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惯性时空是复时空（证明）——孪生时空与笛卡尔四维时空

刘宇晖（liuyuhui30000@sina.com）

摘要：提出“复光子”，“复速度”，“ci不变原则”，“ci洛伦兹变换”，证明孪生时空存在，提出与闵可夫斯基时空互为孪生的“笛卡尔四维时空”，证明惯性时空是复时空的命题。本文是类时空几何的基本发现之一。

关键词：复 笛卡尔 ci

概括了洛伦兹变换的闵可夫斯基四维时空是伪欧式时空，变换的不变量“根号下（x方+y方+z方-c方t方）”，在引入cit轴后才写成四维勾股定理形式。问：是否存在四维欧式的笛卡尔时空？如果有，它是对怎样的变换的四维概括？

为得到答案，先解决一个问题：符合相对性原理的线性惯性时空变换，除洛仑兹变换和伽利略型变换外还有谁？这里给出第三类变换：

   x=b(x’+vt’),t=b(t’-vx’/(c*c)),y=y’,z=z’.

b=1/根号下（1+v方/c方）......(1)

逆变换是：x’=b(x-vt),t’=b(t+vx/(c*c)).

这变换不满足c不变，速度相加公式为:

w=(u+v)/(1-uv/(c*c))......(2)

由于因子b中“+”号的出现，速度取值无限制。当v=c时变换为：

x=(1/2)*(x’+ct’),t=(1/2)*(t’-x’/c)

此时，若k’系中粒子以-c，+c运动，在k中则分别以0和无穷大运动。那么，在此变换中谁是速度不变量？令w=u,代入（2），解得:

w=u=ci和-ci，因此，速度不变量是正负ci。就是说：

x=cit,x’=cit’;x=-cit,x’=-cit’.

称此为“ci不变原则”，以ci运动的为“虚光子”，一般的，光子运动速度是复数，称为“复光子”。（1）的变换不变量是：x方+y方+z方+(ct)方=x’方+y’方+z’方+(ct’)方。

其开方可定义为时空间隔。构成四维欧式的笛卡尔时空，ct为第四维的时间轴。四维笛卡尔时空与闵可夫斯基时空相对待而存在，互为“孪生时空”，在四维笛卡尔时空中，由（1）表示的变换相当于四维笛卡尔坐标系在x-ct面的一个转动。转角A的正切是惯性系相对速度。因此：v/c=thA.b=cosA.b*(v/c)=sinA.因此这转动给与变换（1）以三角函数的表示：

x=x’cosA+(ct’)sinA,ct=(ct’)cosA-x’sinA.

这是正弦和与余弦和公式的显露。设:

x/t=w=c*thC,x’/t’=u=c*thB,C=B+A.则按正切和公式：

thC=(thA+thB)/(1-thA*thB)，这就是(2)式。

    按双义相对性原理，符合相对性原理的数学变换的样式都应彼此一致，因此（1）式应与洛伦兹变换有一致的关联，写下洛变换：

x=a(x’+vt’),t=a(t’+vx’/(c*c))......(3)

a=1/根号下（1-v方/c方）。

若将速度不变量c置换为ci,则a=b,t=b(t’-vx’/(c*c))。就是说，洛变换被置换为（1），故我们称（1）为“ci洛伦兹变换”，（1）相应可被表达为以ci为不变量的洛伦兹形式：

x=b(x’+vt’),t=b(t’+vx’/(ci*ci)),

b=1/根号下（1-v方/（ci）方）。

相对的，洛伦兹变换也可表达为（1）的形式，只需将（1）中的c置换为ci。二者可以互表，互为孪生。

如果不做速度变换，二者有简明的转换关系。设(x,t),(x’,t’)符合洛变换，做转换：[t]=ti,[t’]=t’i.则(x,[t]),(x’,[t’])符合“ci洛变换”或做转换:

[x]=xi,[x’]=x’i,则([x],t),([x’],t’)也符合“ci洛变换”。能实现这种转换的还有：[t]=-ti,[t’]=-t’i.或[x]=-xi,[x’]=-xi等等（如它们的组合），易证明，由上面几个变换联系的孪生时空是相对静止的，是属于同一惯性系的。由于出现了虚根变换，可看出，在这几个变换中，当一个时空量度为实数时，其孪生时空有虚数量度。这种情况说明时空是复数形式的。因此运动速度也为复数。下面我们严格证明这个基本结论——“惯性时空是复时空”。

证明：用反证法，假设时空的量度是实数的。设k’,k是由洛变换联系的两个惯性时空，符合（3），做变换：

[x]=cit,[t]=x/(ci);[x’]=cit’,[t’]=x’/(ci)......(4)

经计算：[x]=a([x’]-v[t’]),[t]=a([t’]-v[x’]/(c*c)).

所以([x],[t]),([x’],[t’])也是由洛伦兹变换联系的惯性时空，

按假设，x,t,x’,t’,[x],[t],[x’],[t’]都是实数,但这与（4）矛盾。因此，惯性时空是复时空得证。