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惯性时空是复时空

(2010-06-15 18:33:48)
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杂谈

惯性时空是复时空(证明)——孪生时空与笛卡尔四维时空

刘宇晖(liuyuhui30000@sina.com

摘要:提出“复光子”,“复速度”,“ci不变原则”,“ci洛伦兹变换”,证明孪生时空存在,提出与闵可夫斯基时空互为孪生的“笛卡尔四维时空”,证明惯性时空是复时空的命题。本文是类时空几何的基本发现之一。

关键词:复 笛卡尔 ci

 

概括了洛伦兹变换的闵可夫斯基四维时空是伪欧式时空,变换的不变量“根号下(x方+y方+z方-c方t方)”,在引入cit轴后才写成四维勾股定理形式。问:是否存在四维欧式的笛卡尔时空?如果有,它是对怎样的变换的四维概括?

为得到答案,先解决一个问题:符合相对性原理的线性惯性时空变换,除洛仑兹变换和伽利略型变换外还有谁?这里给出第三类变换:

   x=b(x’+vt’),t=b(t’-vx’/(c*c)),y=y’,z=z’.

b=1/根号下(1+v方/c方)......(1)

逆变换是:x’=b(x-vt),t’=b(t+vx/(c*c)).

这变换不满足c不变,速度相加公式为:

w=(u+v)/(1-uv/(c*c))......(2)

由于因子b中“+”号的出现,速度取值无限制。当v=c时变换为:

x=(1/2)*(x’+ct’),t=(1/2)*(t’-x’/c)

此时,若k’系中粒子以-c,+c运动,在k中则分别以0和无穷大运动。那么,在此变换中谁是速度不变量?令w=u,代入(2),解得:

w=u=ci和-ci,因此,速度不变量是正负ci。就是说:

x=cit,x’=cit’;x=-cit,x’=-cit’.

称此为“ci不变原则”,以ci运动的为“虚光子”,一般的,光子运动速度是复数,称为“复光子”。(1)的变换不变量是:x方+y方+z方+(ct)方=x’方+y’方+z’方+(ct’)方。

其开方可定义为时空间隔。构成四维欧式的笛卡尔时空,ct为第四维的时间轴。四维笛卡尔时空与闵可夫斯基时空相对待而存在,互为“孪生时空”,在四维笛卡尔时空中,由(1)表示的变换相当于四维笛卡尔坐标系在x-ct面的一个转动。转角A的正切是惯性系相对速度。因此:v/c=thA.b=cosA.b*(v/c)=sinA.因此这转动给与变换(1)以三角函数的表示:

x=x’cosA+(ct’)sinA,ct=(ct’)cosA-x’sinA.

这是正弦和与余弦和公式的显露。设:

x/t=w=c*thC,x’/t’=u=c*thB,C=B+A.则按正切和公式:

thC=(thA+thB)/(1-thA*thB),这就是(2)式。

    按双义相对性原理,符合相对性原理的数学变换的样式都应彼此一致,因此(1)式应与洛伦兹变换有一致的关联,写下洛变换:

x=a(x’+vt’),t=a(t’+vx’/(c*c))......(3)

a=1/根号下(1-v方/c方)。

若将速度不变量c置换为ci,则a=b,t=b(t’-vx’/(c*c))。就是说,洛变换被置换为(1),故我们称(1)为“ci洛伦兹变换”,(1)相应可被表达为以ci为不变量的洛伦兹形式:

x=b(x’+vt’),t=b(t’+vx’/(ci*ci)),

b=1/根号下(1-v方/(ci)方)。

相对的,洛伦兹变换也可表达为(1)的形式,只需将(1)中的c置换为ci。二者可以互表,互为孪生。

如果不做速度变换,二者有简明的转换关系。设(x,t),(x’,t’)符合洛变换,做转换:[t]=ti,[t’]=t’i.则(x,[t]),(x’,[t’])符合“ci洛变换”或做转换:

[x]=xi,[x’]=x’i,则([x],t),([x’],t’)也符合“ci洛变换”。能实现这种转换的还有:[t]=-ti,[t’]=-t’i.或[x]=-xi,[x’]=-xi等等(如它们的组合),易证明,由上面几个变换联系的孪生时空是相对静止的,是属于同一惯性系的。由于出现了虚根变换,可看出,在这几个变换中,当一个时空量度为实数时,其孪生时空有虚数量度。这种情况说明时空是复数形式的。因此运动速度也为复数。下面我们严格证明这个基本结论——“惯性时空是复时空”。

证明:用反证法,假设时空的量度是实数的。设k’,k是由洛变换联系的两个惯性时空,符合(3),做变换:

[x]=cit,[t]=x/(ci);[x’]=cit’,[t’]=x’/(ci)......(4)

经计算:[x]=a([x’]-v[t’]),[t]=a([t’]-v[x’]/(c*c)).

所以([x],[t]),([x’],[t’])也是由洛伦兹变换联系的惯性时空,

按假设,x,t,x’,t’,[x],[t],[x’],[t’]都是实数,但这与(4)矛盾。因此,惯性时空是复时空得证。

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