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[转载]错得离谱的猜想---兼答数学小天才的三个猜想

(2012-12-21 16:09:11)
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分类: 数学欣赏

错得离谱的猜想---兼答数学小天才的三个猜想

彭翕成     pxc417@126.com  

武汉 华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心  430079

 

1640提出了一个猜想,认为所有的费马数{{2}^{{{2}^{n}}}}+1都是素数。这一猜想对最小的5个费马数成立,于是费马宣称他找到了表示素数的公式。


F_0 = 2^1 + 1 = 3


F_1 = 2^2 + 1 = 5


F_2 = 2^4 + 1 = 17


F_3 = 2^8 + 1 = 257


F_4 = {{2}^{16}} + 1 = 65537

 

然而,欧拉1732否定了这一猜想,当n=5时,{{2}^{{{2}^{n}}}}+1={{2}^{32}}+1=641times 6700417


{{2}^{32}}+1


={{2}^{4}}times {{128}^{4}}+1


=(128times 5-{{5}^{4}}+1)times {{128}^{4}}+1


=(128times 5+1)times {{128}^{4}}+(1-{{128}^{4}}times {{5}^{4}})


=(128times 5+1)times [{{128}^{4}}+(1+{{128}^{2}}times {{5}^{2}})(1-128times 5)]


=641times 6700417


至此以后,人们再也没有从费马数中发现过素数,从而有人反过来猜想:nge 5{{2}^{{{2}^{n}}}}+1都是合数。如果这一猜想被证明,那么说明费马的猜想确实错得离谱。

错得离谱的猜想还有不少,不过没有费马的猜想有名罢了。


如果用百度搜索迪波瓦尔,或用google搜索DeBouvelles,你会发现大部分链接都是指向一个猜想:对所有n≥16n+16n-1中至少有一个是质数。

也就是说,这位西班牙的兄弟,靠着这个猜想就名垂史册了。但可惜,这个猜想也是错的,估计他也只算了前面10多项。

n=20,6n-1=119=7×17,6n+1=121=11×11
n=24,6n-1=143=11×13,6n+1=145=5×29
n=31,6n-1=185=5×37,6n+1=187=11×17
n=34,6n-1=203=7×29,6n+1=205=5×41
n=36,6n-1=215=5×43,6n+1=217=7×31 

 

伴随上述猜想的,往往还有下面这个证明题。

证明有无穷多个n使6n+16n-1同时为合数。

证明:n=77k+20,则6n+1=11(42k+11)6n-1=7(66k+17),可见6n+16n-1同时为合数。

 

最后给出一个和孪生素数有关的小问题给大家操练操练。

孪生素数是指一对素数,它们之间相差2,例如35571113等都是孪生素数。是否存在无穷多对孪生素数。这是数论中未解决的一个重要问题。三胞胎素数是一类由三个连续素数组成的数组。


求所有满足条件的正整数n,使得nn+2n+2都是素数。

 

蛇足:有网友留言,希望我去看一下他孩子提出的3数论猜想

这个孩子很有天赋,如果他在武汉,我是愿意教他的。


猜想1.一个正整数,如果它的除了它自己以外的因数的和等于它自己,那么它的个位数是68。(本猜想已证明)

猜想2.不存在这么一个正整数,它的除它自己以外的因数和比它自己大1。(还没有证明)

猜想3. 2的合数次方减一,都是合数。

 

猜想1完全数猜想有关,从目前已知的偶完全数而言,这个猜想是对的。前10个偶完全数:6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216。而奇完全数,目前还没有找到。如果他能证明完全数都是以68结尾,则否定了奇完全数的存在。这就解决了一个世界难题。

 

猜想2还是和完全数有关。在数论中,若一个正整数除了本身外之所有正因子之和比此数自身大,则称此数为过剩数。如果刚好大1,则称该数为准完美数。目前还没有发现准完美数。如果这个数存在,必是一个奇平方数,且大于10^50 ,且至少有7个素因子。见相关研究论文

 

猜想3是对的,只要学了多项式分解就可以了。设合数n=pq,则

x^n-1 = (x^p-1)(x^{p(q-1)}+x^{p(q-2)}+cdots +x^p+1)

 

此时切莫随意同理可证:对于合数n,则{{x}^{n}}+1是合数。

如若依葫芦画瓢,则有x^n+1 = (x^p+1)(x^{p(q-1)}-x^{p(q-2)}+cdots -x^p+1),看似也可行。但你只要联想起费马犯的错,就会发现这其中是有问题的。最简单的反例是n=2times 2{{x}^{4}}+1无法在有理数范围分解。


 

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