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有趣的数论

(2011-09-08 09:50:28)
标签:

初等数论

趣味数学

刘培杰

教育

分类: 数学随笔

有趣的数论

彭翕成     pxc417@126.com  

武汉 华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心  430079

 

初等数论的教材也无非是这样:整除、不定方程、同余、同余方程、二次同余方程、原根和指数、连分数、质数分布等。但也正如各大高校争相编著微积分教材那样,初等数论的书也如同雨后春笋般冒出。

虽早已有珠玉在前,如闵嗣鹤、严士健所著,潘承洞、潘承彪所著等,可编写者还是前赴后继。原因也很简单,就是他编的写的是他的名字,我编的则是我的名字。反正初等数论的内容在高斯的时代就早已基本定型了,又不是你个人的原创,原样照抄又奈我何?

是安于现状、得过且过,还是锐意进取、不断创新,不同的人选择不同的路。当把眼光投向初等数论的一些科普读物时,我们就能感受到顶级专家和一般作者的区别。正如阿贝尔所说:向大师学习,而不是向大师的门徒学习。

我平时研究几何较多,但有时也会读读一些数论专家所写的小册子,感觉其中确实乐趣无穷。下面几道题,我认为是很有意思的,很可能激发你对数论产生热情。

 

【例1:三角平方数有多少个?】数学中讲求数形结合。有些数可用图形来表示,如:三角数指的是可排列成三角形的数,前几项是1361015212836平方数指的是可排列成正方形的数,前几项是14162536。容易发现136同在两列数中。请问这样的三角平方数有多少个呢?

有趣的数论

有趣的数论

有趣的数论

 

【例3:必有4的倍数】任意几个自然数,可确保其中必有四个数的和是4的倍数。容易发现6个自然数是不够的,譬如:222333

证明:此题考察的抽屉原理。

7个整数中任取三个,则必有两数之和为偶数,记为a1+a2

余下的5个整数中再任取三个,也必有两数之和为偶数,记为a3+a4

再在余下的3个整数中,也必有两数之和为偶数,记为a5+a6

因为a1+a2a3+a4a5+a6均为偶数,它们被4除的余数只有02两种,则a1+a2a3+a4a5+a6中必有至少两个余数相同,它们的和是4的倍数。

此题可扩展到一般性的结论:在任意2n-1个整数中,必有n个整数的和是n的倍数。

 



有趣的数论

有趣的数论

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不只一位朋友问起,你这些题目哪里找的,很有意思。

我这人一向愿意和朋友们分享读好书的快乐。以上四道题,如果我没记错的话,应该分别出自:

1Joseph H. SilvermanA friendly introduction to number theory  

2刘培杰:初等数论难题集(第一卷)

3单墫:趣味数论

4柯召,孙琦初等数论100

 

有几点要补充。

A friendly introduction to number theory,我原来买的是英文版,此书后出中文版,但书名却译得很普通:数论概论。中国人取名是有讲究的,数论概论中有两个论字,读起来有点不顺。改作数论概貌也许较好,但又和陈景润先生的著作重名。

《趣味数论》和《初等数论100例》则是两本很老的书了,算得上经典的名家名作。我曾向朋友推荐过这两本书,朋友却说,早绝版了,买不到。

去年,我得知华东师范大学出版社要重版单墫先生的一些小册子,《趣味数论》正在其中,心里很高兴,因为我很多书都是在图书馆看的,囫囵吞枣,哪顾得上细细品味。前一阵,拿到了单先生的这套集子,共七册,集子的名字那是相当地谦虚——《单墫老师教你学数学》。前辈风范,晚辈景仰。

刘培杰先生主编的《初等数论难题集(第一卷)》则是新书,参编的还有田廷彦几位,高手出手,自是不凡。在该书序言中,得知还有两卷要出,心里也很是期待。

 

前几日,在网上闲逛,看到刘培杰数学工作室开网站http://lpj.hit.edu.cn/,马上打开,先是浏览有什么新书,接着自是细细品读刘培杰先生的编辑手记。

刘培杰真是大手笔。我原以为他们主要是以几何书为主的,这才发现数论书也成系列了。在出版的新书中,有一些国外名著可能是新翻译的,但相当部分则是经典重印,《初等数论100例》也在其中。下面几本是我曾经看过的,感觉对扩大视野还是大有帮助。

5王元谈谈素数

6冯克勤平方和

7陈景润数论概貌

8柯召,孙琦谈谈不定方程

9单墫初等数论的知识与问题

 

刘培杰数学工作室出版的书,我已经买了30多本了,买的最多的还是几何书。以后再给大家作介绍。

 

注:上海的任念兵兄多次劝我,要我把看过的书做些总结和简评,方便后来人。其实,任兄是知道我的,虽说看的多,但基本上没看懂过,大多只是翻翻而已。不过,有时间写点文字也好,就算对他人无益,也能给自己留个纪念。                                                                    2011-09-06


看到网友的留言后,我立刻与倪明老师联系。

倪先生说,他想出单老师的几本,选了其中的7本。正好有申请科普基金的机会,这个书也符合条件,单老师名气也大,所以就得到资助了。他也在考虑多出几本。如果大家有兴趣,可以发表看法,倪先生肯定会考虑的。当然,要征得单老师的同意。

                        2011-9-21



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