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反比例、牛吃草到排队论

(2011-06-15 18:53:47)
标签:

数学科普

反比例

牛吃草

排队论

运筹学

数学与生活

教育

分类: 少儿科普

一个工程,如果10个人来完成,需要30天;20人来完成,需要15天。看起来这样推理是没有问题的。因为工程总量是个定值,完成时间与参与工程的人数成反比。这样的问题不常常在我们的资料上出现么?

只要稍一延伸,就会发现问题。30人来完成,需要10天;300人来完成,需要1天;3000人来完成,需要0.1天……照这样推理,原来需要几十人修建几个月的楼房,只要人足够多,就可以在一瞬间之内建好!虽然我们常说:人多好办事,但这也太不可思议了吧。

之所以得出这种不符合实际的结论,是因为在很多实际问题中,反比例函数模型的成立,是要求自变量的取值在一定范围内的。

而在反比例函数教学的时候,教材考虑到学生的接受能力,没有引入函数的定义域,那老师们更谈不上强调。

反比例函数教学,对总量为定值强调较多。但有时候,由于有些人考虑不周到,把总量不为定值的问题也当作简单的反比例函数来处理了。典型的例子就是牛吃草问题。

一片草地能够让10头牛吃30天,如果有15头牛,能吃几天呢?如果简单地认为:牛头数越多,吃的天数就越少,二者是反比例关系,应该是于30×10÷15=20天。

此问题当然不会这样简单。牛吃的草,有的是原来的,有的是这些天里新长的,又不是只吃原来草场上的那些草。牛多了,新长的草还不够牛吃的,够吃的天数会比20天少。至于到底是多少天,由于题目条件不足,没法计算。下面我们给出一个完整的题目。

有一片草地,如果放牧24头牛,则6天吃完牧草,如果放牧21头牛,则8天吃完牧草。假设草每天匀速生长,每头牛吃草的量是相等的。如果放牧16头牛,几天可以吃完牧草?

解这类问题的关键就是要注意到,虽然草总在生长,但操场上原来的草是定值,而草是匀速生长,所以每天新长出的草量也是不变的。抓住不变量,我们可以得到下面4个关系式;显然(3)和(4)可看作是(2)的变式。

 (1)草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);

2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;

3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);

4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

所以此题解答为:

草的生长速度:(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份草)

原有草量:21×8-12×8=72(份草)

16头牛可吃:72÷(16-12)=18(天)

此问题大有来头,最早是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的,记载在他的《普遍的算术》一书中。

此类问题的研究很有必要,因为在实际生活中可以找到很多这样的例子。譬如超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款,每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻,超市如果只开设一个收银台,付款开始4小时就没有顾客排队了,问如果当时开设两个收银台,则付款开始几小时就没有顾客排队了。

分析:一个收银台4小时处理4*80=320名顾客付款,4小时中有4*60=240名顾客前来排队,则超市开设一个收银台时有320-240=80名顾客要付款。设当时开设两个收银台付款开始x小时就没有顾客排队了,则80+60x=2*80x,解得x=0.8

 

有人认为这道题是道错题,理由是:收银员每小时能应付80名顾客,但只来60名,这说明收银员完全可以应付的过来啊。何必还要考虑增设收银台呢?

提出质疑说明他有过思考。假设每分钟来一个顾客,收银员马上处理,来一个走一个,确实用不着排队,更不用增设收银台。可是顾客的到来是随机的,而不是均匀的。以最差的情况来说,60名顾客同时来付款,那么后面的人就要等四五十分钟了。而在一般情况下,可能要等半小时以上。等得太久,顾客可能会放弃购物,这是超市不愿意看到的,所以要考虑增加收银台。

而增加收银台,则意味着超市将增加成本,而且超市并不是每时每刻都那么忙。两者权衡之下,超市会根据需要增加收银台,但绝不会增加太多。

当然,有些数学题人为简化了生活中的一些问题。譬如下面这道排队问题。

画展九点开门,但早有人排队等候入场,从第一个观众来到时起,每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口,9点零9分就不再有人排队,如果开5个入场口,9点零5分就没有人排队,第一个观众到达的时间是什么时间?

解:设每分钟来x个人,每个入场口每分钟进y人,第一个观众到达时距9点有z分钟,由题可得:x(z+9)/(3*9*y)=x(z+5)/(5*5*y),解得z=45,所以第一个到达的时间是815分。

排队论是运筹学的一个分支,主要研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法。排队论应用十分广泛,千万不要觉得只有排着长龙的地方,才有排队论!譬如一条线路要安排多少辆公交车,移动公司要安排多少个接电话的客服,医院要安排多少张病床,很多实际问题都要用到排队论。甚至可以说,排队论适用于一切服务系统,尤其在通信系统、交通系统、计算机、存贮系统、生产管理系统等领域。

评价一个排队系统的好坏要以顾客与服务机构两方面的利益为标准,既要满足服务对象的需要,又要使机构的费用最经济或某些指标最优。就顾客来说总希望等待时间或逗留时间越短越好,从而希望服务台个数尽可能多些但是,就服务机构来说,增加服务台数,就意味着增加投资,增加多了会造成浪费,增加少了要引起顾客的抱怨甚至失去顾客,增加多少比较好呢?顾客与服务机构为了照顾自己的利益对排队系统中的3个指标:队长、等待时间、服务台的忙期都很关心。因此这3个指标也就成了排队论的主要研究内容。

 

 

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