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作战模拟中的数学方法

(2009-12-08 16:50:52)
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军事

蒙特卡洛法

兰彻斯特方程

作战模拟

分类: 发表文章

俺2006年的文章

 

现代作战模拟与数学的应用息息相关。本文从最简单的兰彻斯特方程开始,让您了解一下炮火纷飞的战场如何变成简单抽象的数字。文中所涉的抽象的数学方法,笔者尽量以最浅显的语言表述,以利于读者理解。爱好数学的朋友,也不妨动动脑筋,自己建立数学模型解决军事问题,权当茶饭后的别样消遣。

 

不得不说的兰彻斯特

提到作战模拟,不能不说兰彻斯特方程。兰彻斯特方程全称为兰彻斯特战斗动态方程,是由英国人弗雷德里克·威廉·兰彻斯特于1914年首先创立。它分析了战斗过程各种可量化的因素,然后用数学模型来定量描述战斗的过程。兰彻斯特在对古代和近代战争进行研究分析的基础上,应用半经验半理论的方法,在简化假设的前提下,建立了一组描述双方兵力变化关系的微分方程,即经典的兰彻斯特方程。并由此分析得出了兵力运用的一些原则,形成了兰彻斯特战斗理论。1916年,在《战争中的飞机——第四种武装的出现》一书中,他首次将自己的理论公开发表。直到二战之后,兰彻斯特的理论才开始广泛应用,起因是著名的硫磺岛战役。1945年2月19日,美军开始进攻硫磺岛,战斗持续了1个多月,日方守军21500人全部阵亡或被俘,美军投入兵力73000人,伤亡20265人。战争进行到28天时美军宣布占领该岛,实际战斗到36天才停止。战后,数学家恩格尔专门用兰彻斯特方程模拟战斗的过程,发现得出的美军战场人数变化与作战实际非常接近。兰彻斯特方程的科学性由此得到印证。

兰彻斯特方程实际上包含着一系列的方程式。兰彻斯特研究该理论时,为了对一些问题简化,设定交战双方实力相等,从而研究出兰彻斯特第一线性律,其基本假设是双方兵力互相暴露,战斗以一对一方式进行,结果双方在战斗中兵力的变化都是线性的,这就是线性律的由来。而这场战斗的胜负取决于双方初始投入兵力的多少,多则胜,少则败。然而这条规律描述的是一个极端理想的状态,集中兵力不能奏效,战线不会突破,更形不成包围,现实几乎没有这样的战争。后来又产生了兰彻斯特平方律,该方程非常准确地描绘了集中优势兵力的优点。例如红军有兵力1000人,连续两次对蓝军发动进攻,每次蓝军为500人,如果假设红蓝两军的战斗效能相等,那么两次战斗胜利后,胜利一方还剩余多少兵力?在第一次战斗中,红军的兵力为蓝方的两倍,因此优势系数可以用红军兵力除以蓝军兵力,结果是2,大于1,因此红军获胜。而战斗结束后红方的幸存概率通过兰彻斯特平方律可以计算出,为0.866。用1000乘以0.866,得出红军第一次战斗后幸存的兵力为866人。在第二次战斗中,用剩余的红军兵力除以蓝军的500人,可以得出优势系数是1.732,红军获胜。再利用兰彻斯特平方律,可以得出红军第二次战斗的幸存概率为0.816。用866乘以0.816得出最终红方生存的兵力为707人。这个简单的作战模拟非常直观地反映了“集中力量打歼灭战”的思想。同样是1000人,同样的战斗力,红方全部使用,则全部消灭对方1000人,自己仅损失293人。早在2000多年前,《孙子兵法》中就指出“故用兵之法,十则围之,五则攻之,倍则分之……”两千年后,在兰彻斯特平方律中得到了体现。

兰彻斯特促进了现代作战模拟发展的历史功绩需要肯定,但是战争中的作战形式与兰彻斯特所描绘的“理想世界”相差太远,用这种方法预测复杂的战争,无异于缘木求鱼。尽管很多专家在兰彻斯特的理论基础上进行了诸多改进,开发出了兰彻斯特混合律、对数律、以及反映“先敌发现、先敌攻击”思想的新型兰彻斯特方程式,但仍然无法驾驭复杂而多变的战争形态。

 

赌场引出大学问

战场瞬息万变,存在着大量不确定因素,这是兰彻斯特方程等线性数学难以解决的。而研究战场上的不确定性问题,应用最广的则当属蒙特卡洛统计模拟法,简称蒙特卡洛法。

蒙特卡洛法起源于20世纪40年代,也称为M-C方法。M-C指的是法国和意大利交界摩纳哥公国著名的蒙特卡洛赌场。由于赌场中无论是打牌还是掷骰子,都是以概率论为基础,M-C方法因此而得名。蒙特卡洛法作为一种有效的统计实验方法,应用到作战模拟领域,只有通过相当大数量的计算,才能获得较为准确的结果。因此在计算机出现后,蒙特卡洛法才获得用武之地。

1946年,数学家冯·诺伊曼和他的同事在世界第一台计算机上用蒙特卡洛法成功模拟了中子链式反应,为原子弹的改进设计提供了大量的数据。1950年,曾经策划对日本进行水雷封锁的数学家约翰逊,提出将蒙特卡洛法应用于战斗模拟的思想。1952年,约翰逊的同事、著名物理学家乔治·盖莫成功设计了名为“锡兵”的坦克战蒙特卡洛模拟系统,包括一个战场——地图板,并用掷骰子来代表随机事件。1954年,盖莫又发明了第一个计算机蒙特卡洛作战模拟模型。研究发现,蒙特拉洛法模拟作战是可行的,而且相对于其他方法能处理更多变化的因素。只要影响战斗行动的因素能够量化,就可以利用计算机来进行蒙特卡洛作战模拟。1958年,在“锡兵”的基础上,出现模拟营级战斗的计算机蒙特卡洛模型。现在蒙特卡洛法在军事模拟兵器推演中应用相当广泛。这是因为现代作战环境和战场系统越来越复杂,各种随机因素往往同时产生作用,用传统的数学解析建立模型极其困难,甚至不可能。而蒙特卡洛法可以模拟并处理复杂的随机过程。研究证明,模拟过程中的随机因素越多,就越适合采用蒙特卡洛法。

用蒙特卡洛法模拟作战,首先要建立一个关于模拟对象的概率数学模型,确定解的指标,然后通过对模型的随机数试验,来计算解的统计特征,最后可以给出解的近似值和结果的精度。例如,敌军有一个炮排,有2门火炮对我进行干扰和破坏。而我方火炮的反击效果是,前方炮兵指挥所对敌目标的指示准确度为50%,假设在指示准确的情况下,有1/3的机会击毁1门火炮,有1/6的机会摧毁2门火炮。这时我们可以模拟一下对敌人20次火炮打击的效果。这里共有两个过程需要模拟。第一是指挥所的指示准确程度,现在已知是50%,那么我们可以用抛硬币来模拟随机结果;第二是在指示准确的情况下我方火炮的毁伤目标的情况。反击可能有三种结果:毁伤敌1门火炮(已知概率为1/3);毁伤敌2门火炮(已知概率为1/6);或者2个目标均未被击中,其概率是1-1/3-1/6=1/2。这种情况可以通过掷骰子来模拟,即掷出1、2、3点,则代表没能击中敌人,掷出4、5点,代表毁伤一门火炮,掷出6点,代表击毁2门火炮。然后您就可以拿着1枚硬币和1个骰子进行一个简单的火炮作战模拟了。当然,这只是一种简单的示例,更多情况下需要使用计算机建立模型进行大量模拟。

作战过程是各种复杂的随机因素相互作用过程,不管作战过程多么复杂,在一定的条件下,都可以将完整的作战过程按时间来划分成若干的小过程来简化。例如侦察过程、接敌过程、攻击过程、撤退过程等等。在每个时间段内,作战状态和战术动作可以认为是相对固定不变的。在武器装备方面,同样可以通过这种方法进行简化。最后,就可以对整个作战过程进行数学化的模拟。对作战过程的统计模拟,实际上就是对各种随机变化过程的模拟。

 

简单直观指数法

前面说的兰彻斯特方程是一种解析方法,是根据作战效能的函数解析关系来计算作战效能的值。而蒙特卡洛法实际是以计算机作战模拟手段,对作战过程进行仿真试验,是一种统计实验方法。而这里介绍的指数法,则是基于指标体系的作战效能分析方法。

指数法出现于20世纪50年代末期,适合战役以上的,军、师级别的作战模拟的量化。常用到的指数包括火力指数、武器指数和杀伤力指数等。与兰彻斯特方程和蒙特卡洛法相比,指数法缺乏“数学味”,那些习惯于建立复杂数学模型的数学家根本看不上眼。但这种方法简单易行,使用方便,很符合“大兵”和军事专家的胃口。

指数法在使用时,首先要确定一个基础量。例如7.62毫米步枪火力指数为1,则轻机枪的指数就为4,120毫米滑膛炮则为40。这样作战力量的对比就非常直观了。当然,在不同的战场上,武器的指数并不一样,例如在远距离作战中大炮的火力指数可以达到100,但是在近距离作战中可能就是0。因此后来出现了比单纯的火力指数更为科学的指数方法——杜佩指数法。

1964年,美国的杜佩上校进行了一项名为“关于武器杀伤力的历史发展趋势”的研究计划。杜佩和他的同事建立了史无前例的规模极其庞大的数据库,包括从远古到近代的大约6000次战争,每场战争都含有几十个数据项。为了保证数据的有效性,研究人员收集了各种书面资料,甚至直接走访近代战争中还健在的当事人。在此基础上,杜佩等人建立了定量判断模型,首次提出了“武器杀伤力指数”的概念。1990年,退役的杜佩上校还曾来到中国的军事科学院和当时的国防科工委讲学,专门介绍他的理论。

实际上,杀伤力指数包括理论杀伤力指数和实际杀伤力指数。根据大量的研究成果,杜佩总结出了2个可以计算历史上所有武器理论杀伤力的计算公式。他的假设是在一个宽度和纵深充分大的阵列里,每平方米站1个士兵,用各种武器分别攻击这个阵列,得出每小时内有多少士兵失去战斗力的数值,由此比较出历史上各种武器的理论杀伤力指数。利用该公式计算,徒手攻击的理论杀伤力指数为23,标枪为19,而杀伤力最低的是火绳枪,仅为10;迄今为止威力最大武器无疑是核武器,2万吨当量核弹空爆杀伤力指数为49086000,百万吨核弹空爆则高达695385000,可谓名副其实的终极武器。实际杀伤力是用理论杀伤力除以疏散因子得出。疏散因子的引用是因为部队疏散越来越广。过去每个士兵所占面积仅有10平方米,现在已经变成了4000平方米,这直接影响武器的理论杀伤力指数。为了将这些数值应用于现代战场上的部队,杜佩又对地形、季节、天气、机动性、易损性、训练水准、士气、领导能力、后勤等可能影响武器效能的因素给以特定的数值表达,然后将这些变数乘以实际杀伤力,得出部队的总战斗潜力。各方总战斗潜力的比,就是军队的战斗力指数。

 

 

兵棋推演之讨论

利用数学理论,使用计算机进行作战模拟的关键在于建立有关问题的数学模型。作战模拟的过程,本质上是模型化问题。模型化是一种艺术,而不是科学。这是因为模型化与模型制作者的个人经验、偏好、知识有关。但是数学模型的建立并不简单。

首先,建立数学模型不能“贪”,建模过程要把作战问题简化,尽可能抓住作战所要模拟的本质,如果企图把所有作战细节包含进去,很可能由于模型过于复杂而导致失败;其次,建立模型不能“馋”,如果需要的数据非常难以获得,远远超出了实用的要求,很难想像会取得成功;建立模型还不能“懒”,对于军事一知半解,随便假设,凭空想像就提出一些逻辑判断,建立的模型当然不能反映实际情况。这也是普通读者进行数学军事模拟的难点所在,因为普通读者对军事往往仅仅是爱好,很多实际的问题并不了解,建立模型出现偏差在所难免。当然作为一种业余爱好无可厚非,如果专业人员由于不做细致的调查研究,仅凭想像来进行作战模拟,将造成严重的后果。

很多读者可能会产生一个疑问:作战模拟结果符合实际作战情况吗?实质上,这是指模型的有效性问题。这个问题很复杂。它不仅包含着理论的、实际的、统计的问题,而且包含着哲学问题。当然,建模者都希望数学模型符合实际情况,至于是否最终能和作战结果一致,关键是看建模过程中对于战术、武器性能及其使用方法的表述,即作战想定是否符合未来作战实际情况。无论如何,模型和实际是辩证统一的,既不是等同,也不是对立。关键要看模型能否帮助我们认识实际,为解决问题服务。

各种模拟作战方法,最终目的都是为了认识、理解作战过程,达到控制作战过程以利于己方之目的,这是作战模拟的实践意义。事实上,任何科学理论的产生,都是遵循着假说—模型—实验—理论这一典型模式,军事科学也不能例外。过去军事科学往往是从社会科学方法,以归纳经验、概括和总结实践规律,来从事其研究工作的。然而任何科学只有用到了数学,才算是达到精确,而这正是现代战争所需要的。

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