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[转载]赌博中的数学

(2012-05-26 21:36:15)
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原文地址:赌博中的数学作者:个子

                [转载]赌博中的数学                

本博文预设读者群为完成初中学业的,如果这样的读者还不懂,肯定是我的

写法的问题,你说我改!  

    有个笑话说,我早上起来扔硬币,正面向上就继续睡觉,反面向上就去逛街,立起来就去上班,摔成两个就继续摔……。这个笑话说明我不喜欢上班,想不劳而获,因为我们都抛过硬币,而且都没有发生过后两种情况,我们的理智告诉我们抛硬币能立起来的可能性很小很小,可以按不可能对待;而抛硬币摔成两个硬币直接违反质量守恒定律,绝对不可能。不过当我们有两个选择不能决断的时候,我们可以借助抛硬币。这个选择很自然,在国际足球比赛中,对决的双方就是靠裁判抛硬币来决定双方的场地,球员们都理解这样做是公平的。

有史料表明人类赌博的历史非常久远,很容易推测人们用金属钱币赌博的时候,钱币本身就可以作为赌具,钱币做赌具的好处是结果很简单明显,谁都能很容易地参与,也很容易判断自己的输赢——我们都知道硬币抛到桌面上,停下后不是正面向上就是反面向上。对于两个人参与的赌博游戏来说,这是很公平的,比如我们都拿出一样多的硬币,并且约定每个都抛到桌面上,正面朝上硬币就归我,反面朝上硬币就归你。认为这个游戏能接受的前提就是我们两个都认为抛出硬币到桌面上,出现正面向上和反面向上的可能性是一样的。就是说这样的游戏规则是公平的。

    实际上,抛硬币这种赌博游戏并不受赌徒欢迎,因为它太简单,没有技术含量,不适合斗智斗勇。古代的那些资深赌徒们啃完动物蹄子后发现有块骨头很规整,它有六个正方形的面,只要每个面都做上不同的标记,抛掷后可以得到六种不同的结果,比抛硬币的结果复杂,这就是最早的骰子。他们在骰子的六个表面上刻上一到六个圆点以区分不同的面,现在他们可以吸引更多的人玩新游戏了。比如,每个人都选择一到六点中任意一个自己喜欢的点数。抛掷骰子以后,如果有人选中的点数朝上,那么他就赢得这一次。玩得时间长了,人们自然看出来六个点数中的每一个朝上的可能性都一样,这个游戏也是公平的。

    不少人在玩这件事情上是很有创造性的,玩骰子还能玩出什么花样呢?这一次有人设计了一种玩骰子的方法开始考验赌徒们的智力了。这个人设局玩赌,参加的每个人都可以在2到12这十一个点数中押一个,庄家同时抛掷两个骰子,押中两枚骰子朝上的点数和的人赢得这一局,这个玩法的选择更多了,赌徒们跃跃欲试,心里盘算怎么样能赢得多输得少,那么2到12中每个数字出现的可能性还一样吗?赌徒们发现这个游戏不那么简单,这十一个数字出现的可能性好像并不相同,也就是说这个游戏除了考验人的运气以外还考验人的智力。那么哪个数字出现的可能性最高呢?我们替赌徒们盘算一下,很明显,两个骰子被掷后,同时一点向上和同时六点向上一样不容易出现,其他组合就容易出现一些,比如一个三点,另一个四点。有些赌徒好像有些心得,每次都押七点,结果居然赢多输少。他自己也很好奇,为什么七点出现的可能性大呢?我们一起看看这个等式:

7=1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1

    这不是告诉你加法交换律,我们把7拆成两个六以内的正整数之和,并且区分两个加数的次序,这和两枚骰子有什么关系呢?如果第一枚骰子得到前面这个加数的点数,第二枚骰子得到后一个加数的点数,是不是有六种可能出现七点?用同样的方法分析2到12中的其他数,它们都得不到这么多的加法组合。这个问题不简单,但是也不难,赌徒们凭着自己的直觉,选择了2到12中的正中间的数,获得了很好的效果。这个游戏对可以选择的这十一个数字中的每一个出现的可能性不一样。也就是说,这样的游戏开始考验赌徒的数学智能了,当然对所有参赌的人来说选择不同的数有可能结果不公平,但是因为选择是自由的,这一点上还是保持了游戏的公平性。

    事实上赌博游戏有史以来一直花样翻新,有些玩法听起来很不容易掌握,但是总有一些赌徒玩得得心应手。现在咱们来设计一种扑克牌游戏,参加的人数十人以内,每人发5张牌,然后比牌的大小定输赢,问题是:咱们应该规定什么样的五张牌最大?第二大?……,一直到最小。有困难吧?其实这种游戏在没有数学指导的情况下赌徒们已经玩了很长时间了,他们规定的是同花顺最大,下来有四个相同点的一手牌,再下来是三个一样点加另两个一样点的……,后来数学家们计算的结果表明一手牌的大小正是按照每手牌出现的可能性由小排到大。这个例子说明赌徒们(代表普通人)有良好的数字直觉。

    所以,赌徒们并不羡慕数学家这种职业,呵呵。但是不要高兴得过早,比较一下成为赌徒和成为数学家的可能性的大小,我们就不会在赌场上嘲笑有学问的人了。这不,诡计多端的赌徒也有个问题搞不清楚了。两个贵族酷爱赌博——哪个贵族不是呢?——就叫他们甲和乙好了,他们两个都拿出一样多的金币,约定首先赢三局的人拿走所有的钱。甲赢两局,乙赢了一局后,赌局被急事打断,我们可以想成赌场失火什么的,反正是赌博绝不可能进行下去了,那么两人怎样分配那一大把金币呢?乙认为是应该按2:1分配,因为甲赢了两局,他自己也已经赢了一局。甲不同意这种分配比例,因为已经过去的两局里他已经赢得了2;1的赌金,如果再进行一局他还和乙一样有机会赢,所以他除了得赌金的三分之二以外还应该得到剩下那三分之一的一半,也就是赌金应该按5:1分配,乙岂能眼睁睁地看着自己的钱被拿走那么多,肯定是不同意甲的方案。

    这个问题看起来也不是很难,但是从有人提出到彻底解决也历时一百多年。到了1657年,法国的帕斯卡(就是那个说人是有思想的芦苇的人)从他的好赌的朋友那里听到了这个问题,就开始和费马(以提出费马猜想闻名于世)通信讨论这种问题。帕斯卡和费马用各自不同的方法解决了这个问题。费马是这样解决的,首先肯定了赌徒甲的想法,赌金的分配不能象乙那样只考虑已经完成的赌局,还应该考虑剩下的赌局。考虑到乙必须连赢两局才能反败为胜,我们假设赌局还要进行两局,我们用“甲”表示甲赢,用“乙”表示乙赢,两局的所有可能的结果是:甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。从中我们知道在甲领先一局的情况下,甲拿走所有赌金的可能性是乙拿走所有赌金的可能性的三倍。也就是说赌金应该按4:1分配。然后,这两位数学家又讨论了各种不同情况的“赌金分配问题”,找到了解决这种问题的统一解法。并提出了解决问题的基本思想,就是要把所有发生的可能性一样的事件一起考虑。甲提出了5:1的分配方案不对的原因就是要完成这次赌约,不是一局就一定能定输赢的,因为要是赌局继续,在乙先赢一局的情况下,还要再来一局。

    还是赌徒甲和赌徒乙,这次他们换了玩法。甲拿出自己口袋里的10个硬币,乙只有9个,他们抛硬币,约定正面向上钱归甲,反面向上钱归乙。他们想知道他们俩任意一个输光的可能性是多大,这个问题看起来简单,其实计算很麻烦,从17世纪提出这个问题以来,到二十世纪数学家的计算告诉我们这个赌博游戏首先一定是以一个赌徒输光为结局。另外,计算结果表明赌本多的人最后赢光另外一个人钱的可能性更大。再假如赌徒A和赌徒B各有赌金若干,但是玩的游戏不公平,A对B的赢率是3:2,那么结果是什么呢?数学家经过计算得知,这时候赢率大的人最后赢得两人所有的钱的可能性更大。这两个结论告诉我们经营赌场总能赚钱的秘密,赌场起先可以多准备些赌金吸引赌徒,而且为了赌场赢得更快速一点,赌场还可以设计对它盈利有益的不公平游戏。这次数学家告诉我们的道理和老人们劝诫少年的“醒世恒言”一样——十赌九骗。

    从这些事情可以看出,数学光凭直觉还很不够,数学家们提出的方法是普遍适用的,而且数学家们还告诉人们解决问题的时候你怎么想才能正确。赌金分配问题的解决是数学的一个分支——概率论诞生的标志,帕斯卡和费马也成为概率论的创始人。我们把那些结果不能预先确定的事件叫随机事件,随机事件发生的可能性的大小我们用一个数字(通常是一个分数)来衡量,这个数字叫做概率,而概率论就是研究随机事件的规律的一门数学学科。两位创始人提出的“等可能事件”是思考和解决以上我们说的这些随机事件的一把金钥匙。

    说到这里读者是不是对自己的数学直觉还残存着一些信心,那么我们做个有趣的概率试验吧。假定你所在的班级有50人,那么请问你们班至少两人同一天过生日的可能性有多大?考虑到咱们刚刚知道什么是概率,咱们把问题的难度降低点,你认为这件事比抛硬币得正面向上的可行性大还是小?想好自己的答案再往下看。多数人以为这件事情的概率肯定远小于二分之一,一些人以为会接近二分之一,其实这件事情发生的概率高达97%。你猜对了吗?猜对了?!你有非常好的数学直觉,可以向成为一个优秀数学家努力了;你没有猜对?那是肯定的,很多数学家也猜错了,经过学习你能更理性;你没有猜?你知道猜是徒劳的,只有踏踏实实地学习更多的数学才能不凭猜测解决难题。

    我想无论如何你都感受到了数学带给你的惊喜了,数学是脉富矿,走进它你会惊喜连连。

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