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校园里的“世界数学难题”

(2010-05-17 09:10:46)
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哥尼斯堡

一笔画

七桥问题

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赫曦台

校园里的“世界数学难题”

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当你来到“千年学府”、“百年名校”湖南大学,步入岳麓书院大门(见图1),拾级登上赫曦台(见图2),首先映入你眼帘的必是分别位于南北内壁上的“寿”、“福”二字(见图3、4)。很多导游会告诉你这二字分别为一笔写出,不少游客随后会去用手比划,比划后,“福”字似乎容易形成共识,“寿”字就众说纷纭了。那么,岳麓书院赫曦台上的“寿”和“福”二字真的是一笔写成的吗?这一问题其实就是所谓的“一笔画”问题,也就是:什么样的平面图形可以“笔不离纸”一笔画成(每条线都必须画出,且每条线只能画一次,不准重复)?这样的问题我们可以举出很多,如:奥运五环图能一笔画成吗? “田”、“串”、“品”字能一笔写成吗?

这一问题曾经是个“世界难题”,它的历史可追溯到“哥尼斯堡七桥问题”。现今俄罗斯的加里宁格勒是一座历史名城,18世纪称为哥尼斯堡。著名哲学家,古典唯心主义的创始人康德,一直生活在那里。德国著名数学家希尔伯特也出生于此地。哥尼斯堡城风景秀美,碧波荡漾的普雷盖尔河穿过该城;河中心有一座美丽的小岛,岛上商业繁荣,有7座桥横跨普雷盖尔河及其支流(如图5)。当地的居民曾经热衷于下面的问题:能不能找到一条路线,使得散步时不重复地走遍这7座桥?经过众多人的尝试失败后,有人写信求助于年轻的瑞士数学家欧拉。公元1736年,29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了一篇题为“哥尼斯堡的七座桥”的论文。他首先把岛和岸都抽象成“点”,把桥抽象成“线”,原来的地图就转化为由点和线段构成的平面简图(如图6、7),于是,哥尼斯堡七桥问题就相应地抽象成“一笔画问题”。他把组成平面图形的线段端点的交汇点称为顶点,将这些顶点分为两类:如果以某顶点为端点的线段有偶数条,就称它为偶顶点;如果以某顶点为端点的线段有奇数条,就称它为奇顶点。如果图形中任意两个顶点都有“一条路”连接起来,则称该图形是连通的;否则称为不连通的。欧拉给出了如下的一笔画定理“一个由线段构成的平面图形可以一笔画的充要条件是:它是连通的,并且奇顶点的个数是0或2。”

由上面的定理可知:赫曦台上的“寿”字不能一笔写成!“福”字能一笔写成!奥运五环图能一笔画成!不能找到一条路线,使得散步时不重复地走遍哥尼斯堡7座桥!

笔者在给本科生讲拓扑学的应用时,就曾以“哥尼斯堡七桥问题”作为例子,并以岳麓书院赫曦台上的“寿”和“福”二字是否是一笔写成引出问题,在课后带学生亲登赫曦台验证欧拉的一笔画定理。这给学生留下了深刻印象,既很好地加深了学生对一笔画定理的掌握,又使学生进一步理解了抽象的拓扑学知识的广泛应用性。其实,我们身边的许多事物都可以作为教学中的案例使用,或者可以与我们传授的知识联系起来,用心去发现并巧妙合理地使用它们,往往能在教学中起到意想不到的效果。













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