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行军运粮 数学先行

(2011-05-16 20:50:32)
标签:

趣题

逻辑

教育

数学

生活

数学科普

科普

分类: 少儿科普

三军未动粮草先行。古代行军打战,由于没有大型的机械化运输设备,粮草的运输就不可避免地依赖人力,所以与军队同行的还有民工,他们的任务就是在后方跑来跑去运输粮草。下面这道题就是因此设计。

AB两人要到沙漠中探险,他们每天向沙漠深处走20千米,已知每人最多可携带一个人24天的食物,如果不准将部分食物存放于途中,问其中一个人最远可以深入沙漠多少千米(要求最后两人返回出发点)?如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用呢?

 

解:AX天后返回,A留下自己返回时所需的食物,剩下的转给B,此时B共有(48-3X)天的食物,因为B最多携带24天的食物,所以X=8,剩下的24天食物,B只能再向前走8天,留下16天的食物供返回时用,所以B可以向沙漠深处走16天,最远可以深入沙漠320千米。

第二问:如果改变条件,则问题关键为A返回时留给B24天的食物,由于24天的食物可以使B单独深入沙漠12天的路程,而另外24天的食物要供AB 两人往返一段路,这段路为24÷4=6天的路程,所以B可以深入沙漠18天的路程,最远可以深入沙漠360千米。

本题是要求最后两人都要返回出发点。若AB 两人要执行一项很重要的任务,深入沙漠360千米还不够,则需要一人作出牺牲。譬如两人共同行进8天,A自杀,留8天的食物,B可前进12天再返回。B总共行进20天,深入沙漠400千米。古代作战粮食紧张时,军队有时会采取杀死搬运工的做法,所以战争实在是太残酷了。

 

下面的文字出自沈括的《梦溪笔谈》卷十一。足以说明前文的思考题不是数学家凭空捏造的,而确实来自于实际。数学中还有专门研究物资调度的研究分支,隶属于运筹学。

 

军粮运送之难
  (原文):凡师行, 因粮于敌,最为急务。运粮不但多费,而势难行远。予尝计之,人负米六斗,卒自携五日干粮,人饷一卒,一去可十八日;米六斗,人食日二升,二人食之,十八日尽;若计复回,只可进九日。二人饷一卒,一去可二十六日;(米一石二斗,三人食日六升,八日则一夫所负已尽,给六日粮遣回,后十八日,二人食日四或并粮)。叵计复回,止可进十三日。(前八日日食六升,后五日并回程,日食四升并粮)三人饷一卒,一去可三十一日,米一石八斗,前六日半四人食日八升,减一夫,给四日粮;十七日三人食日六升,又减一夫,给九日粮;后十八日,二人食日四升并粮。计复回止可进十六日,(前六日半日食八升,中七日日食六升,后十一日并回程日食四升并粮)。三人饷一卒,极矣。若兴师十万,辎重三之一,止得驻战之卒七万人,已用三十万人运粮,此外难复加矣。(放回运夫须有援卒,缘运行死亡疾病,人数稍减,且以所减之食,备援卒所费)。运粮之法,人负六斗,此以总数率之也。其间队长不负,樵汲减半,所余皆均在众夫,更有死亡疾病者,所负之米,又以均之,则人所负,常不啻六斗矣。故军中不容冗食,一夫冗食,二三人饷之,尚或不足。若以畜乘运之,则駞负三石,马、骡一石五斗,驴一石,比之人运,虽负多而费寡,然刍牧不时,畜多瘦死,一畜死,则并民负弃之,较之人负,利害相半。(卷十一)
  (译):一般军队出行,从敌方获取军粮是最要紧的急务。运粮不仅费用多,而且难以载粮远行。我曾经计算过,每人背米六斗,士兵自己携带五日干粮,每人供一个士兵,一行可达十八天;六斗米,每人一天吃两升,两个人吃,正好十八天吃完;如果以往返计算,只可吃九天的行程。两个人供一个士兵食粮,一行可以达二十六天;(一石二斗米,三人每天吃六升,八天的话一个背夫所负的粮食已经吃完,给他六天的粮食遣回,后十八天,二个人每天吃四升或干粮)。如果以往返计,只可有十三天的路程。(前八天每天吃六升,后 五天加回程,每天吃四升加干粮)三个人供一个士兵,一行可供三十一天,一石八斗米,前六天半四个人每天吃八升,派返一个背夫,给他四天口粮;十七天三人每天吃六升,又送加一个民夫,给他九天口粮;后十八天,二个人每天吃四升加干粮。计算往返的话只可前行十六天的里程,(前六天半,每天吃八升,中间七天每天吃六升,后十一天加回程每天吃四升加干粮)。三个人供一个士卒吃用,已为最大极限。如果兴兵十万人,管护辎重的有三分之一,能够战斗的士兵只有七万人,而运粮的民夫要用三十万人,此外很难再增人了。(放回运夫要有兵卒护援,由于路途中死亡疾病,人数会不断减少,而那些省下来的粮食,以备护援兵卒吃用。运粮 的制度,每人平均以六斗计算,这是个总计方法。其中队长不背东西,打柴汲水的人背负减半,多出斤重部分平摊给众民夫,更有死亡疾病不能背米的,他们应负的重量,又平均分摊,那么每个人所负的重量,常常不止六斗的重量。因此军中不容许多余的饭口,一个多余的人吃饭,就要两三个人供应他,还有可能供不够。如果以牲畜运粮,骆驼可以负三石,马、骡一石五斗,驴一石,相比于以人运粮,虽然负多费少,但如果不按时喂草,牲畜多会死亡,一个牲口死掉,它驮负的粮食也得扔掉,相比用人背扛,有利有弊,利害均半。
  (评):宋时战争中还没有特别重的军械,仅粮食一项就耗费人力量力如此,可以想见穷兵黩武之罪。隋炀帝三伐高丽,最多一次共有战士一百三十八万人,可以想象要用多少民夫啊。

 

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