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[转载]数学文化之旅132:数学归纳法及其历史

(2019-03-09 11:51:03)
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分类: 数学杂谈

    数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
  最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成立,这种方法是由下面两步组成:

  递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。

  递推的依据: 证明如果当n = k时成立,那么当n = k + 1时同样成立。

  这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的,然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了,那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。

  或许想成多米诺效应更容易理解一些,如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌,那么如果你可以确定:

  第一张骨牌将要倒下,及只要某一个骨牌倒了,与他相临的下一个骨牌也要倒,那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。

  这样就确定出一种递推关系,只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下:

  (1)第一块骨牌倒下

  (2)任意两块相邻骨牌,只要前一块倒下,后一块必定倒下

    这样,无论有多少骨牌,只要保证(1)(2)成立,就会全都倒下

    基本步骤
  (一)第一数学归纳法:
  一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤:
  (1)证明当n取第一个值时命题成立;
  (2)假设当n=kkn的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。
  (二)第二数学归纳法:
  对于某个与自然数 有关的命题
  (1)验证 n=n0 P(n)成立;
  (2)假设 no P(n)成立,并在此基础上,推出 P(k+1)成立。
  综合(1)(2)对一切自然数 n(>n0),命题P(n)都成立;
  (三)倒推归纳法(反向归纳法):
  (1)对于无穷多个自然数命题 Pn)成立;
  (2)假设P(k+1)成立,并在此基础上推出P(k)成立,
  综合(1)(2),对一切自然数 n(>n0),命题P(n)都成立;
  (四)螺旋式归纳法
  Pn),Qn)为两个与自然数 有关的命题,假如
  (1P(n0)成立;
  (2)假设 P(k) (k>=n0)成立,能推出Q(k)成立,假设 Q(k)成立,能推出 P(k+1)成立;
  综合(1)(2,对于一切自然数n>=n0),P(n),Q(n)都成立;
  应用
  1.确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。
  2.数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。
  3.证明数列前n项和与通项公式的成立。


  历史

    已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolycos Arithmeticorum libriduo (1575)Maurolycos 利用递推关系巧妙的证明出证明了前 n 个奇数的总和是 n^2,由此揭开了数学归纳法之谜。

    无论是毛罗利科还是帕斯卡.也无论是伯努利还是其后的效学家们,虽然都在不断地使用效学归纳法.但在很长的时期内并未给他们的方法以任何名称.只是由于沃利斯以及雅各布·伯努利的工作,才引进了归纳法这一名称.在名称上迈出重要一步的是英国数学家德摩根(Ade Morgan18061871)1838年在伦敦出版的《小百科全书》(Penny Cydopedia)中.德摩根在他的条目“归纳法(数学) 里建议使用“逐收归纳法 (Succesiveinduction).但在该条目的最后他偶然地使用了术语数学归纳法 ,这是我们所能看到这一术语的最早一孜使用.
  皮科克和德摩根的名称后来为英国数学家托德亨特(ITodhunter1B2O1884)的《代数》所采用并因而得到广泛传播.他在该书中介绍这种证明方法时,使用了两个名称 “数学归纳法”和证明归纳法 ,但该章的题目却用的是前者.这两个名称后来又为英国逻辑学家杰文斯(wSJevons18351882)的《逻辑初等教程》(ElementaryLessons in Lo 1882)以及菲科林(JFicklin)的《完全代数》(CompteteAlgebra1874)所使用,后者宣称是受惠于托德亨特.随着时间的推移,后来的通用教科书的作者们,例如英国教育家、数学家克里斯托(chrysta11851-1911)的《代数》第2卷以及霍尔(HSHal1)和纳特(sRKmgM)合著的《代数》(1898)、奥尔迪斯(wSAktis)的《代数教科书》(Textbook 0f Algebra1887)等都只用数学归纳法,而不再使用“证明归纳法”。

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