是弄清楚自己要什么,把自己要的东西抽象出本质就是抽象思维。比如拓扑学关心拓扑属性,认为圆和椭圆一样,这就需要克服心理障碍。
养成算一算是好习惯。计算题:地球赤道扎一个箍,周长加一米小老鼠能不能过去?
18岁以前形成的偏见是今后学习需要克服的重要障碍。常识和知识不一样。


欧拉29岁解决七桥问题(一笔画问题),开创图论和几何拓扑学
《宇宙的琴弦》世界是11维的
哲学,物理学,数学很多跟数学结缘,如经济学诺贝尔奖
六人集会问题,桑塔菲咖啡馆,非完全理性经济学
《别闹了,费曼先生》 这本特别特别有意思
《你干吗在乎别人怎么想——充满好奇心的费曼》
费曼懂得的举例,很有意思,很多人从来不懂得他懂得了什么。

第二课 积分
为什么任意三角形内角和180度,为什么圆的面积是πr平方
牛顿莱布利兹公式:最好的微积分风景,把微分和积分连接起来
黎曼积分和勒贝格(Lebesgue)积分(1902年)分别是对定义域和值域积分,中间间隔300年,这定义了新的空间,比黎曼积分更完善。Lebesgue就是实变函数和测度与积分中。科学发展相对技术慢很多。举个例子黎曼积分是一张张数钱,勒贝格积分是按照面值数钱。
你是不是要学数学?上大学前觉得自己什么都知道,上大学后感觉很不好因为不知道的越来越多。牛顿海边拾贝壳。

欧几里得几何原本
(积分,微分不会算没关系,但是故事要会讲)
玄妙的例子:表面积无限体积却是有限。无穷大世界中奇数和正整数一样多,无穷是一个新世界,和有限不一样
小论文:导数和微商为什么不完全不一样?
《数学及其历史》,不是告诉你数学有什么而是告诉你思想和品位

第三课 函数空间
数学空间就是研究的对象和遵循的规则,也即元素和结构
距离:天下本来就没有水果,水果是一个抽象词,只有苹果这种具体描述才是实际存在的。抽象的东西都是通过属性定义,我们关注的是属性。所以定义距离是定义在集合上的一个概念
很重要的是大学中抽象的距离不能再用中学理解的距离常识去理解。
范数是在距离进一步上做限制。
内积:内积是在范数上进一步做限制
结构:线性结构加法和数乘属性。拓扑结构距离范数和开集
线性赋范空间和线性度量空间就是对集合分别定义了范数和线性结构,距离和线性结构。内积空间就是常说的欧几里得空间,有角度等东西
希尔伯特空间,巴拿赫空间分别是内积空间加完备性,赋范空间加完备性
完备性:玩极限游戏不能玩不出去
本节课收获:自己定义了一个距离,其次是不怕希尔伯特和巴拿赫空间了
连续的概念可以不需要内积,甚至不需要距离,可以用开集即圈子去定义。
元素X和规则T(涛)就是拓扑空间
拓扑(T)是弱化了的距离
泛函分析、拓扑学、抽象代数习惯称为新三高,是大学数学系学生必须过得一关。分别就是研究特定的空间。
《古今数学思想》

第四课 不动点定理
布劳威尔定理
球发定理(在偶数维球面上不可能把头发梳顺)
无穷维不存在不动点定理,但存在压缩映射定理
压缩映射可以去求解线性方程的解
不动点定理与经济学价格均衡体系证明有关,有人证明后获得诺贝尔经济学奖
推荐《美国数学月刊》,初等证明为主但是证明的东西很好玩。
国际数学家大会
《现代世界中的数学》 齐民友教授
《诺贝尔经济学奖与数学》

第五课 fourier分析
傅里叶发表《热的解析理论》阐述的原理和声音本质类似
任意周期(不可数个)函数可以由可数的Cn(傅里叶系数)表示
音乐:音量、音调、时值、音色分别是振幅、频率、时间、形状
傅里叶级数的完备性和正交性,sin,cos就是一个正交基底,基底在科研中非常重要
什么是“知道”一个函数,可以理解为
从时空域“知道”一个函数——经典分析
从频谱域“知道”一个函数——Fourier分析
从试验函数“知道”一个函数——广义函数
更一般地,通过一个基底“知道”一个函数
小波,关注局部性
调和分析
拟微分算子(微局部分析),求二分之一阶导,多维空间的波算子
翻身的空间,开始是二维空间的一张纸,翻身后也是二维空间一张纸,但是必须有翻身的余地,过程需要三维空间
微分就是Fourier级数乘以一个系数
菲尔兹奖
《西方文化中的数学》

第六章 混沌与分形
混沌:长期天气预报注定失败(中间的微小变动后面影响会越来越大);蝴蝶效应(初始值微笑变化的极大影响);非线性现象(多个因素相互影响,如两根单摆的摆动)
混沌的非线性常微分方程组,求解的图形在三维空间像一个蝴蝶,也是混沌现象
牛顿迭代法,x四次方减1的牛顿迭代法在复平面怎么收敛的图形就是一个混沌现象,全部混在一起
分形:科克曲线(雪花曲线)表示有限的面积可以做出无限长的曲线,包含强烈的自相似性,是随机和确定相吻合的事情(区别与物理研究的确定性和混沌的完全不确定性)。
分数的维数,既不是一维又不是二维,Hausdorff测度这个维数就可以度量分形几何,作为一个度量工具去测算海岸线长度
Hausdorff测度涉及高维世界和低维世界,只会去看图形在不同维度上测度是0,无穷大还是一个实数
皮埃诺曲线
把有理数排成一排的经验非常重要,并证明有理数的长度为0(覆盖)
找规则+随机发生器可以生成很多漂亮图形
《混沌开创新科学》

0

阅读 评论 收藏 转载 喜欢 打印举报
  • 评论加载中,请稍候...
发评论

    发评论

    以上网友发言只代表其个人观点,不代表新浪网的观点或立场。

      

    新浪BLOG意见反馈留言板 电话:4006900000 提示音后按1键(按当地市话标准计费) 欢迎批评指正

    新浪简介 | About Sina | 广告服务 | 联系我们 | 招聘信息 | 网站律师 | SINA English | 会员注册 | 产品答疑

    新浪公司 版权所有