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(1)经典决定论与概率论、混沌、量子力学和薛定谔猫

(2018-12-01 06:37:47)

                              经典决定论与概率论、混沌、量子力学和薛定谔猫
                                           
                                                作者:赵子轩,武汉大学

                                                          
       【摘要】本文以科普的形式,结合目前科学界大众化共识和作者两年学习中对物理世界的直观与抽象理解,初步阐述了经典物理学观念与现代物理学(主要是量子力学部分)观念被科学界与大众认识接受理解的程度与形式、现况、两者之间的矛盾与统一,集中讨论和对了主观观念上的决定论与概率论、宏观与微观的作用机制,在理解量子力学基础理念的前提现具有代表性的薛定谔猫佯谬,展示了在经验的宏观世界来看,量子世界是如此的违背直观常理和不可测,以至于“测量”本身将不可避免地作为整体系统一部分对实验结果产生不可逆的重大。将会看到,随着人们对物质层面的深入探索和观测线度的提高,量子力学是自然诞生的对极不同于宏观的微观世界的物理描述,理论成果不亚于经典力学对宏观世界的影响,经典力学可以被理解为量子力学的一种极限情况。那么世界的本质真会是像量子力学所述那样概率化的完全不可测的随机机器?应当认识到,即使统一于哥本哈根正统解释,量子力学仍暴露出内部的矛盾,物理学家至今不能证明量子力学的完备性,薛定谔猫仍没有统一定论。所有的这一切都指向物理学研究的基本认知甚至哲学观念:随机还是确定!

    【关键字】 经典力学  概率论  薛定谔  爱因斯坦 波函数  量子力学  混沌  三体运动 随机  观测  粒子  不确定关系  决定论

       
     “粒子的运动遵循几率定律,而几率本身则按因果律传播。”

                                                                                    ———— 玻恩

      “我不相信上帝掷骰子” 

                                                                                    ———— 爱因斯坦                              

        一、决定论与概率论

       远古时代,人们对大自然的变幻无常有着神秘莫测的恐惧,几千年的文明进步使人类逐渐认识到,大自然有规律可循。经典力学的追随者认为,只要近似知道一个系统的初始条件和理解自然定理,就可计算系统的近似行为。世间事物的行为方式具有一种收敛性,这样的信念使经典力学在天文学上的预言获得了辉煌的成就,如海王星的发现。人们研究天王星时发现其轨道存在某些极小的不规则性,这使人们怀疑天王星外还有一颗未知行星。英国亚当斯根据开普勒定理算出了这颗新星何时出现在何方位,德国科学家戈勒进行探索,在与预计位置差1°的地方发现了此星。于是海王星的发现成为经典决定论最成功的例证。

       经典力学的成功无疑给人们巨大的信心,以致把宇宙看成一架庞大时钟的机械观占据了统治地位。伟大的法国数学家拉普拉斯 (Laplace)的一段名言把这种决定论的思想发展到了顶峰,他说:“设想某位智者在每一瞬时得知激励大自然的所有力及组成它的所有物体的相互位置,如果这位智者博大精深能对这样众多的数据进行分析,把宇宙间最庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式之中,对他来说,没有什么事物是不确定的,将来就象过去一样清晰展现在眼前”。

      牛顿力学在天文上处理最成功的是两体问题,如地球和太阳的问题,两个天体在万有引力作用下围绕它们共同质心作严格的周期运动。正因如此,我们地球上的人类才有安宁舒适的家园。但太阳系不止两个成员,第三者的存在会否动摇这样的稳定和谐?拉普拉斯曾用一种所谓的“摄动法”来修正三体运动的轨道,证明三体运动的稳定性。据说拿破仑曾问他此证明中上帝起了什么作用,他回答:“陛下,我不需要这样的假设”。 拉普拉斯否定了上帝,但他的结论却是错的。因为三体运动中存在着混沌。

      按照拉普拉斯的说法,洞晓过去预知未来,便是存在绝对的真理了。我们暂时不着手理解混沌的概念,拉普拉斯的例子只是告诉我们,在经典力学一统天下的过去,机械观和决定论的思想是多么根深蒂固地扎根与物理学研究者的头脑,以至于在上世纪初物理学革命前夕,不少物理学家还认为“物理学晴朗天空中,只剩下了两朵乌云。” 现在我们已经知道,这两朵乌云竟是相对论和量子力学来临的信使,极大地改变了人们对世界的看法。人们不由得自问,真的存在绝对真理法则吗?这个问题有意义吗?第一次,物理学与哲学世界观空规模地缠搅在了一起。

      与决定论相对地,我们来看看量子力学的建立基础概率论。在经典因果决定论与可知论着的眼里,当我们谈论概率行为时,几乎所有的情形都被理解成了一种宏观统计行为,以适应他们的决定论心理。否则他们就难以接受概率理论。事实上,即使仅限于宏观范围,概率论也往往产生使人迷惑不解的地方。关键在于概率这一概念自身并没有蕴含决定性的“绝对因素”。下面一段论述摘自数学家韦费尔(Warren Weaver)1950年发表的一篇关于概率论的论文。

      概率的意义是什么? 下面这个例子的意思究竟是什么?例如对一位病人说:“如果你决定声请这项外科手术,你将获救并痊愈的概率是0.72,”显然,这位病人只会去做一次实验,即一次手术,而且实验要么成功要么失败,数目0.72对他来说有没有什么有用的意义?

      对这个问题,以及实质上对任一涉及一个概率的解释的问题,其答案是:“如果有很大数量的像你一样的个体,并且在你现在的情况下申请这个手术,他们中每100人里面大约72位将获救并且恢复健康。个体的总数越大,比率将越接近百分之72.”

      这个答案看上去似乎有点认为造作和令人失望。它隐含地包含着某些完全不现实的条件。需要一个复杂的直观的方法来将此陈述转变成有助于决策。然而不管怎么说,经验证明这种陈述仍是很有用的。

      一个理论可以按照它是否与实际经验符合而被称为正确或者错误。在这种意义下,概率理论究竟能否被证明正确或错误的?

      在严格的意义下其回答是否。如果你抛掷一枚硬币,你期望获得大约一半的正面。但是如果你抛掷100次得到的不是预期的50次而是75次正面,你并没有推翻概率论:概率理论能够容易地计算出在100次得到75次正面的概率。如果那个概率被写作1/N,于是你可期望如果你抛掷100枚硬币N次,在N次中大约一次你将实际得到75个正面。假设你现在抛100枚硬币N次,并且假设你不是如你期望的那样只有一两次得到75个正面,而是比如说25!现在是否概率论被推翻了?

      还是没有。因为现在已经发生的这个事情极为罕见,但仍是一个其概率可以计算的事件,虽然其概率是非常地小,但它不是零。于是人们继续再做一个新的试验,它由多次重复前面的试验所组成。并且甚至如果奇迹不断出现,从概率论的观点来看,这些都不是绝对不可能的奇迹。

       因此,在一种严格的意义下概率论不能被证明是正确的或者错误。但事实上这是一个纯粹的虚幻的困难。虽然概率论不能被严格地证明是正确或者错误,但它能够被证明是有用的。经验的事实说明它是起作用的。

      可以看见,当概率论作为一种纯数学理论时它与物理的决定论是相排斥的,不相容的。物理世界是真实的“一次性”的,时间不可逆的,概率论所描述的是“预测”,“可能性”。而决定论可以说大部分时候是宏观世界和经验世界的正统理论,它就是经典物理学的本质。所以当量子力学初学者试图突破将实物图景(薛定谔认为概率波是真实存在的物质波)泛化为纯数学的概率论时,遇到的困难可想而知。后文中可以看到,在后来形成哥本哈根解释中,玻恩认为波函数只是一种存在于数学空间中的几率波,与薛定谔的观点相反。

      让决定论者(可知论者)感到不自在一点的是,概率论中所描述的“概率”具有某种含糊不清而且神秘的作用,特别是用于描述物理过程时。他们当然能够容忍其在数学中存在,因为数学毕竟只是纯理论。然而在因果联系思维下人们总是倾向为某真实物理事情的发生找到原因,或至少肯定原因是存在的。来看一个概率论概念在宏观物理学上的实际例子,也是概率论中专门借助用于说明的现象:掷硬币(或骰子)。具体内容包含在韦费尔的另一段论述中。此外他还在这段论述中引出了量子力学微观概率问题和末尾对微观世界的概率现象表达了自己的看法,他并不是个物理学家,这个看法可能代表了一个大类团体的观点。因此将这段论述完整列出。

      有着两个不同的—或者至少表面上不同的—类型的问题概率论对它们有用。对于第一种类型的问题应该用概率理论并非因为我们深信我们必须用它,而是因为他是非常方便的。对于第二类型的问题,概率理论看上去似乎甚至理论上也是不可避免的。然而,我们将看到这两情形之间虽然在实际价值上确有差别,但实际上这种差别只是一个错觉。

      第一种类型所讨论的可以看作是决定论性情形,但是它是如此复杂,其结果就有实际目的而言都是不可预测的。在这种情形中,我们发现最后的结果常以一种非常敏感的依赖于一个很大数目的原因的作用。许多这种原因可以使得结果的特性在某种程度上变得不清楚,或使详细研究成为不可行,但是至少还可以想象,如果值得的话,科学能够逐个分析每一个原因并从而达到一个理论,它能够预示和解释将发生什么。在那种情况下,说其主要的最终结果“依赖于概率”,其实只是我们的一种方便说法,即是说,其本身之复杂使得实际上不可能作出分析,但是也正是这种复杂性保证了能够通过概率论的定律来描写一种大体上的行为。

      抛掷一枚硬币可能也是这种情形的最简单而且最熟悉的例子。为什么一枚硬币落下时是正面或反面似乎没有什么重要的神秘原因。这枚硬币在桌上的精确位置,运动和旋转的速度由手指头给定,空气阻力,等等。一个人可以说出他为了计算所需要知道的一切,根据熟知的动力学定律来确定这枚硬币落下后会是正面还是反面。但是这样一项研究会是多么复杂,并且会要求非常精确而广泛的定量信息。

      在严肃的日常生活中有许多这一类的情况,我们运用概率理论于其中并不是因为清楚地知道“概率”在其中起着某种含糊不清而且神秘的作用,而是首先因为情况是如是复杂,如此费解地被如此众多的微小因素所作用,以至企图详细分析它是麻烦到令人不敢问津。保险公司的经验,不断地打电话以及由此而来的对电话交换装备的需要,当人们希望评估许多对象的质量或者许多个体的意见时所采用的抽样技术,常用的测量误差理论,流行病学中的问题,气体的动力学理论—所有这些实例都是由于其中原因太多太复杂,并且(或者)了解太贫乏以至于不允许做出完全的决定性的理论。所以我们用概率论来处理它们。但是在所有这些情形我们将同意庞加莱(Poincare)的说法,机会“仅是关于我们的无知程度的度量”。

      第二种类型的概率问题初看上去似乎很不相同。现在大多数科学家相信自然界某些最基础的事物本质上不可避免地是概率的。例如在现代量子理论中,它成了我们关于原子的知识的基础。企图计算某个电子在某个瞬间将会在哪里看来不仅不可能而且根本无意义。一个人能够做的是例如通过薛定谔(Schrodinger)波方程推算出一个概率位置函数的值。一个人不能预报这个电子将在何处,你只能计算它将在或不将在某给定地方的概率。而且任何企图设想一个实验来指出该电子正好在何处,这样来消除这个概率的含糊性,已证明是一个必然失败的实验,它会破坏了提出原来问题的条件。

      应当指出,还是有一些科学家不接受概率论在原子现象中的不可避免的作用。最著名的当然是爱因斯坦(Einstein),他曾用颇具个性的方式说过:“我不会相信上帝在同世界玩骰子”。但是还应当指出,伟大的天才爱因斯坦在这一点上是属于一个很小的少数派。

      以这种不可回避的方式与概率论相关联的问题是属于最根本的问题。量子理论和统计力学,它们合起来成为物理宇宙基本理论的一个很大的部分,本质上是建立在概率论之上的。控制着生命世界的遗传的基因重组是服从概率论定律的。在人类生活中起如此巨大和如此明显作用的通讯,其过程之内部特征最近被发现在本质上也是概率论的。永远流向未来的时间概念也被证明依赖于熵的变化,因而是基于概率论的观点的。推断与论据的整个理论,以及事实上的一般的认识,都回归到概率论。

      我们现在可以看到,如果我们希望逻辑上很精确,这两个类型的概率问题不像我们最初假设的那样的不相同。难道可以精确地想象一枚硬币的下落是复杂的但是确定性的,而一个电子的位置却是本质上不可确定的吗?显然不是,从一个整体和实际的观点来看,毫无疑问,以很细心的实际测量为基础,再加上动力学理论的全部解析方法,人们可以颇为成功地处理硬币抛掷问题。然而,下面这个说法也对,这枚硬币是由基本粒子做成的,而基本粒子的位置和运动从当今科学观点来看,只能在概率论的意义下理解。因此,我们可以把当初在两种类型情形之间的区别说得更仔细,我们说第二种类型的问题,无论取多大的尺度,本质上都是不确定的,而第一种类型只论及大尺度现象,把它们看成决定性的现象是很有用的,虽然这些大尺度的现象归根结底依赖于小尺度的概率性现象。
       ……

       这几段不长的论述,虽然没有明确指出(注意这是1950年的数学论文),除了作者谈论的概率论主体外,却出人意料地完整地说到了经典因果决定论、统计理论、混沌理论、微观观测以及量子力学的主要精神。原因就是,概率论的观念自始终都作用在这些学科上。特别是量子力学的出现与发展,否定了机械观的绝对统治地位。

       上文提到的掷硬币(或骰子)的例子,也就是韦费尔划分的“第一种概率问题”,我们认为在物理上是决定性的。因为这是宏观领域的实验。韦费尔在举这个例子的时候可能会这样想过:设想抛两次银币,所有条件均相同(包括人,银币,环境,地点,状态…总之即是理想的严格相同),那么这两次实验结果不得不相同,不仅仅是结果,还应当包括任意时刻硬币的状态。可以这样想象,在实验者准备抛掷硬币的时候,分裂出了一个复制的平行宇宙,两者是完全相同的,几个这样的宇宙没有任何关系。这样来看,在宏观世界讨论“可能性”时并非是“纯概率”的,即本质上是决定的,韦费尔举的第一类概率问题的例子正是说明了这一点。

       他的文章里说到了初始条件的敏感性造成的第一类概率问题的复杂情况,这同样是个很鲜明的例子:现代混沌理论。什么是混沌呢?混沌是决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动,其本质是系统的长期行为对初始条件的敏感性。如我们常说“差之毫厘,失之千里”。西方控制论的创造者维纳对这种情形作了生动的描述:钉子缺,蹄铁卸;蹄铁卸,战马蹶;战马蹶,骑士绝;骑士绝,战事折;战事折,国家灭。钉子缺这样一微不足道的小事,经逐级放大竟导致了国家的灭亡。系统对初值的敏感性又如美国气象学家洛仑兹蝴蝶效应中所说:

      “一只蝴蝶在巴西煽动翅膀,可能会在德州引起一场龙卷风”,这就是混沌。日常生活中充满了混沌,经典的混沌现象有湍流、滴水龙头、洛仑兹水轮、计算迭代等等。小到化学尺度,大到文章开篇提到的三体运动:考虑存在万有引力三个质点间的运动,按照经典力学,需要求解已知初始位置和初始速度条件下微分方程组。研究表明,由于方程的非线性,在三体问题中会出现混沌现象。三体问题的一般解,一直未得到解决,只有在若干特殊情况下才有解。例如三体的初速在三体所处平面内的情况;又如限制性三体问题,即其中一体的质量比其他二体的质量小很多的情况。如登月飞船飞向月球的运动就是限制性三体问题。

      现代混沌理论已拥有十分丰富的内涵,具有其独特的研究方式和表达形式。然而不论混沌如何复杂和随机化,本质上也是属于第一种类型的“概率”范畴,事实上混沌学已经成为一门较成熟的独立学科“概率”在其中已经不怎么被提及了。混沌理论讨论的对象本质上仍然是决定的!这样看来,往深度说,宏观范围内,概率论是站不住脚的,而是受决定论支配的,虽然很多情况下下精确决定的决定是不可能做到的?

       别急,还有第二类问题。这次就不是一种“方便”的说法了,而是本质上的。“自然界某些最基础的事物本质上不可避免地是概率的。例如在现代量子理论中------”也正如所韦费尔担心的,宏观物体毕竟是由基本微观粒子构成的,“难道可以精确地想象一枚硬币的下落是复杂的但是确定性的,而一个电子的位置却是本质上不可确定的吗?”,微观决定宏观吗?大尺度决定真的“归根结底依赖于小尺度的概率性现象吗”吗?量子力学描述的微观世界到底是怎样一副图景呢?世界的本源真的是概率论的吗?……

        二、  量子力学哥本哈根解释 —— 几率(概率)一统天下          

       人们通过经验和猜测的方法建立了量子理论,这是科学的幸运,但也因此导致了这个理论的异常神秘和不可捉摸,人们需要进一步理解它的真实含义。在量子力学建立之后,它的缔造者们便忙于弄清楚这个理论的含义,他们尤其想知道理论与经验之间的联系,以及理论本身是否具有一致性等等。正是对这些问题的思索和解决产生了关于量子力学的正统观点,由于这些观点主要是由当时在哥本哈根工作的物理学家,包括玻尔、海森伯、泡利、狄拉克等人所提出,因此也被称为量子力学的哥本哈根解释。

  下述简短的对话可以帮助我们了解正统观点的概要。

  问:量子力学中的波函数是一种什么波?
  答:它是一种几率波,代表着通过实验测量所获得的所有可能结果的几率情况。
  问:在量子力学中如何谈论粒子的运动?
  答:我们不能同时谈论粒子的位置和速度,它们受不确定关系的限制。
  问:那么粒子究竟是怎样运动的?
  答:这个问题没有意义。我们只能提供互补性的描述,而且这种描述与实验有关。

      下面我们分条陈述要点。

      (一) 几率波 

       1926年6月,玻恩在一篇关于粒子散射问题的文章中首次提出了量子力学的几率波解释。为了说明波函数如何与粒子联系起来,玻恩着手利用薛定谔方程来解决量子理论中的稳定散射问题。在此过程中他认识到,散射波振幅的平方可以看作是散射粒子偏转通过空间区域的几率。于是玻恩发现,波函数绝对值的平方将代表在空间某区域中发现粒子的几率,即波函数是一种几率波而非真实的波。玻恩后来回忆这一发现时说,“爱因斯坦的观念又一次引导了我。他曾经把光波的振幅解释为光子出现的几率密度,从而使粒子和波的二象性成为可以理解的。这个观念马上可以推广到波函数Ψ上:|Ψ|2必须是电子(或其它粒子)出现的几率密度”。

      玻恩的几率波解释第一次把几率概念引进基础物理学,“粒子的运动遵循几率定律,而几率本身按因果律传播”。这里,几率的出现并不是由观察者的无知或理论本身的无能所导致的,而必须看作是自然本身的一种本质特征。于是,量子力学一般只预言一个事件的几率,而对这个事件的发生不作任何决定论的断言。这是一次极不寻常的思想冒险,它向人们展示了一个潜在的、不确定的量子世界,在这个世界中代表几率的波函数主宰着一切。

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