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[转载]为什么要把“0”作为一个自然数?

(2012-12-31 09:39:15)
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分类: 数学欣赏
为什么要把“0”作为一个自然数?
 
 
 
     现在已明确地把数“0”作为一个自然数,为什么?如果把这看成一个规定,就是说,可以把“0,1,2,…n,…”作为自然数,也可以把“1,2,…n,…”作为自然数。显然,这样的“解释”是不够的。
  
  一、自然数的功能
  
  自然数具有三个基本功能,一是刻划某一类“东西”的多少,用现代的数学语言来说就是描述一个有限集合的基数;二是刻划一类“事物”的顺序,第一、第二、……,用现代数学语言来说,描述一个有限集合的元素的“顺序”性质。进一步说,自然数既是基数,又是序数;三是“运算功能”。自然数可能做加法运算和乘法运算。
  
  二、空集是集合中最重要也是最基本的集合,也是我们在描述周围现象中经常用到的集合,在数学中更是经常要用到的。集合分为有限集合和无限任命两类,把空集作为一个有限集合是很自然的,并且我们很容易理解应该用“0”来描述“空集”中含元素的多少。如果把“0”作为下自然数,那么“所有自然数”就可以完整地刻画“有限集合元素多少”的“任务”了,而没有“0”的“所有自然数”总是有“缺陷”,因为自然数可以表示“空集”所含元素的多少。这们我们从自然数的一种基本功能方面说明了为什么把“0”作为自然数的好处。
  
  三、把“0”作为一个自然数是否会影响自然数的“序数功能”和“运算功能”?回答是不会的,不仅不会,还会使这两项功能更加“完整”。
  
  序数功能:1、传递性。如果a>b,b>c,那么a>c。2、三歧性。对于任意两个自然数,或者a>b,或者b>a或者a=b,三者必具其一。
  
  运算功能:把“0”作为自然数,加法和乘法中所有的“运算法则”依旧保持,同时保持加法和乘法运算的结合尾和交换性,以及乘法对加法的分配性。
  
  既然“0”加盟到自然数集合中,只有好处,没有坏处,为什么我们不应该欢迎“0”作为自然数集合的一个成员呢?
  
  希望我们的老师和同学更好地理解“0是一个自然数”,这样做是理所当然的,而不仅仅是人为的“规定”。也希望我们的老师和同学们养成一个习惯,不仅仅知道和记住数学的“定义”和“规定”,还应该思考它们“后面”的数学含义。

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