Max Sum Plus Plus

Problem Description

Now I think you have got an AC in Ignatius.L's "Max Sum" problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem.

Given a consecutive number sequence S₁, S₂, S₃, S₄ ... S_x, ... S_n (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ S_x ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = S_i + ... + S_j (1 ≤ i ≤ j ≤ n).

Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i₁, j₁) + sum(i₂, j₂) + sum(i₃, j₃) + ... + sum(i_m, j_m) maximal (i_x ≤ i_y ≤ j_x or i_x ≤ j_y ≤ j_x is not allowed).

But I`m lazy, I don't want to write a special-judge module, so you don't have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(i_x, j_x)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^

 

Input

Each test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S₁, S₂, S₃ ... S_n.
Process to the end of file.

 

Output

Output the maximal summation described above in one line.

 

Sample Input

 

Sample Output

 

Author

JGShining（极光炫影）

 

 

思路：

dp[i][j]表示前j个元素分成i段的最优解，同时这个最优解是由a[j]元素结束的。

转移方程是dp[i][j]=max{f[i][j-1]+a[j]，f[i-1][k]+a[j],(i-1<=k<j)} (i<=j<=n-m+i)

其中j的上下界的确定比较麻烦。现在分别解释上界和下界：

上界：dp[i][j]中，如果j=i-1，意思就是在前面i-1个元素中分成i段，这个是不可能实现的。

下界：如果m=n=4，这时dp[2][4]求出来了，意思是前面的四个元素分成了两段，当是还有两段要分，

      所以求出这个是没有意义的。当然求出来也不会影响结果，只是这样时间复杂度就提高了。

这是其中一个特例的状态转移表 m=4，n=6 ，-1 4 -2 3 -2 3

http://s6/middle/677a3eb30745beaf44be5&6901024 最大M子段和" TITLE="hdu 1024 最大M子段和" />

没有填的说明不用算。

很显然dp[i][i]=dp[i-1][i-1]+a[i],

所以对角线上面有：

http://s6/middle/677a3eb30745bec2b1de5&6901024 最大M子段和" TITLE="hdu 1024 最大M子段和" />
现在演示一下转移过程。如何求下图的框中的元素的值

http://s5/middle/677a3eb348b9742f2ad94&6901024 最大M子段和" TITLE="hdu 1024 最大M子段和" />
由下面涂色的元素的最大值加上a[3]=-2求的如下图

http://s3/middle/677a3eb348b974f98bc32&6901024 最大M子段和" TITLE="hdu 1024 最大M子段和" />

最大的是4，所以4+（-2）=2；框中填2;

假如框中的元素是dp[i][j],画圈的元素表示的是，左边那个是dp[i][j-1],上面的几个是dp[i-1][k](i-1<=k<j)} ，这个就是上面的转移方程的表格表示法。

 

 

其他细节如果理解上面的内容，就可以优化了

 

#include<stdio.h>
__int64 dp[2][1000001];
__int64 a[1000001];
__int64 b[1000001];
__int64 res;
int n,m;
__int64 Max(__int64 x,__int64 y)
{
    if(x>y)return x;
    else   return y;
}
int main()
{
   
//    freopen("a.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
    {
        int t=1;
        res=0;
        int i,j,k;
        for(i=1;i<=n;i++){b[i]=0;dp[0][i]=dp[1][i]=0;scanf("%I64d",&a[i]);}
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            dp[t][i]=dp[1-t][i-1]+a[i];
            __int64 max=dp[1-t][i-1];
            for(j=i+1;j<=n-m+i;j++)
            {
                max=Max(max,dp[1-t][j-1]);
                dp[t][j]=Max(dp[t][j-1],max)+a[j];
            }
            t=1-t;
        }
        t=1-t;
        res=-1111111111111;
        for(j=m;j<=n;j++)if(res<dp[t][j])res=dp[t][j];
        printf("%I64d\n",res);
    }

    return 0;
}