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[转载]“数学小品”又七则

(2014-03-18 21:40:09)
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分类: 数学欣赏
数学小品(八)

周末到家后,好久不见的小侄女对我格外亲切。我回自己的房间看书,她也跟着跑了进来。

小侄女:大大,抱抱。

我:好,好,好,来。

我边说边伸手把她抱在自己的腿上。玩了一会,她开始对我的眼镜感兴趣。

小侄女:大大,我要眼镜,眼镜。

我:这个小孩子不准玩。

我一手抱着她,一手护着眼镜。小侄女却不依不饶,伸手上去就抓。我难以招架,但急中生智。

我:别闹了,你看爸爸要去街上买糖了。

这话真灵。小侄女听说爸爸要走,立刻不要眼镜了,挣扎着下去。可她仔细听了一会儿,就识破了“诡计”,又闹着夺我的眼镜。

小侄女:大大,你骗人,爸爸没有走。

我:你怎么知道他没有走?

小侄女:爸爸没有走,还在客厅讲话啦!我也没有听见摩托车响。

后语:如果爸爸要去街上,就不会听到他在客厅讲话的声音,而且还会听到摩托车的声音,但现在既听到了爸爸讲话,又没有听见摩托车响,所以爸爸没要去街上。

我被小侄女的推理方式所震撼:先假设“爸爸要上街”,然后根据生活常识得到了2个结论:①不会听到爸爸在客厅里讲话;②会听到摩托车响。但事实是这两个结论均与当时的情况相矛盾,所以假设不成立,即“爸爸没有准备上街”。这不就是数学里的反证法吗?!

反证法(Proofs by Contradiction,又称归谬法、背理法),是一种论证方式,它首先假设在原命题的条件下,结论不成立,然后通过演绎推理得到明显矛盾的结果,从而下结论说假设不成立,则原命题得证。

反证法可以追溯到苏轼的一首《琴诗》:

若言琴上有琴声,放在匣中何不鸣?

若言声在指头上,何不于君指上听?

这首诗很久不被人重视,后来有人注意到了,却是一片斥责声。清代才子、文学批评家纪晓岚说:“此随手写四句,本不是诗,搜集者强收入集。”他甚至以质问的口气说:“千古诗集,有此体否?”

纪晓岚不是数学家,当然理解不了这首诗的妙处。全诗在探讨这样一个问题:美妙的琴声是从哪里发出来的呢?此诗共4句,2次反问,实际上是做了两次否定的回答:①琴声不是从琴上来的;②琴声也不是从指头上来的。并且给出了证明,恰恰用的就是反证法!

若言琴上有琴声,放在匣中何不鸣:假设是从琴上来的,那为什么把琴放在匣子中就听不到琴声了呢?所以假设不成立,即琴声不从琴上来。

若言声在指头上,何不于君指上听:假设琴声从指头上来,那人们为什么不伏在弹者的指上听呢?所以假设不成立,即琴声也不从指上来。

唐朝是中国古代诗歌的一座珠穆朗玛峰,令后人可望而不可及,但宋诗的说理、议论也不失为一种绝妙之特色。更不料的是诗歌竟和数学扯上了联系。

数学小品(九)

 

吃过午饭后,就着好天气到外面走走。

我:你说人有多少根头发?

何:不知道。

我:估计一下,大概有多少根?

何:一亿根?

我:有那么多吗?估个数量级吧,10的几次方?

何:猜不出来。

我:好吧。那你说有没有两个人的头发是一样多的?

何:应该不会吧?

我:是吗?你再好好想想。

后语:一个正常人的头顶上到底有多少根头发呢?其实我也不知道。还是来听听科学家给我们提供的可靠“情报”吧:一个健康人的头发大约在10万根左右。赶快把你张大的嘴巴合起来,没错,的确是10万根!

并没有某些人想象的那么多,不过10万对于头顶那片“区区之地”来说也确是一个天文数字了。那有没有2个人的头发根数是一样的呢?不要和我抬杠:当然有啊,找两个“秃子”来,他们的头发根数都是0,所以相等。

排除掉这种特殊的情形,那到底有没有呢?我们可以这样考虑:人的头发最少有0根,最多不会超过10万根,把头发根数相同的人关到一个大房间里去,总共需要不到10万个房间,现在全世界有60多亿人,根据抽屉原理,总有一个房间里的人数将超过[6×109-1)÷105]+16万人。也就是说,对于全世界,至少有6万人,他们的头发根数一样多呢!而对于中国呢?则大约至少有1万人的头发根数一样多!

人的头发很多,如果2个人的头发根数一样多,该是一件巧合吧!岂料通过数学原理的说明,巧合也成为了必然!

这就是万千世界的“大”与“奇”!

最后简单介绍一下抽屉原理。抽屉原理又叫鸽笼原理或信箱原理,通俗一点讲就是:3只苹果放入2个抽屉,则必有1个抽屉里至少有2只苹果。这不是显然吗?其一般形式是:把m个东西分成n组,如果m大于nk倍,那么必有一组包含了不少于(k+1)件东西。

科普小链接:

一般认为,正常成年人的头发总数约为8万—10万根不等,平均每平方厘米内约有150根,每根头发每天大约长0.3毫米,而每天掉落的头发大约是60-100根。不同部位的头发有疏、有密,种族和地域上也有差异,据资料记载,金发的平均14万根/人,红发的9万根/人,棕发109000根/人,黑发108000根/人。人的头发也有生命周期,就像一个人有少年、中年和老年一样,正常情况下,头发的周期是26年,所以人们的头发会脱落,但在脱落以后还会再长出来。
   
另外,健康的头发非常坚韧,1根头发能吊起200500克重的东西,把头发穿过咖啡杯把内,可以很容易地把杯子提起来。

数学小品(十)

 

教学楼前碰到了A同事。

我:喂,看见贾老师了吗?

A:哦,刚才在2楼走廊里碰到他了。

我:那现在呢?

A:现在不好说,你去找找吧,肯定还在楼里。

我:好,谢谢。

后语:我向A同事询问贾老师的去处,他只断言贾老师在教学楼里,却不能告诉我确切的位置,这真是活脱脱一个现实版的《寻隐者不遇》。唐代贾岛有诗云:

松下问童子,言师采药去;

只在此山中,云深不知处。

这是一首问答诗:苍松下,我询问隐者的徒弟,他说师傅采药去了;哪里采药呢?就在这座山中,但林深云密,具体也不知道在哪里。这和某些科学论断是极其相似的:只确定某事物或某现象的存在,却不能指出其存在的地方。数学中,把描述如此情形的定理叫做纯粹存在性定理

最简单的是抽屉原理:M个苹果放入N个抽屉里(MN),那么一定存在一个抽屉,其中有2个以上的苹果。这里只知道存在这么一个抽屉,具体是哪一个?我们无法确定。

再如必修1中的零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[ab]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么,一定存在c∈(a,b),使得f(c)=0。也只是断言零点的存在,却没有告诉c究竟在哪里,至于具体的寻找过程则是二分法的内容。

其他的还有代数基本定理、微分中值定理和积分中值定理等等,也都是数学定理中纯粹刻画存在性的典型。

贾岛并非数学家,但是细细品味,觉得诗的意境,简直就为数学而作!老药师在哪里?云深不知处,但是他确实是在山中,即一定存在着。这应该是在人文意境上,对存在性定理最美丽动人的描述。

数学小品(十一)

 

买: 白菜多少钱一斤?

卖:一块五一斤。

买:五块钱三斤,卖不卖?

卖:白菜哪有卖过这价钱?

买:不卖算了,不买了。

卖:哎,算了,卖给你了。该收摊儿了,卖完回家。

 这是高中时,坊间流传的关于我高三数学老师买菜的一个故事,权博大家一笑,下面言归正传。

 早晨,菜市场。

买: 哎,这白菜可不咋好啊。喂,卖菜哩,这白菜多少钱一斤呀?

卖:两块,两块。这可是大棚菜,大冬天上哪儿找真好的白菜呀!

买:咦,啥大棚菜呀,五块钱三斤,中不中?

卖:白菜啥时候也没有卖过这价儿!你再瞅瞅吧!

 买:不卖算了,再转转去。

 买菜的转了一圈儿,货比三家之后又回来了。

 买:喂,卖菜哩,刚才那边儿都卖五块钱三斤哩,我瞅没有你这白菜好。中了买三斤,中不中?

 卖:伙计,白菜真卖不了这价儿。哪儿五块钱三斤你去哪儿买吧!

 买:咦,你这卖菜哩咋真死劲呀!不卖算了,那我就买五块钱哩,你给我称吧!

 卖:……

 显见,买菜的是个穷人,不然也不会如此讨价还价!看完对话,不得不佩服买菜者的买菜策略:“白菜可不咋好啊”,想买白菜,却先贬低白菜,这叫先抑,只因为自己想低价买进,“五块钱三斤,中不中”;卖菜者却坚持“两块,两块”的底线不动摇,并劝买菜者“你再瞅瞅吧”,显然是对自家的菜信心满满,不怕你去比,比吧,比完你还得回来。果不其然,买菜者又回来了,他有没有货比三家呢?应该有!因为他的目标是找最便宜的白菜!那有没有找到呢?找到了,就是“五块钱三斤”的白菜,“刚才那边儿都卖五块钱三斤哩”,但他却没买,又回来了,这不自相矛盾么?!买菜者的解释是“我瞅没有你这白菜好”,眼看贬低不行,那我就赞美,这是后扬。前后连起来看,就会发现买菜者实际上唱了一出儿“先抑后扬”的戏。其实,我们可以大胆设想:买菜者根本就没有碰到“五块钱三斤”的白菜,这只是他理想中的白菜,但因为十分想买,才不惜编出刚才的谎话!这个设想是有其合理成分的,因为连卖菜的都不信,“哪儿五块钱三斤你去哪儿买吧”。好一番折腾,买菜者还是没能如愿,最终也不得不说“我就买五块钱哩,你给我称吧”。

 这白菜买的真是一波三折!如果是富人来买,就不会这么罗嗦,对话也简单得多。

买:喂, 卖菜哩,这白菜给我来一斤!

卖:好嘞。

 富人就是有钱,买菜根本不问价钱,自己需要多少就买多少。前后一对比,就可看出贫富差距,穷人买菜少说也得花上十几分钟,富人买菜呢,一分钟之内就可搞定,这可真是:穷人花时间省钱,富人花钱省时间

 下面用数学的眼光看问题。

 

 假设白菜k元钱每斤,若照富人的买法:按需购买,就有一斤k元,两斤2k元,三斤3k元,……,这是一个正比例函数关系y=kx;穷人买菜就不一样了,他要计划着兜里的钱,没钱时就买一块钱的,那就是1/k斤,有钱时才买上两、三块钱的,分别是2/k斤,3/k斤,……,这也是一个正比例函数关系y=x/ky=kxy=x/k,这不就是原函数和反函数吗?谁料两种不同的购买方式却恰恰蕴含了数学里原函数与反函数的知识!我被感动了,为数学,也为生活。

 感动之余不禁要问:富人和穷人的两种购买方式,到底哪个更经济划算一些呢?

 什么才叫划算呢?单看谁买的白菜多是不对的,单看谁花的钱少也不行的,应当计算两个人平均每斤白菜花了多少钱,谁少谁就划算!

 简单起见,假设在每个月里,富人和穷人都在同一地点购买白菜,富人每一次总是买一斤白菜,而穷人每一次只拿一元钱来买白菜,不管能买多少。[转载]“数学小品”又七则[转载]“数学小品”又七则

 

 所以,只要白菜的价格在变化,穷人的购买方式还是比较划算的。你看,还是咱穷人会过日子吧!

家底儿再富,终挡不住儿女挥霍无度;

家底儿再穷,精打细算也会步步为赢。

数学小品(十二)

 

 将近洞口,正撞着康、张、姚、李四太尉,郭申、直健二将军,一齐帅众挡住道:

“泼猴!那里走!”

 大圣慌了手脚,就把金箍棒捏做绣花针,藏在耳内,摇身一变,变作个麻雀儿,飞在树梢头钉住。那六兄弟,慌慌张张,前后寻觅不见,一齐吆喝道:

“走了这猴精也!走了这猴精也!”
 正嚷处,真君到了,问:

“兄弟们,赶到那厢不见了?”

 众神道:

“才在这里围住,就不见了。”

 二郎圆睁凤目观看,见大圣变了麻雀儿,钉在树上,就收了法象,撇了神锋,卸下弹弓,摇身一变,变作个饿鹰儿,抖开翅,飞将去扑打。大圣见了,嗖地一翅飞起去,变作一只大鹚老,冲天而去。二郎见了,急抖翎毛,摇身一变,变作一只大海鹤,钻上云霄来。大圣又将身按下,入涧中,变作一个鱼儿,淬入水内。

 二郎赶至涧边,不见踪迹。心中暗想道:

“这猢狲必然下水去也,定变作鱼虾之类。等我再变变拿他。”

 果一变变作个鱼鹰儿,飘荡在下溜头波面上,等待片时。那大圣变鱼儿,顺水正游,忽见一只飞禽,似青鹞,毛片不青;似鹭鸶,顶上无缨;似老鹳,腿又不红

 “想是二郎变化了等我哩!”

 急转头,打个花就走。

 二郎看见道:

打花的鱼儿,似鲤鱼,尾巴不红;似鳜鱼,花鳞不见;似黑鱼,头上无星;似鲂鱼,鳃上无针。他怎么见了我就回去了?必然是那猴变的。”

 赶上来,刷地啄一嘴。那大圣就撺出水中,一变,变作一条水蛇,游近岸,钻入草中。二郎因他不着,他见水响中,见一条蛇撺出去,认得是大圣,急转身,又变了一只朱绣顶的灰鹤,伸着一个长嘴,与一把尖头铁钳子相似,径来吃这水蛇。水蛇跳一跳,又变做一只花鸨,木木樗樗的,立在蓼汀之上。二郎见他变得低贱——花鸨乃鸟中至贱至淫之物,不拘鸾、凤、鹰、鸦都与交群——故此不去拢傍,即现原身,走将去,取过弹弓拽满,一弹子把他打个踵。
  那大圣趁着机会,滚下山崖,伏在那里又变,变一座
土地庙儿:大张着口,似个庙门;牙齿变做门扇,舌头变做菩萨,眼睛变做窗棂。只有尾巴不好收拾,竖在后面,变做一根旗竿。真君赶到崖下,不见打倒的鸨鸟,只有一间小庙,急睁凤眼,仔细看之,见旗竿立在后面,笑道:

“是这猢狲了!他今又在那里哄我。我也曾见庙宇,更不曾见一个旗竿竖在后面的。断是这畜生弄喧,他若哄我进去,他便一口咬住。我怎肯进去?等我掣拳先捣窗棂,后踢门扇!”

大圣听得,心惊道:

“好狠,好狠!门扇是我牙齿,窗棂是我眼睛;若打了牙,捣了眼,却怎么是好?”

扑地一个虎跳,又冒在空中不见。
    以上片段摘自中国四大名著之一的《西游记》。这段故事很精彩,也很吸引人,讲述了神通广大的齐天大圣孙悟空与法力无边的二郎神斗法的情景。

 先简单复述一下两人的变化过程:麻雀→饿鹰→大鹚老→大海鹤→鱼儿→鱼鹰→水蛇→灰鹤→花鸨→原形→庙宇

 故事的核心在乎一个“变”字,这是二人斗法的主要内容,以致后来流传这样一句歇后语:二郎神斗孙悟空——你变我也变

 “你变我也变”,在这里就是“我随着你的变化而变化”,不经意间又和数学扯上了联系,下面就用变化与函数的观点重新审视《西游记》以及斗法片段。

 世界上一切事物都无时无刻不在变化着,既然物质在变化,表示它们量的大小的数,自然也要随之而变化。这就告诉我们,要从变化的观点来研究数和量以及它们之间的关系。在数学中,把研究某一问题过程中不断变化着的量叫做变量。《西游记》里,孙悟空的本领最大,能72般变化;猪八戒次之,会36般变化;沙僧24般变化。所以他们都可以看作为“变量”。

 其次,是不是所有的量在任何情况下,都始终变化着呢?不是的,在研究问题的某个特定过程中,或在一定范围内,有的数量是保持不变的。或者,虽然它们在变,但变化微小,我们把它们看成是不变的。在数学中,把这样的量叫做常量。《西游记》里,唐僧一点也不会变,所以妖怪一见就认得他,都想吃他的肉。唐僧就好比是一个常量。

 另外,我们再来看一看,变量与变量之间有没有什么联系。变量并不是孤立地在那里变,在变化过程中,变量之间有着密切的联系和制约。以上面的这段故事来说,孙悟空和二郎神各显神通,都在变。这里总是孙悟空先变,变的目的总是千方百计地逃跑;而二郎神是随着孙悟空的变化而变化,而且这种变化有一定的原则:孙悟空变个什么,二郎神就相应地变个能制服孙悟空的什么。

 在数学中,我们把这种首先变化的量叫作自变量,把随着自变量的变化而变化的量叫做因变量,因变量是自变量的函数,把因变量随着自变量的变化而变化所遵循的一定原则叫做函数的对应关系。

 于是,二郎神就好比是孙悟空的函数,他是随着孙悟空的变化而变化的。

 这样看来,《西游记》和我们的数学还很有关系哩!其实,只要我们留意,生活中到处都充满着数学原理。

数学小品(十三)

 

 甲:考你个问题啊。

 乙:说。

 甲:在100米短跑比赛中,小明好不容易超越了第二名,请问他现在是第几名?

 乙:…现在…现在是第一名!

 甲:错!你好好想想,超过了第二名,那他就变成了第二名才对呀!哈哈。

 乙:确实,这个问题是要转点弯儿哈。刚才的不算,你还有啥问题都拿出来吧!

 甲:好,那我再问你一道,是刚才答过的问题:在100米赛跑中,小明超越了第二名,请问他是第几名?

 乙:…这,这不和刚才的一样吗?

 甲:那你答呀,小明现在是第几名?

 乙:…第二名。

 甲:错!我也不知道小明是第几名。因为“第二名”是个人,他超过了“第二名”,我们只知道他现在的名次就是刚才“第二名”的名次,仅此而已。

 乙:(无语)你这和赵本山式的脑筋急转弯儿有什么区别?

 甲:哈哈,开心一刻,开心一刻。不过说正经的,我刚刚看了一则数学智力题,还挺有意思的。

 乙:说来听听。

 甲:有104张桌子要放入14个教室,并且每个教室内都至少有一张桌子,问至少有几个教室内的桌子数目相同?

 乙思考了一会儿,说:答案应该是2个。

 甲:答对了!说说过程呗,你怎么解的?

 乙:我是这样想的,主要分两步走:1)先考虑每个教室内的桌子数目各不相同,由于1+2+3++14=105,多于104张,这不可能;(21134,…,14是一种满足题意的分配方式。所以此题的答案是2,即至少有2个教室内的桌子数目相同。

 后语

 让我们用“数学的眼光”来欣赏这道题目。若设k1k14个教室内的桌子数目相同,则题目所求即为k的最小值,由(1)的分析知k2,由(2)的构造知k=2适合题意,于是k的最小值为2。至此,不禁哑然:此题利用的竟然是最小值的定义!

 一般地,对于函数y=f(x),其最小值可以这样定义。设f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足:1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥m;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=m。那么,我们称m是函数y=f(x)的最小值。

 大家可别小瞧了这定义,定义虽貌似平平,但内涵丰富。美国著名数学家、数学教育家G·Polya在其名著《怎样解题》中认为:“回到定义上去是一项重要的思维活动”,并将这一重要思维活动列在“解题表”的显著位置加以阐述:

 然而,在某些情况下我们没有选择权。如果我们只知道概念的定义而不知道任何其他东西,那么我们就不得不使用这个定义;如果我们除了这个定义以外所知甚少,那么回到定义上去也许是最好的。

 回到定义上去是一项重要的思维活动……因此,寻找字里行间潜在的意义和事实是一种正确的趋向。通过回到定义上去,数学家寻求掌握隐藏在专业术语后面的数学对象间的真正联系,正如物理学家寻求隐藏在他们的专业术语后面的明确的实验,而具有一定常识的普通人则希望认真着手于过硬的事实而不至于仅仅为文字所愚弄。

 还是举一个简单的例子吧:

 f(x)为定义在D上的奇函数,若其最大值与最小值分别为Mm,求证:M+m=0。在我们的印象中,奇函数的图象关于原点中心对称,题目中的结论应该是显然的,但若要证起来,似乎还真有点难度,怎么证呢?其实,只需回归最值的定义即可。这里不详细展开,数学中如此的例子俯拾即是。

 数学定义、概念是在解决数学问题的过程中孕育而生的,是我们进行推理和判断的逻辑单元,是推导公式、定理的依据,也是解决问题的一个基本工具。一些专家、学者把“回到定义上去”作为一个重要的解题策略。再后来,人们把直接用数学定义解题的方法称为“定义法”。

 所谓定义法,就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等,都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法,它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。

 定义是千百次实践后的必然结果,它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说,定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题,是最直接的方法;用定义法解题,恰中本质与要害,显得直截了当。

数学小品(十四)[转载]“数学小品”又七则[转载]“数学小品”又七则

 

 想想表示物体位置变化的量——位移的概念,你就会发现数学与物理是相通的:所谓位移,是由初位置到末位置的有向线段,其大小与路径无关,方向由起点指向终点;如果质点在运动过程中经过一段时间后回到原处,那么质点的位移为零。

 再想想生活中的一些平常小事,你就会发现数学与生活也是相通的。

 放学了,从自己的座位上起身去食堂吃饭。饭毕,回来坐下,位移向量为0

 结束了一天的忙碌,晚上你又躺在自己的床上,一天的位移向量为0,因为早上你是从这里出发的,不论今天你做了什么。

 家,对每个人都有着特殊的意义;每个人对家又有着不一样的情丝。长大后。不论你走多远,也不论你走到哪里,都要记得常回家看看,使自己的向量和为0,因为你是从那里出发的!

 免费师范生们,从自己的省份走出,来到6所部属师范院校,毕业之后又回到本省从事教育工作,这不也是和向量为0吗?

 大至国家,出国深造可以,但要记得回到祖国的怀抱,因为你的起点是中国!

 回到起点,向量和为零。这不禁又使我想到了归零的心态归零的智慧

 归零心态的象征意义是,做事先要有好心态,如果想要获取更多的知识、技能,获得更大的成就,必须定期给自己的内心清零。

 归零心态要求我们不能沉迷于过去的业绩,要调整自己去适应新的变化;归零心态的本质就是挑战自我,永不满足。

 归零的心态就是空杯、谦虚的心态,就是重新开始。第一次成功相对比较容易,第二次却不容易了,原因是不能归零!

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