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再谈单位“1”

(2011-05-22 15:21:46)
标签:

单位1

数学科普

趣味数学

数学思想

小学数学

解题

教育

分类: 数学随笔
桌上有什么?

1个苹果。

再放1个上去呢?

那就是2个苹果。

可不可以将两个苹果合二为一,看作是一个整体呢?

这不太合适吧!

如果用一个盘子把两个苹果装起来呢?

那就行了,可称之为一盘苹果。可问题是没有盘子啊?

哎,什么时候你才能达到“手中无盘,心中有盘”的境界!

 

有人曾建议,将单位“1”用整体“1”来代替。理由是小学生在学习时,觉得“一个苹果可看作是单位“1”,怎么两个苹果还可以看作是单位“1”啊,难以理解。

这位老师的提议也不是没有道理。从1个单位发展成为单位“1”,是从具体到抽象,使得1异常简单的数字包罗万象,从此它不仅仅代表一个物品或是一个计量单位,它还表示由一些物品组成的整体。这一新观点的产生,可认为是人们认识上的一大飞跃。小学生出现理解上的偏差,是完全可以理解的。

单位“1”中的“1”具有双重身份。在计算过程中, 它与自然数1一样计算, 但在概念上, 它们有着本质的区别。单位“1”中的“1”在分数中表示分率, 在百分数中表示百分之百,为区别自然数1,我们通常将单位“1”中的“1”加上了双引号。

“苹果比香蕉多5斤”,可以等价转化为“香蕉比苹果少5斤。”但“苹果比香蕉多1/2”与“香蕉比苹果少1/2”则不能简单地换算。假设香蕉是10斤,按前一句话,苹果应该是15斤;按后一句话,苹果应该是20斤。怎么回事呢?就是看似同样的1/2,其基准不一样,也就是所取单位“1”有区别。前者是以苹果为单位“1”,后者则是以香蕉为单位“1”。

与此相关的,有一个非常经典的数学问题。

水结成冰后,体积增加了原来的1/11,冰化成水后,体积减少了几分之几?

水结成冰时,体积增加了原来的1/11,即11单位体积水变成12单位体积冰。反过来,冰化成水后,12单位体积冰变成11单位体积水,所以它的体积减少了冰的(12-11/12=1/12

 

单位“1”在小学阶段非常重要,原因之一就是,它是构建分数概念的前提。

什么是分数?把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫分数。

大家平时对“平均分”强调较多,对单位“1”则有所忽视。可你要知道,脱离单位“1”的分数只是一堆没有意义的符号。什么是1/2,其实指的是单位“1”1/2,单纯地提1/2是没有意义的。

单位“1”的思想在解题中实在太有用了。略举两则数学趣题。

 

顺水逆水

小刚沿某公路步行上学,沿途发现每隔9分钟有一辆公共汽车从后面超过他,每隔7分钟遇到一辆迎面而来的公共汽车,若汽车发车的间隔相同,汽车的速度也相同,公共汽车发车的间隔是多少分钟?

解:每两辆公共汽车之间的距离相等,设该距离为单位“1”

由每隔9分钟后面超越,可知车与人速度差为每分钟1/9

由每隔7分钟迎面遇上,可知车与人速度和为每分钟1/7

(1/9+1/7)÷2=8/63,即为车的速度。

那么单位“1”的距离,两车之间间隔时间为8/63=63/8分钟。  

船在水中行走,分顺水和逆水两种情况。此题与之相似,只不过条件隐藏更深。

 

三车追赶

客车在前,货车在中,小车在后。在某一时刻,客车与货车、货车与轿车的距离相等。从这一刻起,10分钟后小车追上货车,又过5分钟,小车又追上客车,再过多少分钟后货车通追上客车。
解:假设当时每车之间的距离是单位“1”,可知:小车速度-货车速度=1/10,小车速度-客车速度=2/(10+5),那么货车速度-客车速度=2/15-1/10=1/30,货车总共需要30分钟追上客车。30-10-5=15分钟,所以再过15分钟后货车追上客车。

 

彭翕成     pxc417@126.com  

武汉 华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心  430079



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