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双义相对性原理初探(下)

(2010-06-15 18:29:51)
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杂谈

双义相对性原理初探(下)

刘宇晖(liuyuhui30000@sina.com

三.“伽利略速度”与相对论校准速度的关系

我们称在原时伽利略变换中出现的速度[v]为伽利略速度,称在洛变换中使用的速度v为相对论校准速度,因为同一运动所花的时间也可以用原时度量,因此有与校准速度v相应的“原时速度”,记为V原 ,易知V原=v/根号下[1-(v方/c方)]。那么,在原时伽利略变换中的时间度量用的是原时,是否有[v]=V原呢?不会的。由原时伽利略变换的形式容易知道,“伽利略速度”的横向迭加是简单的算术和,而“原时速度”不可能是这样的。这说明,空间度规[x],[x’]与洛变换中的x,x’不同。

为找出[v]与v的关系,我们考虑一物体在横向的运动,设k’系相对k以v运动,在k’中,物体速度为w,在k中其速度为u,有u=(w+v)/[1+(wv/c*c)]。按照双义相对性原理的要求,这同一事件也满足原时伽利略变换,因此,从此变换的观点,k’相对于k的伽利略速度为[v],在 k’中物体的伽利略速度为[w],在k中为[u],由原时伽利略变换,易知有[u]=[v]+[w]。

我们定义无量纲速度为速度与c的比,因此,[u]/c=[v]/c+[w]/c,u/c=(w/c+v/c)/[1+(w/c)*(v/c)],后一等式可等价变形为:

(1+u/c)/(1-u/c)=[(1+w/c)/(1-w/c)]*[(1+v/c)/(1-v/c )]

因为反双曲正切函数的定义是Artha=1/2*ln[(1+a)/(1-a)],因此将等式两边取对数,即得

Arth(u/c)=Arth(w/c)+Arth(v/c)

这样就将相对论速度迭加等价的转化成伽利略速度的算术和相加的形式,因此:

[u]/c=Arth(u/c),[w]/c=Arth(w/c),[v]/c=Arth(v/c),或

u/c=th{[u]/c},w/c=th{[w]/c},v/c=th{[v]/c}

这就是伽利略速度与校准速度的函数关系。由双曲函数的基本运算,可得:

u原=c*(u/c)/根号下[1-(u/c)平方]=c*sh{[u]/c}

w原=c*sh{[w]/c},v原=c*sh{[v]/c}

sh为双曲正弦符号,ch为双曲余弦符号,

ch{[u]/c}=1/根号下[1-(u/c)平方]

sh{[u]/c}=(u/c)/根号下[1-(u/c)平方]=(u/c)*ch{[u]/c}

u/c=sh{[u]/c}/ch{[u]/c}=th{[u]/c}

因此相对论横向速度的“和”实质就是双曲正切的和(及差)的公式:th(a+b)=(tha+thb)/(1+tha*thb),

令a=[w]/c,b=[v]/c,则a+b=[w]/c+[v]/c=[u]/c,因此:

th{[u]/c}=(th{[w]/c}+th{[v]/c})/(1+th{[w]/c}*th{[v]/c})

即u/c=[w/c+v/c]/[1+w/c*v/c]

即u=(w+v)/[1+(wv/c*c)]

原时与校准时的关系t=T/根号下[1-(v/c)平方]=T*ch{[v]/c}

四.洛变换的双曲表示

仍以前例为例,在k’系中,物体在T’时间(用原时计量)走过路程x’,x’=v*t’=V原*T’=cT’*sh{[w]/c},在k系中,x=CT*sh{[u]/c},由原时伽利略变换,有

T=T’,[u]/c=[w]/c+[v]/c,由双曲正弦和余弦的和的公式:

sh{[u]/c}=sh{[w]/c+[v]/c}

=sh{[w]/c}ch{[v]/c}+ch{[w]/c}sh{[v]/c}

ch{[u]/c}=ch{[w]/c+[v]/c}

         =ch{[w]/c}ch{[v]/c}+sh[[w]/c]sh{[v]/c}

由前述得到的关系,

sh{[u]/c}=x/cT,sh{[w]/c}=x’/cT’,

ch{[w]/c}=t’/T’,带入双曲正弦和的公式,得:

x/cT= {1/根号下[1-(v/c)方]}*{ x’/cT’ +(t’/T’)*(v/c)}

消去c,T和 T’,就得到洛变换的空间变换部分。

由ch{[u]/c}=t/T,ch{[v]/c}=1/根号[1-(v/c)方],

sh{[v]/c}=(v/c)/根号[1-(v/c)方]

sh{[w]/c}=x’/cT’,ch{[w]/c}=t’/T’

将以上关系带入双曲余弦和的公式并消去c,T,T’就可直接得到洛变换的时间变换部分。

   因此洛变换可归结为双曲正弦与余弦的和公式,这一点研究者已有认识(就作者极有限的文献知识,我国学者陈淑愚在他的《物理空间》中明确的指出了这一点[1],其他中外研究者在此方面的工作本文作者不了解,若有遗漏,请见谅),本文作者认为,从双义相对性原理的角度出发可对此有更清晰的理解。

五.双义力学三定律及应用举例

在古典力学中,与牛顿三定律一致的是伽利略变换,由于相对论的工作,我们知道伽利略变换不能严格成立,这使得在相对论中牛顿三定律的概念衔接成为一个基本问题,在相对论中运用了闵可夫斯基的四维时空诠释,四维张量,四维力的较为复杂抽象的说法。但是,由双义相对性原理,与伽利略变换形式相同的原时伽利略变换是严格成立并与洛变换协调一致,因此可直接在原时伽利略变换的意义上直接建立与牛顿3定律相仿的双义力学3定律,表述如下:

第一定律(惯性定律):物体在不受力的情况下总保持其原来的静止或匀速直线运动态,速度由伽利略速度描述,经转换后也可由相对论校准速度描述。

第二定律:物体的“伽利略加速度”定义为a=d[v]/dT([v]为物体的伽利略速度,T为运动所花的原时),物体由于受力所获得的伽利略加速度与所受外力的大小成正比,与自身的质量成反比,a=F/m,或F=ma。

第三定律:作用力与反作用力大小相等方向相反。力的度规由第二定律定义。

由上述,立即得到:F=md[v]/dT。因为,dT=dt/ch{[v]/c},因此,F=mc*ch{[v]/c}d{[v]/c}/dt=mc*d(sh{[v]/c})/dt

=d{mv/根号[1-(v/c)方]}/dt

因此按照相对论的动量概念F=dP/dt,得到动量的相对论表达式P=mv/根号[1-(v/c)方],也可用伽利略速度和双曲正弦表达为P=mc*sh{[v]/c}。

我们计算动能

E=积分(Fds)=积分(Fvdt)

=积分mvc*d(sh{[v]/c})=积分:m(c方)*(v/c)*d(sh{[v]/c})

由于v/c=th{[v]/c},故

E=积分:m(c方)*dch{[v]/c}

=m(c方)/根号[1-(v/c)方]-m(c方)

与相对论一致而概念上由于引入了三定律而更清楚简洁。

本文讨论的最后一个例子是匀加速运动,在相对论中,如果只考虑校准时间,那么物理世界就根本没有匀加速运动,这是令人惊讶而不能满意的。但按照双义力学第二定律,匀加速运动是一种很基本的运动,即用“a= d[v]/dT=常数”简单的描述。由此我们计算一静止物体受恒力F的作用后的运动特点:由第二定律,受恒力作用,物体产生匀加速运动,a=常数=d[v]/dT,因此,

[v]=aT,dt=ch{[v]/c}dT,

t=积分[ch(aT/c)dT]=(c/a)*sh(aT/c)=(c/a)*sh{[v]/c}

=(v/a)/根号[1-(v/c)方]={v/[v]}*ch{[v]/c}*T

上式描述了匀加速运动中原时与校准时间及速度的关系。下面求运动路程s和瞬间校准速度v。

S=积分(V原dT)=积分:c*sh{[v]/c}dT

=积分:c*sh(aT/c)dT

=(c方/a)*(ch{[v] /c}-1)

由v/c=th{[v]/c},得v=c*th(aT/c)

以上讨论的结果在相对论中也可得到[2],但是此处的处理更为明了,意义更为清晰。

 

参考文献:

[1]《物理空间》,陈淑愚著,中国铁道出版社,1987年7月第一版。

[2]《相对论》,泡利著,凌德洪 周万生译,上海科学技术出版社,1979年6月第一版。

 

 

 

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