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新不可公约线段之谜

(2010-06-15 18:44:34)
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杂谈

2010年的数学危机和“新不可公约线段”之谜

刘宇晖(liuyuhui30000@sina.com)

摘要:本文介绍类时空几何新探索:论证在欧氏几何和笛卡尔系中不同维向的线段是不可通约的,论证欧氏几何同时意味着非欧几何。

关键词:公约 勾股定理 非欧

 

哪怕迈出有把握的微小的一步,都是困难的。——爱因斯坦

  

历史上发生过三次数学危机,第一次,发现直角三角形斜边与直角边不可公约;第二次,涉及到微积分的严格基础;第三次,集合悖论及其他逻辑和语义悖论。本文要论述的问题也向数学基础提出了挑战,并且历史轮回般的在新的层面回到与第一次危机相仿的处境,并且与非欧几何发生联系。

   在欧氏几何中,通常认为线段都是用同一直尺度量的。毕达哥拉斯学派认为:万物皆数。那时理解的数是整数或整数比,即分数或循环小数,由于“百牛定理”(勾股定理或商高定理)的发现,这一信念被动摇。因为可以证明,两个直角边是一米时,斜边的长度不是直角边的整数倍或分数倍。从此几何学方法得到信任,被认为比起代数更具严格性和普适性,这种局面持续到无理数被发明出来并且获得更广泛的应用。因此,现在在几何中仍然认为线段有同一公约尺度,只是线段比是包括一般实数而已。

   现在,我们证明,两个直角边是“新不可公约的”,就是说,一边不是另一边的某个实数倍。这只要证明,两个边不是同一米尺度量出来的即可。

   我们知道欧氏几何证明的特点是以特殊表示一般,数学哲学,认识论,现象学者都分析过这些问题,但有一个本质性的方面没有触及到。如最为基础的勾股定理的证明,在证明时,画出一个直角三角形,开始论证直到证明结束,但得到的结论不是:这个三角形三边满足勾股关系,而是,因此,所有的直角三角形满足勾股定理。这种论证是普适的,不局限于我们为进行证明而画出的那个特殊的三角形。由以上分析,我们可得出结论,一般而言,直角三角形两个直角边都不可公约。若不然,特殊三角形就不会有普适代表性。为什么呢?设我们用同一尺度画出横轴和纵轴,并在横轴上取两点A,A’,纵轴上取两点B,B’。因此有两个三角形OAB,OA’B’.有OA=3,OB=4;OA’=5,OB’=12.则OAB不能代表OA’B’,因为若可以代表,则OB边要伸长12/4=3倍变成OB’;OA要伸长5/3倍变成OA’。在做了这代换后,原证明可同样施行。但度量OA的尺L1也随之长3倍变为L1’,度量OB的尺L2随之长5/3倍变为L2’,并将不成同比例的新尺L1’,L2’仍标定为1,这样度量的OB’和OB才能被标度为4和3,从而被两边本来为4和3的三角形OAB所代表,但原尺度之比是1:1,即同一尺,经伸缩后L1’:L2’=3:(5/3),不再是同一尺度了,不能重合了。也就是说,尺度不同一,OA’B’才能被OAB代表。因此,在承认欧氏几何的普适代表性证明成立的前提下,就不能再承认欧氏的线段是同一尺度测量出来的,那么,在以欧氏几何为基础的笛卡尔坐标系中,X,Y,Z轴的尺度是不可通约的,就是说,不是差一实数倍的关系。

在时空学中也可给出这个证明,因为洛仑兹变换是满足勾股定理的,其时空坐标系是笛卡尔系,但可证明,三个轴线段不可公约,参见【1】【2】【3】。总结以上,在一个用同一尺度作出的坐标系中,勾股定理不严格成立,因此不是笛卡尔系。这意味着非欧几何不可避免。如果同一尺度坐标系勾股定理成立,就要否定欧氏几何证明的普适性,那也意味着非欧几何。也许会产生新的包容两种几何的新几何。

参考文献:

【1】《(同一尺度)的惯性系不是笛卡尔系》,刘宇晖,海明志杰博客,2010.1

【2】《洛仑兹变换中y=y’,z=z’不成立》,刘宇晖,海明志杰博客,2010.1

【3】《三维尺度不确定,新原时公式和斜向光速不唯一的简易证法》,海明志杰博客,2010.1

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