无理数测度问题的真相告白于天下！

　　我对实变函数教科书上[0,1]无理数测度为1的结论表示质疑，就在网上连续发了七个帖子，由于没有从数学角度上论述，有些数学工作者就不予承认，反而认为是我搞错了。在网友指点和指指点点的启发下，我有了新的认识，今天我就在数学式子上进行论述，让天下人能够清楚地、彻底地认识到教科书上无理数集测度的错误性。

　　无理数测度是怎么回事呢？教科书上没有写清楚，我只得大概地进行说明，在区间[0,1]中分布着有理数和无理数，由于区间[0,1]有长度是1，那么就有这样的问题提出：有理数占了多少长度，无理数占了多少长度。教科书上不讲长度，而讲测度，结论是有理数测度为0，无理数测度为1.当然，我这种理解可能不大正确，但是，这并不妨碍以下的论述。

　　最近，我在研究中发现点没有长度属性，而线有长度属性，于是，就得出结论：线不是由点构成的，而是由具有连续的点组成的点集构成的。这个结论很重要，我就是用这个结论来解开无理数测度之谜的。

　　一、从单点集角度看线段长度与从区间角度看线段长度是两回事情

　　在看待线段长度时，由于点没有长度属性，就可以得出“从点上看不出线段长度”的结论，就是说从单个点的角度上讲，再多的点（包括不可列个点）也不能构成长度。在这里需要注意到单点集与多点集的区别，单点集与一些多点集合的性质不同，比如，单点集没有长度性，而区间点集就有长度性。由于人们很容易把单点集与具有长度性的点集搞混淆，我在这里就多说两句。点、包括不可列个点都没有长度属性，并不是说所有的点集都没有长度属性，这是因为区间是点集合，它就有长度属性。从中我们可以看得出：在看待线段的长度性时，存在着两种角度看问题，一种是从单点集的角度看问题，另一种是从具有长度属性的点集合角度看问题。从单点集的角度看问题时，看不出线段的长度性，只有从具有长度属性的点集的角度看问题，才能看出线段的长度性。或者说在看待同一线段时，存在着多种不同的角度，特别的，存在着从单点集角度看问题和从区间角度看问题之分。例如，对于区间[a,b]的长度，如果从点的角度看，由于点没有长度属性，所以就看不出[a,b]的长度性；如果从区间角度上看，它就有长度属性，其长度为b-a。

　　为什么会这样呢？这是客观存在，是天生俱来，是事物的本来面目，这就象人们看一个物体，有的角度的视线被挡住了，看不到；有的角度的视线没有被挡住，就能够看到。这就是说，线段不是由点构成的，而是由特殊的点集构成的，在看待线段的长度时，不能从单点集的角度进行，必须从具有长度属性的点集合上进行。值得提出来的是，单点集合角度与具有长度属性的点集合的角度之间的过程不是渐进过程，而是个跳跃过程。也就是说单点集合角度与具有长度属性的点集合的角度是不搭界的，你是你，我是我，你我毫不相干，完全是两回事情，不能混为一谈。

　　二、勒贝格数点集测度定义具有矛盾的一面

　　前人（数学家）忽视了点没有长度性，误认为线段是由点构成的，于是就从单个点的角度上来考虑线段长度性。为什么这么说呢？我们从定义上就可以看得出来，在勒贝格数点集测度定义下，区间[a,b]有测度，且测度为b-a，是区间的长度；同时，单点集也是可测的，且测度为0.这就说明勒贝格数点集测度定义具有从单点集看线段长度的成分。

　　正是由于区间和单点集都是可测的，就形成了两种角度看问题，然而，这两种角度看问题却不会统一，就是说用这两种角度看区间的测度时会产生乱象，是自相矛盾的。怎样理解呢？比如，对于区间[a,b]，从区间角度看，它的测度就是b-a，但是，从单点集角度看，由于区间[a,b]上每一个点测度都是0，这样，[a,b]的测度就是无数多个0相加，在这里就有这样的问题提出，这无数个0相加的结果是什么呢？我认为应该是0，就是说再多的0包括不可列个0相加，结果还是0.从这种意义是讲，勒贝格数点集测度定义就是自相矛盾的。

　　有人会讲，无数个0相加不会等于0，理由是[a,b]上无理数集的测度会大于0.这是这么回事呢？原因是人们把线段看成是由点构成的，在这种认识下，人们就自然会提出这样的问题：既然无数多个0相加结果还是0，那么，区间的长度是怎么形成的呢？一方面区间[a,b]的长度为b-a，一方面区间[a,b]的长度为0，这不就矛盾了吗？对于这两个问题，我这样来回答，前面已经讲了，看待区间长度不能从单个的点上进行，点没有长度性，区间的长度不是由单个的点构成的，而是由具有长度属性的点集合构成的。也就是说我们不能从单个的点上来看待线段的长度，需要从具有长度属性的点集合上来看待区间的长度。从单点集的角度上看，无理数的测度也是等于0的，这是其一。其二，这里的矛盾并不是无数个0相加等于0所带来的，而是由勒贝格数点集测度定义带来的。这个矛盾也说明看待区间测度时，不能同时用两种角度来进行。

　　三、无理数的测度等于1是在同时用两种看测度的角度下得到的

　　为了把问题看得更清楚，我们来看[0,1]上无理数集测度为1是怎么得来的。

　　教科书上在证明[0,1]上无理数集测度时有以下一个环节：[0,1]测度=[0,1]上有理数集测度+[0,1]上无理数集测度。

　　我们对此进行分析：如果从单点集的角度看测度时，那么它就是0=0+0的形式。这时，从数学理论上来看就没有一点问题，或者说从数学理论上看，一点问题也都找不到。如果从区间角度上看测度时，那么它就是左边为1，右边没有意义，等式就不能成立，因为右边不包含区间。

　　由此可以看得出，不论是从单点集的角度上看测度，还是从区间角度上看测度，都得不到[0,1]上无理数集测度为1这个结论。

　　那么[0,1]上无理数集测度为1的结论是怎样得出来的呢？是这样的，等式左边是从区间角度上看测度，得出[0,1]测度为1；等式右边是从单点集的角度看测度，得出[0,1]上有理数集测度为0。然而，[0,1]上无理数测度不能直接算出，人们就从等式上用减法得出[0,1]上无理数测度为1. 其实，这个时候的等式是1=0+0的错误式子，这个错误的式子就是由勒贝格数点集测度定义本身的矛盾带来的，就是从区间看测度与从点上看测度的结果不会一致的矛盾所带来的。

　　由此可见，在勒贝格数点集测度定义下，[0,1]上无理数测度为1就是错误的。

　　可能有人会问，就算[0,1]上无理数测度为1是错误的，那么它的正确答案是什么呢？我的回答是，由于勒贝格数点集测度定义的自身矛盾，它没有正确的答案。如果脱离勒贝格数点集测度定义、就是从客观精神上讲，无理数集与长度无关。线段的长度性是由有理数与无理数组合在一起而形成的，把区间分成有理数集和无理数集就会破坏长度属性。

　　在这里需要说明的是，尽管勒贝格数点集测度定义存在矛盾，但是在实际应用时是有意义的，这是因为人们在运用它时、总是从区间角度上来看待测度的，对于一些少数“坏”点，在实际应用当中，可以把它的测度作为0来处理。