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<编程之美>计算0到N中包含数字1的个数[转]
(2012-10-07 12:51:34)
标签：
杂谈 |
分类： 找工作期间的 |
有这样一个函数f(n),对于任意正整数n,它表示从 0 到 n 之间出现“1”的个数,比如 f(1) = 1, f(13) = 6,请列出从 1 到 1234567890 中所有的 f(n) = n 的n, 要求准确快速.
相信很多人都能立刻得出以下的解法：
这是最直接的解法，但遗憾的是，时间复杂程度为O(N*logN)。因为还需要循环判断当前的n的各位数，该判断的时间复杂程度为O(logN)。
接下来就应该思考效率更高的解法了。说实话，这道题让我想起另外一道简单的算法题：
N为正整数，计算从1到N的整数和。
很多人都采用了循环求解。然后利用初等数学知识就知道S=N*(N+1)/2，所以用O(1)的时间就可以处理。
再回到本道题目，同理应该去寻找到结果R与N之间的映射关系。
分析如下：
假设N表示为a[n]a[n-1]...a[1]，其中a[i](1<=i<=n)表示N的各位数上的数字。
c[i]表示从整数1到整数a[i]...a[1]中包含数字1的个数。
x[i]表示从整数1到10^i - 1中包含数字1的个数，例如，x[1]表示从1到9的个数，结果为1；x[2]表示从1到99的个数，结果为20；
当a[1]=0时，c[1] = 0;
当a[1]=1时，c[1] = 1;
当a[1]>1时，c[1] = 1;
当a[2]=1时，c[2] = a[1] +1+ c[1] + x[1];
当a[2]>1时，c[2] = a[2]*x[1]+c[1]+10;
当a[3]=1时，c[3] = a[2]*a[1] +1+ c[2] + x[2];
当a[3]>1时，c[3] = a[3]*x[2]+c[2]+10^2;
......
以此类推
当a[i]=1时，c[i] = a[i-1]*...*a[1] +1+ c[i-1]+x[i-1];
当a[i]>1时，c[i] = a[i]x[i-1]+c[i-1]+10^(i-1);
编程之美之1的数目
1 的数目
给定一个十进制正整数 N，写下从
1 开始，到 N 的所有整数，
然后数一下其中出现的所有“1”的个数。
例如：
N= 2，写下
1，2。这样只出现了 1 个“1”。
N= 12，我们会写下 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12。这样，1的个数是 5。
问题是：
写一个函数f(N)
返回1到N之间出现的“1”的个数,比如f(12)=5。
这个问题看上去并不是一个困难的问题，因为不需要太多的思考，大家都能找到一个最简单的方法来计算
f（N），那就
是从1开始遍历到N,将其中每一个数中含有“1”的个数加起来，
自然就得到了从1到N所有“1”的个数的和.C语言实现如下:
int
{
}
int
{
}
int
{
}
但是这个算法的致命问题是效率，它的时间复杂度是O（N）×计算一个整数数字里面“1”的个数的复杂度 = O（N *log2 N）,如果给定的 N 比较大，则需要很长的运算时间才能得到计算结果。我试着输入100000000,一共用了大概12秒,貌似有点长,不够比作者说的40S快多了,作者的电脑有点旧…….- .-
解法二
<编程之美>先从一些简单的情况开始观察:
如果N是一位数,可以确定f(N)=1
如过是二位数,如果
N=13，那么从 1 到 13 的所有数字：1、2、3、4、5、6、
7、8、9、10、11、12、13，个位和十位的数字上都可能有
1，我们可以将它们分开来考虑，个位出现 1 的次数有两次：1 和 11，十位出现 1 的次数有 4 次：10、11、12 和
13，所以 f（N）=2+4=6。要注意的是 11 这个数字在十位和个位都出现了 1， 但是 11 恰好在个位为 1 和十位为 1
中被计算了两次，所以不用特殊处理，是对的。再考虑 N=23 的情况，它和 N=13 有点不同，十位出现 1 的次数为 10 次，从
10 到 19，个位出现 1 的次数为 1、11 和 21，所以f（N）=3+10=13。通过对两位数进行分析，我们发现，个位数出现
1 的次数不仅和个位数字有关，还和十位数有关：如果 N 的个位数大于等于 1，则个位出现 1 的次数为十位数的数字加 1；如果N
的个位数为 0，则个位出现 1 的次数等于十位数的数字。而十位数上出现 1 的次数不仅和十位数有关，还和个位数有关：如果十位数字等于
1，则十位数上出现 1 的次数为个位数的数字加 1；如
果十位数大于 1，则十位数上出现
1 的次数为 10。
f(13) = 个位出现1的个数
+ 十位出现1的个数 = 2 + 4 = 6；
f(23) = 个位出现1的个数
+ 十位出现1的个数 = 3 + 10 = 13；
f(33) = 个位出现1的个数
+ 十位出现1的个数 = 4 + 10 = 14；
…
f(93) = 个位出现1的个数
+ 十位出现1的个数 = 10 + 10 =
20；
接着分析 3 位数,
如果 N = 123：
个位出现 1 的个数为 13：1,
11, 21, …, 91, 101, 111, 121
到
f（N）的计算方法：
位（更高位）以上的数字。如果百位上的数字为
0，则可以知道，百位上可能出现 1 的次
数由更高位决定，比如 12
013，则可以知道百位出现 1 的情况可能
是 100～199，1 100～1
199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，
一共有 1 200
个。也就是由更高位数字（12）决定，并且等于更高
位数字（12）×当前位数（100）。
如果百位上的数字为
1，则可以知道，百位上可能出现 1 的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，也就是由更高位和低位共同决定。例如对于 12
113，受更高位影响，百位出现 1 的情况是 100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11
199，一共 1 200个，和上面第一种情况一样，等于更高位数字（12）×当前位数（100）。但是它还受低位影响，百位出现 1
的情况是 12 100～12 113，一共114
个，等于低位数字（123）+1。
×当前位数（100）。通过上面的归纳和总结，我们可以写出如下的更高效算法来
计算
f（N）：
int
{