三角形内一点到各顶点距离最短的证明 (2010-06-18 14:42:51)转载标签： 费马点极值点pb顶点匈牙利  

(费马问题)在三角形ABC内找一点P，使其到三个顶点的距离和是最小。（P称为费马点）

这是费马给伽利略的学生和助手托里析利（E. TOrricelli 1608～1647）考虑的一个几何难题。 

托里析里在对物体运动，流体力学及大气压力有研究，他发明水银柱气压计，由此证明大气是有压力。他对费马的这个问题给出了几何解决方法，先来介绍五十多年前一位英国人霍夫曼（J.E. Hofmann）以及匈牙利数学家笛波·伽累依（Tibor Gallai）先后想出同样的一个解决方法。霍夫曼及伽累依是怎样考虑费马的问题呢？

先假设△ABC没有一个角大于120°。在△ABC内任取一点P，如图，向外作一正△PBP' 与C隔于BP，作正△ABC′ 与C隔于AB，容易看出，∠1=∠2，A'B=AB，P'B=PB，则△APB≌△A'BP'，进而PA=P'A'。即PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC。A'和C是定点，若要使距离和最小，则需要P'P在A'C上。此时，∠3=180-60=120，则∠4=∠3=120。同理可证其余各角都是120。

这就导出一则画法：向△ABC外作正△ABA'，作其外接圆交A'C于P，P就是费马点。 

又或者向△ABC外任作两正△,把它的顶点连接相对的三角形顶点,产生的2条连线交点为费马点.

以下是托里析利的方法：以AB，AC为边向外作两个正三角形其外接圆交于A和P。过A的PA的垂线、过B的PB的垂线、过C的PC的垂线交成△XYZ，如图。按作图方法知道∠APB=120，但∠PBX=∠PAX=90，于是∠X=60，同理∠Y=∠Z=60，则△XYZ是等边三角形。假定有一个不与P重合的点P'，过P'向这个等边三角形引垂线P'A'、P'B'、P'C'，注意到直角三角形斜边大于直角边，又考虑一下维维亚尼定理(正三角内的点到三边距离之和为定值)，于是

 P'A +P'B +P'C

>P'A'+P'B'+P'C'

=PA +PB +PC 

其最小性得证。于是也导出一种画法：以AB、BC为边向外作一个正三角形，再作其外接圆，两个圆就交于费马点。很巧在托里析利 300 年后的匈牙利著名数学家李兹（ Frederick Riesz ）也给出同样的方法。

现在再考虑在△ABC中有一个内角(比如说A)≥120°时，极值点P在哪里．(这时，三角形内没有费马点)

如图4－37所示，设P为△ABC内任一点，将△APC绕A点旋转，使C转到BA延长线上的C′点，P转到P′．这时的旋转角度为18O°-A≤60°，所以PP′≤AP．于是PA+PB+PC≥BP+PP′+P′C≥BC′=AB+AC．上式等号当且仅当P点与A点重合时成立．这就是说，当A≥120°时，极值点P是顶点A．综上可知，当△ABC的每一内角均小于120°时，使PA+PB+PC最小的极值点是三角形的费马点；当有一个内角≥120°时，极值点是最大角的顶点．

在物理有一个这样的“最小势能原理”（也称为狄利克雷原理 Principle of Dirichlet ）：“一个物体或系统当处于平衡位置时，它的势能是最小。如果一个物体或系统当所处的位置，使它的势能是最小，那么这点就是它的平衡位置。”因此我们可以利用这原理协助解决费马难题。

首先用铁线作和原三角形同大小的三角形，在每个顶点放上一个滑轮。每个滑轮穿过一个重量为 m 的重物。假定吊物体另外一端的线都绑在一起，这结点称为 P 。（如图八）现在让重物重挂下来，这结点最初会移动，可是过一会儿它就不动了，这时正是整个系统处于平衡状态。这时你看那结点的所在位置就是所要找的“费马点”。为什么会如此呢？假定三角形与地面的距离是 h 。滑轮 A ， B ， C 挂的重物与地面距离分别为 a ， b ， c 。绑重物的所有绳子长是 t 。

现在令整个系统的重心是 G ，并且距离地面是 r 。则系统的势能是 m · a+m · b+m · c= （ 3m ）· r

r=(a+b+c)/3

在平衡位置时，重心最靠近地面，因为这样它的势能才是最小，因此此时 a+b+c 也是最小。

吊在滑轮下的绳子共长（ h-a ） + （ h-b ） + （ h-c ）即 3h- （ a+b+c ）。因此在△ ABC 里的平面绳子的长是等于： * 

s=t-[3h- （ a+b+c ） ]= （ t-3h ） + （ a+b+c ）。

t-3h 是一个固定数， s 的长最小当且仅当 a+b+c是最* 小。因此只有在系统平衡时，结点的位置必须是“费马点，才能使到 a+b+c 为最小。

你看我们用物理方法轻而易举的找到“费马点”。

现在在铁三角形里的结点 P 受到三个相等的拉力拉。从物理学我们知道：“平面三力成平衡，那么三力线或者平行，或者交于一点。”因此如果我们用 f 表示这三个方向量，这三个向量是形成一个正三角形，而且其向量和要等于零。

由此可知这些绳在“费马点”时所张开的角度是 120 °。