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排列组合与彩票数学

(2011-07-21 09:49:25)
标签:

上海

元素

排列

数字

位数

彩票

组合

教育


在求排列组合时,经常要用到两条原则----加法原则和乘法原则。先看下面的问题: 从甲地到乙地,可以乘火车,可以乘汽车,也可以乘轮船。一天中,火车有4班,汽车有2班,轮船有3班。问从甲地到乙地共有几种走法? 解:因为乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,因此从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法。

  一般地,有如下的原则: 加法原则:完成一件事,有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法。那么,完成这件事共有N=m1十m2十……十mn种不同的方法。

  再看下面的问题: 从甲地到丙地必须经过乙地,从甲地到乙地有A,B,C,D四条道路;从乙地到丙地有H,I,J三条道路。问从甲地到丙地共有几种走法? 因为从甲地到乙地有4种走法,而采用每一种走法走到乙地后,又可有3种走法到丙地。所以共有 4*3=12种不同的走法。

  一般地,有如下的原则: 乘法原则:完成一件事,有n个步骤,第一步有m1种不同的方法,第二步有m2种不同的方法,……,第n步有mn种不同的方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事,那么完成这件事共有N=m1×m2×……×mn种不同的方法。

  
排列(一)

  排列的概念

  关于排列,我们先看下面的例子:

  例:由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解:题中所指“没有重复数字”就是三位数中的三个数字不能是同一数字。根据题意。第一步,先确定百位上的数字。在1,2,3,4这四个数字中任取一个,共 有4种方法;假设我们取3作为百位数。 第二步,确定十位上的数字。当百位上的数字确定以后,十位上的数字只能从余下的三个数字中1,2,4中去取,共有3种
方法;假设我们取2作为十位数。 第三步,确定个位上的数字。当百位、十位上的数字都确定以后,个位上的数字只能从余下的两个数字1和4中去取,共有2种方法。 根据乘法原理,从四个不同的数字中,每次取出三个排成三位数的方法共有 4×3×2=24 种。就是说,共可以排成24个不同的三位数。

  定义1:一般地说,从n个不同元素中,任取m (m<=n)个元素(这里只研究被取出的元素各不相同的情况),按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出个m元素的一个排列。

  从排列的定义知道,如果两个排列相同,不仅这两个排列的元素相同,而且排列的顺序也必须完全相同。如果所取的元素不完全相同,如问题中的三位数“123”和“321”,虽然它们的元素相同,但排列顺序不同,也是两个不同的排列。

   

排列(二)

  有重复的排列

  上一讲我们讨论的排列中是不允许有重复的元素,但是很多情况下我们碰到的是有重复元素的问题,所以有必要对此作一下讨论。

  在定义前,我们先看一下下面的例子:

  例:由1-9这九个数字,共可组成多少个六位数?(每个位置上的数字可以重复) 解:1,先确定十万位上的数字。在1-9这九个数字中任取一个,共有9种方法。 2,确定万位上的数字。在1-9这九个数字中任取一个,还是有9种方法。 3,千位,百位,十位和个位上的数字取法如上,都为9种。 4,根据乘法原理,共有 9×9×9×9×9×9=531441 种取法。

  定义2:一般地说,从n个不同元素中,任取m (m<=n)个元素(元素可以重复),按照一定的顺序排成一列,叫做有重复的排列。

  在我们身边,“数字型彩票”就是属于有重复的排列。它的游戏规则大家肯定不会陌生,是从0-9这10个数字中任取6个数字组成一个六位数,然后从 0-4这5个数字中任取1个数字作为特别号码。只不过这个六位数和数学意义上的六位数有些不同,它允许0作为十万位上的数字。

  由上述的定义2,不难算出“数字型彩票”共有每次开奖共有

  特别号码个数×106 种

  即五百万个不同的开奖号码。  

排列(四)

  排列数计算公式的应用

  学习了排列数的计算后,我们基本可以解决所有只牵涉到排列的问题。看一下下面的这两个例子。

  例1:红,黄,蓝三种颜色不同的旗,按不同的次序排成一列表示信号,可以单用一面,或两面,三面并用,问一共可以表示多少不同的信号? 解:一面组成的信号有P(1,3)种; 两面组成的信号有P(2,3)种; 三面组成的信号有P(3,3)种。 根据加法原则,得: P(1,3)+P(2,3)+P(3,3)=3+3*2+3*2*1=15(种)

  例2:有一分,两分,五分的硬币各若干枚。从中挑出1-3枚硬币表示一种代号。可以只用一枚,也可用两枚,也可用三枚,允许重复挑选。问一共有多少种 不同的代号? 解:这个问题要根据元素重复的排列计算公式来解决。 一枚表示的代号有31种, 两枚表示的代号有32种, 三枚表示的代号有33种。 根据加法原则,得: 31+32+33=3+9+27=39(种)

  定义3:从n个不同元素中,任取m (m<=n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号P(m,n) 表示。
例如:从5个不同元素中取出3个元素的排列数表示为P(3,5)。求排列数P(m,n)可以这样考虑:设有n个元素m1,m2,...,mn 从其中先任选1个元素排在第一个位置,因为m1,m2,...,mn中任选1个都可以,所以有n种方法;排在第二个位置的元素,是除了选作第一位的元素以 外的n-1个元素中再任选一个,所以有n-1种方法;这样下去,选第三个,第四个......第m个位置的元素的方法,数目分别是n-2,n- 3,...,n-(m-1)。根据乘法原则,它们的总数是这m个排列方法的数目的积,即n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1),所以 P(m,n)=n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1)。这里m<=n。
这就是说,从n个元素中每次取出m个元素,所有的排列总数等于m个连续自然数的积,其中最大的一个数是n,这个公式叫做排列数公式。当m=n时,叫做n个不同元素的全排列。
排列的概念:
关于排列,我们先看下面的例子:
例:由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的三位数?
解:题中所指“没有重复数字”就是三位数中的三个数字不能是同一数字。根据题意。
第一步,先确定百位上的数字。在1,2,3,4这四个数字中任取一个,共有4种方法;假设我们取3作为百位数。
第二步,确定十位上的数字。当百位上的数字确定以后,十位上的数字只能从余下的三个数字中1,2,4中去取,共有3种方法;假设我们取2作为十位数。
第三步,确定个位上的数字。当百位、十位上的数字都确定以后,个位上的数字只能从余下的两个数字1和4中去取,共有2种方法。
根据乘法原理,从四个不同的数字中,每次取出三个排成三位数的方法共有 4×3×2=24 种。就是说,共可以排成24个不同的三位数。
定义1:一般地说,从n个不同元素中,任取m (m<=n)个元素(这里只研究被取出的元素各不相同的情况),按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出个m元素的一个排列。
从排列的定义知道,如果两个排列相同,不仅这两个排列的元素相同,而且排列的顺序也必须完全相同。如果所取的元素不完全相同,如问题中的三位数“123”和“321”,虽然它们的元素相同,但排列顺序不同,也是两个不同的排列。
组合(一)
组合的性质:让我们先看一下下面的例子:
例:北京--天津--上海三个民航站的直达航线,一共有几种不同的飞机票价? 解:因为北京--上海,上海--南京,南京--北京三条航线的距离各不相同,所以有3种不同的飞机票价。
这个问题与需要准备几种不同的飞机票是不同的。飞机票的总数,与两个城市的先后顺序有关,这是一个排列问题;而票价只与两个城市的距离有关,与两个城市的 先后顺序无关,因此可以看作是从三个不同的元素中任选两个,不管怎样的顺序并成一组,求一共有多少个不同的组,这就是我们要研究的组合问题。
定义:一般地说,从n个不同元素里,每次取出m (1<=m<=n)个元素, 不管怎样的顺序并成一组,叫做从n个元素里每次取出m个元素的组合。 例如:从3个元素a,b,c里每次取出2个元素的组合,就是指下列三种组合ab,ac,bc。
由组合的定义可以知道,如果两种组合里所含的元素完全一样,只是排列的顺序不同,如ab和ba,那么它们仍是相同的组合。 由此可知,组合和排列是不同的。排列和元素排列的顺序有关,但是组合和这种顺序没有关系。
习题: 1,从2,3,5,7,11,13这六个数中,每次取出3个数相乘。问可以得到多少个不同的积? 2,一分,二分,五分硬币各一枚,一共可以组成多少种不同的币值?
由于组合数的计算公式的推导过程比排列要麻烦,所以我们这里略去复杂的推导过程,直接给出组合数的计算公式。
定义:从n个不同元素中取出m(m<=n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用C(m,n)表示。
C(m,n)=n*(n-1)*...*(n-m+1) / (1*2*...*m) 当m=n时,C(m,n)=1。
让我们来看下面这个例题: 例:有七个人进行乒乓球比赛,采用单循环制,即每两人之间要进行一场比赛。问共要进行多少场比赛? 解:这个问题等同于从7个不同的元素中选取2个元素的所有组合个数。 所以比赛场数等于C(2,7)=7*...*(7-2+1)/(1*2)=7*6/2=21
组合的推广:
定义1:若r1+r2+......+rk=n,把n个不同的元素分成k个部分,第一部分r1个,第二部分r2个,......,第k部分rk个,则不同 的分法有: n! / (r1!*r2!*......*rk!) 种,这里n!叫做n的阶层,它的值为n!= 1*2*......*n ;
定义2:若n个元素中有n1个具有特性“1”, n2个具有特性“2”,......,nk个具有特性“k”,且n1+n2+......+nk= n,从这n个元素中取出r个,使得具有特性“I”的元素有ri个(1<=I<=k),而r1+r2+......+rk=r ,这时不同的取法的总数为: C(r1,n1)*C(r2,n2)*......*C(rk,nk) ,这里要求ri <= ni 。
例:有10个砝码,其重量分别为1克,2克,......,10克,从中取出三个;要求取出的三个砝码,一个小于5克,一个等于5克,一个大于5克。问共 有多少种不同的取法? 解:由上述的定义2,我们认为1克-4克的砝码具有特性“1”,5克的砝码具有特性“2”,6克-10克的砝码具有特性“3”。从这10个砝码中取出三 个,具有特性“1”、特性“2” 、特性“3”的各取一个,则不同取法总数为: C(1,4)*C(1,1)*......*C(1,5)=4*1*5=20 (种)

排列与组合复合计算:
在了解了排列和组合的基本性质以后,我们可以来计算一些比较复杂的排列,组合的计算题,求解时,必须先确定是排列还是组合问题,然后根据题意列出计算式,求得解答。
例1:课外研究小组共有13个人,其中男同学8人,女同学5人。从这13人里选出3个人准备报告,在选出的3人中至少要有1个女同学。问一共有多少种选 法? 解:“至少有有1个女同学”,就是说选出的3个人中,可以有1个女同学,2个女同学,也可以有3个女同学。根据乘法原则: 有1个女同学的选法有C(1,5)*C(2,8) 种; 有2个女同学的选法有C(2,5)*C(1,8) 种; 有1个女同学的选法有C(3,5) 种。 根据加法原则,至少有1个女同学的选法的种数为 C(1,5)*C(2,8)+C(2,5)*C(1,8)+C(3,5)=5*28+10*8+10=230
例2:用0,1,2,3,4,5,6这七个数字组成无重复的四位数中,比1200大的共有多少个? 解:比1200大的四位数,是以下各数组成: 1,千位数字为2,3,4,5,6;这样的四位数有 C(1,5)*P(3,6) 种。 2,千位数字为1,而百位数字为2,3,4,5,6;这样的四位数有 C(1,5)*P(2,5) 种。 根据加法原则,得到 C(1,5)*P(3,6)+C(1,5)*P(2,5)=600+100=700。
对于有些比较复杂的排列组合问题,直接利用乘法原则比较困难,可根据已知条件分为若干类,然后利用加法原则,可求得它们的解。
例如,对生产的一批乒乓球进行质量抽查,结果如下表所示:
抽取球数 n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1902 m/n 0.90 0.92 0.97 0.94 0.95 0.95

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