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惯性时空变换群的简明公式

(2010-06-15 18:37:00)
标签:

杂谈

惯性时空变换群的简明公式

刘宇晖(liuyuhui30000@sina.com)

摘要:给出满足c,-c转换不变条件下的变换群的简明公式,包含了|v|<c,|v|>c,它们构成“三角函数变换群”,包含了“双曲函数变换群”为其子群,洛仑兹变换群被自然涵盖其中。本文是类时空几何最具独创性的工作之一。

关键词:三角 双曲 群 简明

 

千头万绪谁解出,茫茫天地有真如。

同是辛苦道不同,如心无地自圆容。

                        ——无题

 

古老的三角函数蕴含时空深邃的奥秘。据作者破译:|sinA|总是小于等于1,这代表|v/c|<1或等于1的情形,|cscA|=|1/sinA|总是大于等于1,这代表|v/c|>1或等于1的情形。给出如下简明公式:

x=x’secA+ct’tgA,ct=ct’secA+x’tgA......(1)

x=x’tgA+ct’secA,ct=ct’tgA+x’secA......(2)

(2)是(1)中x’,ct’交换位置得到。两式优美对称,具有高度概括性,改写(1)为(1’),(2)为(2’):

x=secA(x’+ct’sinA),ct=secA(ct’+x’sinA)...... (1’)

x=tgA(x’+ct’cscA),ct=tgA(ct’+x’cscA)......(2’)

易算出,(1)中,k’相对于k系的速度v, v/c=sinA,小于1,|v|<c,在(2)中,v/c=cscA,大于1,|v|>c.当v=无穷大,A=0,tgA=0,secA=1.(2)式为:x=ct’,ct=x’.这是两系速度为无穷大时的变换。两式的逆变换只需用-A替代A,因此满足相对性原理的协变性。

看(1)式,因为v/c=sinA,所以:

|secA|=1/根号下(1-sinA方)=1/根号下(1-v方/c方)。

因此(1)自动包含洛仑兹变换。在(2)中,v/c=cscA,

|tgA|=1/根号下(cscA方-1)=1/根号下(v方/c方-1)。

可以证明:(1)自己构成一个变换群,但它又是(1)(2)共同构成的变换群的一个子群。为此,引入一个新的数学思想:在三角函数中,若角C=A+B,则C的三角函数可用A和B的三角函数经四则运算较简单的组合而成,问:是否存在其他的运算f,C=f(A,B),仍然有这种组合性质,事实上尝试一些简单的运算(如C=A*B)都不能成功,然而却存在一个不能直接给出的复杂运算,满足这种要求,这运算可以用隐定义的方式给出,体现在如下(3)(4)的构造中:

sinC=(sinA+sinB)/(1+sinAsinB)......(3)

cosC=cosAcosB/(1+sinAsinB)......(4)

由此两式可推出如下公式:

sinC=(cscA+cscB)/(1+cscAcscB).....(5)

cosC=ctgActgB/(1+cscAcscB)......(6)

cscC=(cscA+sinB)/(1+cscAsinB)=(cscB+sinA)/(1+cscBsinA)..(7)

ctgC=ctgAcosB/(1+cscAsinB)=ctgBcosA/(1+cscBsinA)......(8)

tgC=(sinA+sinB)/cosAcosB=(cscA+cscB)/ctgActgB

=secAtgB+secBtgA......(9)

secC=(1+sinAsinB)/cosAcosB=(1+cscAcscB)/ctgActgB

=secAsecB+tgAtgB......(10)

下面证明(1)式构成群。设k”相对于k’的速度|v|<c,k’相对于k的速度|w|<c,按(1)式,有:

x’=x”secA+ct”tgA,ct’=ct”secA+x”tgA......(11)

x=x’secB+ct’tgB,ct=ct’secB+x’tgB.....(12)

则前面给出的三角公式(9)(10)可算出:

x=x”secC+ct”tgC,ct=ct”secC+x”tgC.....(13)得证。

可证明(1)(2)共同构成一个群。分两种情况:1.k”相对于k’的速度|v|<c,符合(1)式;k’相对于k的速度w,|w|>c,符合(2)式,则k”,k之间符合(2)式。2.k”相对于k的速度|v|>c,符合(2)式,k’相对于k的速度 w,|w|>c,也符合(2)式,则k”,k之间符合(1)式(证明略)。

需要说明:在相对论速度公式u/c=(w/c+v/c)/(1+w/c*v/c)中,有:1.当|w/c|<1,|v/c|<1时对应(3)式.此时|u/c|<1;2.当|w/c|<1,|v/c|>1时对应(7)式,此时|v/c|>1;3.当|w/c|>1,|v/c|>1时对应(5)式,此时|u/c|<1.因此在使用(1)(2)进行时空变换时,相对论速度相加公式分别体现为(3)(5)(7)式。

下面给出(1)(2)构成的“三角函数变换群”的“双曲”子群:

x=x’chA+ct’shA,ct=ct’chA+x’shA......(14)

x=x’shA+ct’chA,ct=ct’shA+x’chA......(15)

两式也是对称的,(15)式即(14)式中x’,ct’位置的对换。两式逆变换只需用-A置换A,因此满足相对性原理。(14)是相对论给出的洛仑兹变换的双曲表达,自己构成一个群。(15)式是本文给出的,可改写为:

x=shA(x’+ct’cthA),ct=shA(ct’+x’cthA)......(15’)

设k’相对于k的速度为v,可算出v/c=cthA,|cthA|总是大于1,因此|v|>c.算出|shA|=1/根号下(cthA方-1)=1/根号下(v方/c方-1)。因此(15)是(2)式的一部分,但并不包含(2)式所刻画的所有两系相对速度|v|>c的情况,因为当v<0时,shA<0,当v>0时,shA>0.同样可以证明(14)(15)共同构成一个群,它显然是“三角函数群”的子群。

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