【课题】  等比数列在日常经济生活中的应用

【教材分析】本节课是等比数列的前n项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式,并学习了教材中P36、P48有关储蓄的计算(单利计息和复利问题)，也就是说学生在知识和应用能力方面都有了一定基础。

【课    题】等比数列在日常经济生活中的应用

【课    型】新授课

【教学目标】1． 体会“分期付款”日常生活中实际问题；

            2． 进一步巩固数列知识，熟悉分期付款中的情况；建立数学模型解决问题；

3． 通过本节的教习 ，培养学生的应用意识及科学探索精神；使学生体验探索的过程，并形成严谨的治学态度。

【德育目标】引导学生在遇到问题时主动尝试解决问题，并且多层次、多角度地考虑问题，使形成严谨的治学态度；培养学生的应用意识及科学索精神；体验探索的过程；

 

【教学重点】抓住分期付款的本质分析问题；

【教学难点】建立数学模型，理解分期付款的合理性；

【教学准备】制作相关材料，课前摸底了解情况；

【教学过程】

一、导入新课：

幽默故事：一位中 国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇。美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款；而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足.

指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活；贷款购物,分期付款已深入我们生活.在当前的市场环境中，分期付款被很多商家看作是抢占市场份额的有效手段，为迎合消费者的心理，商家各尽所能；但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？

（投影仪出示）有关分期付款的知识：

⒈分期付款是一种新的付款方式，就是可以不一次性将款付清，就使用商品（或贷款），还款时可以分期将款逐步还清；

⒉分期付款中，一般规定每次付款额相同；每期付款的时间间隔相同;

⒊分期付款中，每月利息按复利计算；(即上月(年)的利息要计入下月(年)的本金)

⒋分期付款中，贷款（或商品价值）与每期付款额在贷款付清之前，会随时间推移而不断增值，即分期付款的总额高于一次性付款的总额；

⒌分期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购物到最后一次付款时的利息之和；即每期付款产生的本利和的累加与商品的付款总额相等.（此为解题之关键）

⒍分期付款的数学方法是等比数列求和.

 问题与思考：

⑴参阅教材P36，P48有关单利和复利的说明;

⑵你是怎么理解”分期付款”的?

⑶你怎么样理解“增值”这个概念?

⑷应让学生充分理解“每期付款额也会产生利息,即每期付款也会增值.”

二、讲授新课：

例：某学生家长从2005年到2008年每年的6月1日都到银行存款1000元作为教育储蓄，假定年利率为1%，且每年到期的存款本息均自动转为新一年的定期，假定到2009年6月1日，学生家长到银行不再存款，而是将所有的本息全部取回，则取回的金额是多少元？

分析：本题可通过逐年来计算本息和

06年6月1日未存款前的本息和为1000（1+1%），存款后本金为1000（1+1%）+1000

07年6月1日未存款前的本息和为﹝1000（1+1%）+1000﹞（1+1%）=1000（1+1%）²+1000（1+1%），存款后本金为1000（1+1%）²+1000（1+1%）+1000

08年6月1日未存款前的本息和为﹝1000（1+1%）²+1000（1+1%）+1000

﹞（1+1%）=1000（1+1%）³+1000（1+1%）²+1000（1+1%），存款后本金为1000（1+1%）³+1000（1+1%）²+1000（1+1%）+1000

09年6月1日未存款前的本息和为﹝1000（1+1%）³+1000（1+1%）²+1000（1+1%）+1000﹞（1+1%）=1000（1+1%）⁴+1000（1+1%）³+1000（1+1%）²+1000（1+1%）≈4101.01元

 

 

 

 

 

【思考1】

若2009年6月1日学生家长为了使学生受到更好的教育需要用到4101元，那么他从05年开始存款，每年应存多少？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【思考2】“教育储蓄”与“分期付款”有什么异同点？

 

 

【类比探究】1台电脑售价为1万元.如果采取分期付款,在1年内将款全部还清的前提下,商家还提供下表所示的几种付款方案(月利率为1%).假定你的父母为给你创建更好的学习条件,打算买台电脑，除一次性付款外商家还提供三种分期付款方式。你能帮他们参谋选择一下吗？

 

 

方案类别	分几次付清	付款方法	每期所付款额	付款总额	与一次性付款差额
1	3次	购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款。
2	6次	购买后2个月第1次付款，再过2个月第2次付款，……购买后12个月第6次付款。
3	12次	购买后1个月第1次付款，过1个月第2次付款，……购买后12个月第12次付款。
注	规定月利率为1%，每月利息按复利计算。

 

 让学生分组讨论方案3,学生列式,计算,为活跃气氛,可让各组学生之间进行比赛,看哪组学生做得又快又准确.(老师巡视,对有困难的同学个别辅导,然后请最同学发言,老师板书)

分析:

思路1：本题可通过逐月计算欠款来处理,根据题意,到期还清即第12个月的欠款数为0元. 设每次应付x元,则:

1个月后欠款：a₁=10000（1+1%）-x

2个月后欠款：a₂= a₁（1+1%）-x=10000（1+1%）²- x（1+1%）-x

3个月后欠款：a₃= a₂（1+1%）-x=10000（1+1%）³- x（1+1%）²- x（1+1%）-x

……

12个月后欠款：a₁₂= a₁₁（1+1%）-x=10000（1+1%）¹²- x（1+1%）¹¹- x（1+1%）¹⁰…-x

∵a₁₂=0  

∴10000（1+1%）¹²- x（1+1%）¹¹- x（1+1%）¹⁰…-x =0

思路2： 每期付款产生的本利的累加之和＝商品到期后付款的总额，即

x（1+1%）¹¹+ x（1+1%）¹⁰…+x= 10000（1+1%）¹²

三、随堂练习：

由学生完成上表中“方案1”和“方案2”，熟练探究方法；

方案1:x=3607.62元，付款总额3x=10822.86元；

方案2:x=1785.86元，付款总额6x=10715.16元；

方案3:x=888.49元，付款总额12x=10661.88元.

 

可见：方案3使得付款总额较少，同时教师指出：结论具有不确定性——选择什么方案还要参照家庭的经济状况。

 

请同学们总结：

分期付款购买售价为a元的商品,分n次经过m个月还清贷款,每月还款x元,月利率为p,则求x的数学模型:

 x(1+p)^m-m/n+x(1+p)^m-2m/n+……+x=a(1+p)^m

四、课堂小结：

师生共同回顾思维过程,教师提醒.

①    分期付款有哪些一般规定?列方程的依据是什么

 

②    分期付款中的计算涉及的数学知识：等比数列前n项和公式；数学思想：方程思想，类比思想。

 

五、布置作业：

 

【课后思考】请同学计算出分期付款的付款总额,它与10000元的差额是多少?为什么会有一个差额,你怎样理解这种现象的合理性。

 

六、板书设计   

                     等比数列在日常经济生活中的应用

一、分期付款的有关知识（关键点）	三、类比探究	五、课堂小结
二、应用示例	四、总结规律	六、布置作业