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谈加边

(2016-07-02 23:02:13)
标签:

教育

分类: 大学数学竞赛
关于“加边”这个词实际上大学数学书上是没有这个“名称"的,大概在11年我写了一篇关于极限的求解的文章(未公开发表),我在文章称为加边,后来在网络班,各个群碰到类似问题时我简称为“加边大法".我想大家实际上都对加边大法有所了解了.

加边往往是利用恒等变形,Stolz或者 泰勒公式或者  Euler–Maclaurin formula得到的:  https://en.wikipedia.org/wiki/Euler–Maclaurin_formula

比如拿一个经典例子说说:

谈加边
这个问题我想95%大学生会做,我们接着想想 减去右边等价一个什么阶呢?当然你立刻想到了斯特林公式的逼近式子(Maclaaur推出) :https://en.wikipedia.org/wiki/Euler–Maclaurin_formula
谈加边

所以你立刻就可以得到所谓的加边,但是我们喜欢得到加边外面是n/lnn的形式,我们可以尝试着
谈加边

当然这个求解很多方法了,我这有个注意恒等式法
谈加边
当然你如果还不过瘾,你还可以没事这样做
谈加边
等等

按照这样的思想,我们还可以得到如下问题:(或许有人早就发现了,注:有些解答来自网络上或者学生(图片来自以前辅导班讲义).

谈加边

谈加边

谈加边

谈加边

谈加边
比如大家常问的题:求证:lim $\sum_{k=1}^{n}(k/n)^n=e/(e-1)$

我们是否也考虑减去右边极限?此时加什么项?我们如果利用泰勒公式就可以达到很好的结果

谈加边
那么我们可以达到
谈加边

再比如我们14年大学生数学竞赛有个这样的加边题

谈加边
这个题实际上是迈克劳林公式的应用 :

谈加边
我看完之后继续加边:丢到了一个国外杂志,
谈加边


所以利用这个公式只要干

谈加边

谈加边


2016年到了,所以特地为2016编了一个这样的题:我想你看完这些会解密了吧 谈加边
谈加边



这类题太多了,也可以得到太多了,几个练习:


谈加边
谈加边




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