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QR分解

(2010-04-28 09:53:30)
标签:

杂谈

分类: matlab

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QR分解法是三种将矩阵分解的方式之一。这种方式,把矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的积。QR 分解经常用来解线性最小二乘法问题。QR 分解也是特定特征值算法QR算法的基础。

目录

定义

实数矩阵 AQR 分解是把 A 分解为

这里的 Q正交矩阵(意味着 QTQ = I)而 R 是上三角矩阵。类似的,我们可以定义 A 的 QL, RQ 和 LQ 分解。

更一般的说,我们可以因数分解复数 m×n 矩阵(有着 mn)为 m×n 酉矩阵(在 QQ = I 的意义上)和 n×n 上三角矩阵的乘积。

如果 A非奇异的,则这个因数分解为是唯一,当我们要求 R 的对角是正数的时候。

QR分解的求法

QR分解的实际计算有很多方法,例如Givens旋转Householder变换,以及Gram-Schmidt正交化等等。每一种方法都有其优点和不足。

Gram-Schmidt正交化

参见Gram-Schmidt正交化

MatLab

MATLAB以qr函数来执行QR分解法,其语法为

[Q,R]=qr(A)
其中Q代表正规正交矩阵,
而R代表上三角形矩阵。

此外,原矩阵A不必为正方矩阵; 如果矩阵A大小为n*m,则矩阵Q大小为n*m,矩阵R大小为m*m。

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