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[转载]均值不等式的变化与应用(张诗婷)

(2014-10-11 18:28:47)
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分类: 高一数学

均值不等式的变化与应用

高三(1)班 张诗婷

一、定义

Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。

其中:

1、调和平均数:

clip_image001

2、几何平均数:

clip_image002

3、算术平均数:

clip_image003

4、平方平均数(均方根):

clip_image004

 

 

 

 

 

 

 

 

二、当n=2时,可推得:

clip_image005 

 

 

1、针对  clip_image007,提出以下变式例题。

 

 

例题(1 ——变换b为常数

对任意a >0 , 求证:clip_image009 

证明:   根据不等式,可得:clip_image011 

移向可得:clip_image009

 

 

 

 

 

 

例题(2 ——变换b,使不等式中只有一个变量

       对任意a >0 , 求证: clip_image013

 

 

证明:  根据不等式,可得:clip_image015 

        a.>0 , 可得:clip_image013 

 

 

例题(3  ——使ab 面目全非

        clip_image018,求证clip_image020

证明:   clip_image022clip_image024 

clip_image026

 

 

因此,clip_image028

所以,clip_image020

2、针对clip_image030,提出以下变式例题。

 

 

例题(1 —— 隐藏条件 a+b 为常数

       对任意x>0,求证:clip_image032

证明:clip_image034

                                                                                                             

例题(2 —— 隐藏条件 ab为常数

 

 

       对任意x>0,求证:clip_image036>-1

证明:clip_image038>-1

 

 

例题(3 —— 在平面几何中应用

 

 

       如图 ABC CDABABCD的两倍 y=tanA+2tanB 要最小;试确定D点的位置,并求y的最小值。

 clip_image040

解:

clip_image042

 

 

 

 

 

 

3、针对clip_image044,提出以下变式例题。

 

 

例题(1 —— 隐藏条件 a+b 为常数

     已知点AX,Y)在椭圆clip_image046上,求点A到椭圆两焦点距离平方和的最小值。

解:设A到(-10)的距离为a,到(10)的距离为b

clip_image048

所以 clip_image050

clip_image052

 

 

例题(2 ——隐藏条件 clip_image054 为常数

     直角三角形ABC中,clip_image056,斜边a=6,求直角边b+c 的取值范围。

解:clip_image058

clip_image060

clip_image062

那么 clip_image064   并且  a< c+b

所以 6<clip_image064

 

 

 

综上所述,在利用均值不等式求解的问题中,常常会将条件隐藏在题目中,或将变量复杂化,在熟悉不等式运用的同时,更要求学生能从题目中发掘隐藏的信息,将复杂的问题简单化(可以利用换元等方法),而这些能力的提升是建立在一定量的积累和充分的思考上的。

 

 

 

 

 

 

二、当n=k时,得:

clip_image067

 

 

从形式上来说,k>2时的不等式显得复杂,但其根本思想是一致的,就以某道题为例:

已知正数clip_image068clip_image069clip_image070clip_image071

求证:clip_image072.

解: clip_image073

clip_image074

clip_image075

当且仅当clip_image076时取到等号,则clip_image077.    

 

题目的形式虽然变得复杂,但根据其本质思想,只要思路清晰,目光不被众多未知数所充斥,还是能够作出解答。对于证明多变量的不等式,要求我们以不变应万变,“不变”并不是指方法的不变,而是对于不等式证明的思维不改变,从而具体问题具体分析。

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