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连续统假设之谜

(2010-09-12 22:36:04)
标签:

连续统

杂谈

分类: 智慧之光
    1900年,在第二次世界数学家大会上,希尔伯脱先生提出了著名的二十三个未解决的数学问题,一百多年的时间过去了,有许多的问题业已获得了解决。然而,名列二十三个问题之首位的连续统假设之问题,迄今为止,仍被束之高阁,未能获得解决。原因是,时有哥德尔与科恩俩位先生,先后证明了“如果ZFC是协调的,则ZFC推不出非CH”和“ZFC推不出来CH,若ZFC协调”这两个截然相反的结论;换言之,哥德尔与科恩俩位先生都声称:连续统假设是不可能在ZFC公理系统中获得解决的。
     ZFC公理系统真的无法解决连续统假设吗?鄙人不才,却发现,事情并非如俩位先生所说,恰恰相反,在ZFC公理系统中,是完全可以解决所谓的连续统假设之问题。
     何以谓之为连续统假设?乃指:继自然数集N的基数阿列夫0之后,阿列夫1是否为实数集R之基数?由于实数集R是连续的,故而,将此一猜测则被谓之为连续统假设。如此,考察对象就在自然数集N与实数集R之间进行;在介于自然数集N与实数集R之间,若没有其它的无穷集合之基数,则连续统假设为真,反之,则连续统假设为假。
     于集合论创立之初,康托尔先生已然证明,自然数集N的幂集之基数等价于实数集R的基数。哥德尔与科恩俩位先生,正是基于康托尔先生这样的证明,从不同的角度上予以考察,各执一词。然而,这俩位先生的考察均有欠周之处,仅仅是对部份的情况予以了探索;若是将哥德尔与科恩俩位先生所考察的相互融合在一起,那么,连续统假设的结论正好与俩位先生所说的相反:如果ZFC是协调的,则ZFC完全可以推出CH。

     关键词:商集合 极限序数 共尾序数

     我们知道,所谓的ZFC系统是带有选择公理的集合论之公理系统,而所谓的选择公理则是以测度理论为依据,归纳可测集合体中所存在的函数。所以,若自然数集N的幂集是一可测集合体,那么,其必定是可以用选择公理归纳出一个函数,以阐述自然数集N的幂集中的情况。
     哥德尔先生利用直积集合的方式,以J(x,y)函数对其中的序数予以归纳,发现,所归纳的函数可以同态映射于自然数集N上;但是,哥德尔先生并没有再作进一步的探索,仅仅是以此为依据,就得出了“如果ZFC是协调的,则ZFC推不出非CH”之结论。科恩先生是以自然数集N的幂集中的元素为依据,且根据【可数无穷多个可数集合的并集合,仍然是一可数集合。】①之定理,认为,于自然数集N的幂集中,存在着一种不可数的子集,而这样的子集是选择公理所不能归纳的,故而,得出“ZFC推不出来CH,若ZFC协调”之结论。
     显然,哥德尔与科恩俩位先生,各自都只对自然数集N的幂集考察了一半,都只圈定了自己的所推出的模型,且相互排挤着。如果这俩位先生能将彼此对立的观点融合在一起,那么,对自然数集N的幂集之内部的情况,就可以一目了然。
     我们知道,自然数集N是可数的,但自然数集N的幂集却是不可数的;所谓的自然数集N的幂集,所指的是【自然数集N的所有子集合所组成的】①那个集合。无疑,开始时,自然数集N的幂集所归纳的元素也是可数的,数着数着,却变成了不可数的;由可数的变为不可数的,可知,于自然数集N的幂集中必存在着转化之过程。只要找出了这突变的原因,也就能知晓其所以然。但是,哥德尔与科恩俩位先生都没有从量变到质变这方面予以考察,就草草地就收了场。显然,欲知这由量变到质变之过程,我们必须重新对自然数集N的幂集予以考察。
     我们知道,自然数集N的幂集有元素:
         {φ} {1} {2} {1,2} {3} {1,3} {2,3} {1,2,3} …
当N→∞时,幂集具有不可数的性质。如果此集合是可测的,则必须满足Jordan可测集合体的四要素:【Ⅰ 若E1,E2∈T,则E1∪E2∈T;Ⅱ 若E1,E2∈T,则E1∩E2∈T;Ⅲ 若E1,E2∈T,又E1<E2,则E2-E1∈T;Ⅳ 若E1,E2∈T,E1∩E2=φ,则v(E1∪E2)=v(E1)+v(E2)。】②(符号“<”表示包含)。根据Jordan可测集合体的条件Ⅳ,则必须用商集合的概念来划分自然数集N的幂集。所谓的商集合,意指对集合X之划分,有:【⑴ A,B∈T→A=B or A∩B=φ, ⑵ {∪A∈T}A=X。】②若划分满足这样的条件,则集合中的“每一元素属于且仅属于某一不空的子集合”,如此,则谓之是按等价关系而对集合所作的划分;如集合满足这样的等价关系,称之为商集合。显然,只要按商集合的概念来划分自然数集N的幂集,则该集合满足Jordan可测集合体之要求。
     根据集合论的正则公理,必须有确定的性质作为划分的依据;在自然数集N的幂集中,我们以元素中的最小自然数作为划分之依据。如此,我们就可以获得一系列的商集化子集:S(1),S(2),S(3),S(4),S(5),S(6),S(7),…,其中,S(n)归纳了幂集中最小自然数为n的一些元素。例如,S(1)有元素:
{1}
{1,2}
{1,3} {1,2,3}
{1,4} {1,2,4} {1,3,4} {1,2,3,4}
{1,5} {1,2,5} {1,3,5} {1,4,5} {1,2,3,5} {1,2,4,5} {1,3,4,5} {1,2,3,4,5}
……
再如,S(2)有元素:
{2}
{2,3}
{2,4} {2,3,4}
{2,5} {2,3,5} {2,4,5} {2,3,4,5}
{2,6} {2,3,6} {2,4,6} {2,5,6} {2,3,4,6} {2,3,5,6} {2,4,5,6} {2,3,4,5,6}
……
等等;以此类推。如此归纳,显然,诸子集S(n)相互间并无交集,合乎商集合的划分之要求。
     从以上的划分中可以看出,其与哥德尔先生的可构成性定理中的J(x,y)函数如出一辙,只不过,这里是以商集化子集S(n)中的元素同态映射于自然数集N上,而哥德尔先生是以合乎要求的元素建构于J(x,y)函数中,然后,再同态映射于自然数集N上。总之,均是以自然数集N为同态映射之“标的”。如果仅仅有这样的“标的”,而不再作进一步的研究,无疑,这样的“标的”是没有任何用处的。谁都知道,自然数集N的幂集中的元素是由自然数集N的子集所构成,其元素肯定是可以同态映射于某一自然数n上,这样的“标的”,若是仅以自然数集N为最终目的,也只是作了一次循环论证,毫无意义;但哥德尔先生所做的工作正是作着这样的论证。
     科恩先生的论证无疑比哥德尔先生的论证深入了一步,其是从极限序数的角度上予以研究的。由于自然数集N的幂集的基数大于自然数集N的基数,无疑,若以序数而论,自然数集N的幂集的极限序数大于自然数集N的极限序数。凡有极限序数者,皆有共尾序数,自然数集N的幂集也不能例外。由于自然数集N的幂集之基数是不可数的,也就是说,其极限序数是不可数的,显然,该幂集中的共尾序数也是不可数的。如此,在自然数集N的幂集中,就存在着不可数的元素,而这样的元素乃是无法以自然数集N的子集来表达的,因为,“可数无穷多个可数集合的并集合,仍然是一可数集合”。故而,科恩先生认为,“ZFC推不出来CH,若ZFC协调”。但是,科恩先生忘却了“由量变到质变”的突变之过程,必须是在事件体的内部而实行的;应该说,科恩先生所进行的研究,乃是半途而废了。
     对于共尾序数,集合论是这样定义的:【0<α,α为一极限序数,我们说α的共尾数cf(α)是指最小的序数β,使得存在着一函数f:β→α,具有sup{f(γ)|γ<β}=α。】①换言之,共尾序数cf(α)是以极限序数α为极限。【对于一基数ω_α,如果有cf(ω_α)=ω_α,则称ω_α是正则的;如果cf(ω_α)<ω_α,则称ω_α为奇异的。】①此定义说明,如果集合中的共尾序数cf(ω_α)小于极限序数ω_α,那么,该极限序数ω_α是奇异的。由此推理,则有:【对于每一序数α,都存在一序数β>α,使得ω_β是奇异的。】①之定理。
     在自然数集N的幂集中运用序数之概念,对于每一商集化子集S(n),根据康托尔先生的对角线法,均具有可数集之基数,它们的极限序数皆为无穷集合中最小的序数ω;显然,这样的序数若共尾于自然数集N的幂集的极限序数ω_α,均是小于极限序数ω_α的。可知,在自然数集N的幂集中存在着可数的序数ω之奇异的序数。那么,如何求取这样的奇异的序数呢?很简单,只要将哥德尔与科恩俩位先生的观点结合起来,立竿见影。
     因为,在自然数集N的幂集中,每一商集化子集S(n)都具有可数集的基数,所具有的极限序数皆为ω;然而,在自然数集N的幂集中,存在着一些并非是商集化子集S(n)的元素,这样的元素对于商集化子集S(n)而言,无疑,是奇异的。根据共尾序数的定理,这些以自然数集N的幂集的极限序数ω_α为极限的共尾序数,皆大于可数集的序数ω;换言之,以这些大于可数集的极限序数ω的共尾序数为序数的无穷集合的基数,皆大于可数集的基数,均是不可数的。
     由此可知,自然数集N的幂集中的突变存在于诸商集化子集之间;于商集化子集S(n)内是可数的,而于其它商集化子集S(n±i)中的元素,相对于S(n)而言,是不可数的。由此,对自然数集N的幂集予以商集合的划分,可以从定性的角度上,得知从可数的突变为不可数的过程;但这样的定性并未量化。
     我们知道,某集合若有元素s个,则它的幂集就有元素2^s个;自然数集N的幂集也不例外,乃以2^N作为其中的元素之个数的标识。显然,若某集合有元素s-1个,则它的幂集之元素有2^(s-1)个。从2^s-2^(s-1)=2^(s-1)中可知,在原集合中由s-1个元素增加至s个元素,于幂集中就增添了2^(s-1)个元素;这就是说,原集合中任何一个元素在幂集中的组合元素都占有的比例为2^(s-1)/2^s=1/2。但这样的组合有交集,必须用商集合的概念予以分割。
     前面,我们曾以最小自然数为依据,对自然数集N的幂集中的元素予以划分。显然,商集化子集S(1)占有1/2之比例;商集化子集S(2)由于少了一个自然数1,因此,它所占有的比例为2^(s-2)/2^s=1/4;商集化子集S(3)由于少了二个自然数1与2,则它所占有的比例为2^(s-3)/2^s=1/8;以此类推,可知,商集化子集S(n)所占有的比例为1/(2^n)。我们知道,商集化子集彼此间并无交集,如此,我们就可以按照概率论中的叠加原理,将诸商集化子集的概率相加:
         1/2+1/4+1/8+1/2^4+1/2^5+…+1/(2^n)+…→1
从这概率上也可知,自然数集N的幂集等价于实数集R。
     商集化子集S(1)的元素占有了自然数集N的幂集之元素的1/2,那么,其余的商集化子集的概率之和也只有1/2之比例了。如此,我们可以作另一类的划分:以商集化子集S(1)的元素为一方,以非商集化子集S(1)的元素为另一方。由于商集化子集S(1)中的元素可数,且相对于商集化子集S(1)而言,其它商集化子集中的元素皆是奇异的;因此,在自然数集N的幂集中,一半的元素是可数的,另一半的无素是不可数的。若应用于实数集R中,则是,有理数占有了实数的一半,另一半则是无理数。
     若对自然数集N的幂集中的元素以序数而述之,则是,商集化子集S(1)的极限序数为ω,其后则以ω+n而序那些相对于商集化子集S(1)是奇异的元素;实数集R的极限序数ω_α则是它们的极限。若用集合的基数表之,则是,商集化子集S(1)的基数是阿列夫0,其后则是以阿列夫1、阿列夫2、…等而表述那些相对于商集化子集S(1)是奇异的元素,而实数集R的基数是这些基数中最大的。显然,若是单纯地去数那些相对于商集化子集S(1)是奇异的元素,由于是可以与可数的商集化子集S(1)作一一对应,因此,也是可数的。由此可知,在自然数集N的幂集中,若以可用自然数来数的那些可数的元素为第一层,则于第一层为不可数的元素,乃是以ω+n来数的第二层的可数之元素;通常所说的阿列夫n,也就是在数着这些不可数的元素。
     实数集R的基数是自然数集N的幂集的极限序数,那么,继实数集R的基数之后有无更大的基数?答案是否定的。在自然数集N的幂集的基础上,再予以幂集,构成其中的基本元素仍是自然数;例如,{{1} {2}} {{2} {2,3}} …等等。显然,我们仍可用元素中的最小自然数为划分之依据,得到诸如S(1) S(2) S(3) …之类的商集化子集S(n)。若用概率而述诸商集化子集所占有的比例,依旧是:
         1/2+1/4+1/8+1/2^4+1/2^5+…+1/(2^n)+…→1
与实数集R同构。
     综上所述,可知,继可数集的基数阿列夫0之后,阿列夫1并非是实数集R的基数,所谓的连续统假设并不成立。

 

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①张锦文 集合论与连续统假设浅说 上海教育出版社 1980.06.
②[日本]河田敬义 集合.拓扑.测度 赖英华译 上海科学技术出版社 1961.08

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