量子控制的基本概念及其哲学意义

吴国林

华南理工大学科技哲学研究中心

 

摘要： 基于量子力学和量子信息的量子控制论正在形成。量子控制显著不同于经典控制。量子控制揭示了新的哲学意义：波函数是量子实在与量子信息的统一，量子状态是可测量性与可控性的统一，量子态是一种重要的资源。

关键词：量子信息；量子控制；哲学意义

 

The Basic Concepts of Quantum Control and Their Philosophical Implications

Guolin Wu

 

ABSTRACT: The quantum control theory based on the quantum mechenics and quantum information theory is rising. Quantum control is rather different from classical control. It gives us the new philosophical meanings: wave-function is the unification of quantum reality and quantum information, quantum state is the unification of measurability and controllability, and quantum state is an important resources.

 

Key Words: quantum imformation; quantum control; philosophical implications

 

20世纪初期以来，以普朗克、爱因斯坦、玻尔、德布罗意、薛定谔、海森堡为代表的物理学家通过不断的探索和努力，创立了一套完整的量子力学体系，奠定了量子理论的基础。同时，量子理论也不断用于微观系统和客观系统的研究。量子控制思想肇始于1938年，出现于原子和分子量子态相干控制的辐射频率共振技术之中。量子控制论可追溯到20世纪70年代对单量子力学系统的完全可控性的研究。最早在理论上对量子控制论展开研究则是黄与谈自忠教授（美国华盛顿大学），他们于1983年发表了“量子力学系统的可控性”论文。[1]该文从最基本的系统控制概念出发，讨论了线性量子系统的可控性，给出了有限维空间下量子系统可控的条件，并从大的方向上对量子系统的控制进行了一些展望。对量子系统可控性研究打下了理论基础。1984年，谈自忠等人研究了量子力学控制系统的可逆性，从理论上给出了不同量子系统的可逆性条件，还在假设系统无干扰可观的基础上建立了量子的无限维双线性模型。[2] 1985年，谈自忠等人分析了量子系统的可观性，首次提出和分析了量子的无干扰观测问题。[3] 这3篇文章分别从可控、可逆和可观三个视角对量子系统进行了理论上的建模及分析，奠定了量子系统控制理论的坚实基础，成为量子系统控制的重要里程碑。

以前人们的研究主要是对专门挑选的微观粒子的某一点展开研究。在量子控制的研究中，主要是物理和化学专业里的研究人员，他们对量子状态的变换一般使用“操纵”而不用“控制”这个词，这些研究缺乏系统思想的观照。20世纪90年代以来，随着量子信息理论、量子计算理论的兴起，量子计算机的设想，量子控制论得到了高度关注，从事计算机、系统工程、数学等一系列交叉学科的学者不断介入量子系统控制的研究中，真正从系统的角度去研究审视量子系统的控制问题。

与量子控制论相关的量子信息论的哲学研究也刚刚开始，主要集中在量子信息的涵义，量子信息与量子实在、量子测量、复杂性之间的关系，以及量子信息中能否重构量子力学的基础等方面。量子控制论有着广泛的应用和巨大的发展前途，具有重要的理论和现实意义。一旦量子控制取得成功，人们就可以控制量子系统的具体状态，进而成功开发量子计算机，利用量子特性建立量子信息网络，兴办量子产业，这将使人们的生产生活方式和生产方式发生巨大变化，人类将进入与经典时代不一样的量子时代。

目前，国内外量子控制论(quantum control theory)的哲学研究还处于起步阶段，几乎还没有直接的哲学研究论文。本文仅就量子控制的基本概念和基本哲学问题展开初步探讨。

1、量子控制的基本概念

最简单的量子系统就是一个量子位（即量子比特）的两个态（0或1）的控制及其物理实现。早在20世纪70年代就有物理学者在做大量的理论以及物理操作，实现有关量子逻辑门操作的研究。经典控制理论或现代控制理论只适用于宏观系统的控制，而当被控系统具有量子尺度时，现有的控制理论必须修改为量子理论的形式，重建一种基于量子理论和量子信息理论的控制理论。量子控制主要研究量子力学系统的状态通过主动控制达到期望目标。根据控制的目的的不同，量子控制可以分为状态控制、最优控制、跟踪控制等。量子控制中特有的量子纠缠、量子相干等量子现象，将为控制论的发展注入新鲜血液，适当的量子方法引入到经典系统，有可能解决复杂的经典系统的控制问题。

什么是量子控制呢？Bucksbaum教授认为它是“物理研究的一个新领域。它通过利用精细的控制(目前主要是激光场)操纵量子现象。量子计算、慢光子、原子束及其类似的目标都属于这一新领域——量子控制”。[4] 量子控制的主要目标是根据我们的要求，在预先选定的时间t内，控制系统从观测的初始量子态|ψ(0)>达到目标态|ψ(t)>。量子控制的被控对象主要是微观领域的量子系统，遵循量子力学的规律和量子信息理论。

由于量子系统的量子性、相干性、不确定性和复杂性，量子控制与经典控制有很大的不同。正如谈自忠教授指出：“量子控制系统有别于经典系统的最大特征在于其反馈控制的特殊性，因为反馈所需的量子测量即使在理论物理和实验物理领域至今也没有得到完全解决。”[5] 在量子控制中，最优控制最先取得成功。

量子系统控制可以分为开环控制和闭环控制。闭环控制可以分为量子系统学习控制、量子系统反馈控制等。下面我们分别加以说明。

（1）开环控制

在量子控制的发展过程中，科学家最早采用的是开环控制，我们用电子自旋的时间控制来加以说明。对量子系统控制的研究，就是从它的数学模型入手，先从理论分析和推导来达到某个期望的结果。量子系统的演化方程是薛定谔方程，即：

 

其中，是普朗克常数；H是哈密顿算符，其本征值是实数。当已知波函数的初始值|ψ(0)>，则方程的通解为：

|ψ(t)>=U(t)|ψ(0)>

其中U(t)在系统控制中称为转移矩阵，在量子力学中称为状态演化矩阵，可见，从控制理论角度上说，只要求出状态演化矩阵U(t)，就可以获得任何时刻t的波函数|ψ(t)>。

如果H与时间无关，则：

 

由此可见，只要H已知，则可求出U(t)。最关键的问题是要在具体的物理实验中，如何实现所求的数学表达式。量子力学中的绝大多数的理论都是假设，需要都是通过实验来验证了它正确性。量子控制系统理论的正确性，也需要通过设计实验来验证和实现。

对于复杂的高维哈密顿算符H，U(t)是无法直接在实验室里进行操纵和实现的。业已证明任何逻辑门都可以由两比特逻辑门来实现，因此，我们可以把复杂高维的U(t)分解为由一个比特或两比特通的逻辑门的组合来实现高维转移矩阵的物理实现问题。目前转移矩阵的分解，采用最多的是Cartan分解、Schmidt分解、Wei-Norman 分解，涉及的主要是数学问题。

为获得量子控制的具体概念，我们考虑一个处于恒定磁场中电子自旋的量子控制问题。电子自旋在空间任何方向的投影只可能取两个值，即。为方便，取时，自旋向上，记为|0>；取时，自旋向下，记为|1>。按照量子力学，电子自旋量子态可以表示为一个两分量的列矢量，即：

 

其中，α、β为两个复系数。、分别表示自旋向上和自旋向下的几率。不妨取|0>和|1>的矩阵表示为：

   

设电子的磁矩为M=kS，其中k为常数，S为自旋算符，如果初始电子处于自旋向上（并设为z轴正向），即有|ψ(0)>=|0>，让电子的恒定外磁场沿y轴方向，即有U=u₀e_y ，u₀为磁场强度。

按照量子力学，我们可以得到系统的哈密顿算符为：

 

于是，可以得到t时刻的电子自旋态为[6]：

 

从上式不难得到以下结论：

①控制磁场强度u₀和作用时间t就可以使电子自旋系统演化到给定的目标自旋态。

②对于给定的目标自旋态，控制磁场强度u₀和作用时间t成反比。

③在恒定的磁场作用下，通过控制作用时间的t就可以使电子自旋态达到预先要求的量子态。如下表所示。

 

                 表  目标自旋态与作用时间的关系示意

序号	目标量子态	Ku0t/2	作用时间t	目标态的物理意义
0	|0>	0	0	电子自旋向上
1				处于电子自旋向上与向下的迭加态，自旋向上的几率为75%，自旋向下的几率为25%
2				处于电子自旋向上与向下的迭加态，自旋向上与自旋向下的几率各为50%
3				自旋向下，即实现了电子自旋的翻转

 

④目标自旋态具有周期解。由于量子态前面的不同正负号并不区分为不同的量子态，因此，正弦函数与余弦函数的周期性决定了目标自旋量子态也具有周期解。比如，若磁场强度u₀和作用时间t满足：

 

其中，n=0，1，2，……为正整数。

可见，当控制场恒定，只需使控制时间满足：

 

这就是说，一般都有多个作用时间t使自旋态达到目标量子态，人们可以选取最优时间以便于控制。

可见，在开环控制中，输出信号不反馈到输入端产生控制作用。在量子控制中，开环控制较为简单，能够控制一些简单的目标，在分子化学上已取得了成功。但开环控制对大多数的量子控制问题遇到了困难，其原因是：量子系统的哈密顿量H需要精确已知；薛定谔方程已被可靠解决；所采用的控制场能够在实验室中产生。

 

（2）闭环控制

在量子控制中，最为重要的是闭环控制，其中包括非常重要的反馈环节。反馈是一项重要的控制技术。由于反馈控制可通过测量得到的系统状态实时调节控制输入，从而使得控制具有很好的反抗外部干扰的鲁棒性，且反馈控制设计更加灵活。闭环控制并没有一个通用的模型。在闭环控制中，系统的输出信号被反馈到输入端，输入信号和输出信号产生的偏差信号用于对系统进行控制。量子闭环控制可分为量子学习控制与量子反馈控制。

①量子系统学习控制

在量子学习控制中，主要是利用学习策略对量子系统进行控制，遗传算法是最广泛运用应用的一种算法。1992年，Judson和Rabitz提出了量子系统的遗传控制算法。[7] 他们利用遗传压力来阻止控制场的变化，以达到控制量子系统的输出结果，并通过建模来具体说明遗传压力对具体控制系统的影响。后来其他学者提出了量子的梯度学习控制算法和线性匹配迭代算法。这些算法都是线性算法，但是，量子系统是非线性系统，美国普林斯顿大学的Rabitz又提出了非线性学习控制的算法，这种算法克服了线性控制算法的不足。

②量子系统反馈控制

反馈控制是对复杂系统进行控制的常用方法之一。目前，有关量子反馈控制已取得了较大程度的进展。在经典控制理论中，反馈控制是其重要的组成部分，它通过对观测得来的系统状态参量的实际值和期望值的比较，选择合适的控制函数，从而使系统按人们的期望进行动态变化。宏观系统的反馈回路很容易实现。

量子系统反馈控制的基本思想与经典反馈控制思想相同。在量子系统的控制过程中，被控量子的状态不断被测量并被反馈到控制器，再根据此时的量子状态及时调整控制函数，以使量子系统始终保持在期望的轨道上。

由于量子系统的测量带来的“波包扁缩”问题，对其状态的任何测量必将在某种程度上破坏其现有的状态，因而，对量子系统状态进行实时反馈所得到的量子状态值并不等同于测量后的状态值，显然，这是进行量子控制的很大的难题。如果这一问题得不到解决，量子系统的控制就无从说起。

早在1993年，Wisemen和Milburn就提出了量子反馈限定原理（quantum-limited feedback theory），该原理是一种描述系统动态性能的理论，它通过实时反馈的度量信号来控制量子系统的哈密顿函数。[8]由于量子反馈系统一直不能精确测出系统的哈密顿量，这在很大程度上制约了量子反馈控制理论的发展，因此也没有取得相应的进展。为此，急需一种方法来解决量子状态的量子估算问题。

直到20世纪90年代中后期，量子估算与量子克隆技术才取得进展。1999年多黑特（A. C. Doherty）等人发表论文研究了量子反馈控制中的测量问题，分析在连续的测量后如何通过量子跃迁原理来估算量子态。[9]同年，多黑特等分析了传统反馈控制理论在量子领域遇到的测量等一系列困难，结合量子系统的反馈控制过程，通过对反馈变量进行分析，提出了一种对量子状态进行连续观测来估算的系统量子态的方法，[10] 这一方面证实了量子系统反馈控制的可行性，另一方面奠定了坚实的理论的基础。1998年6月中国科技大学的段路明和郭光灿提出了一种概率量子克隆机的概念，通过把幺正变换同测量过程相结合来达到对量子状态进行精确克隆的目的。

2000年，多黑特等人详细研究了各种量子系统可观性和可控性，并在把经典系统同量子系统进行比较分析，提出了三种把经典反馈控制理论量子化的方法，并对一些重要的经典控制公式量子化，使其能反映波动性和不连续性等一系列量子系统的特点。反馈控制理论已充分同量子特性结合了起来。[11] 所谓可观性（observability），是指一个控制器的传感器能否完全确定一个系统的状态。所谓可控性（controllability），是指一个控制器能否驱动一个系统达到期望的状态。同年，多黑特等人讨论了量子反馈控制的信息提取和干扰问题。在量子轨迹理论框架中，他们研究了在连续测量位置之后确定量子系统状态的可能性。在随机主方程下，考虑了条件密度矩阵的演化。研究表明，在有限时间之后，量子系统仍然是纯态，且能够仅仅从测量记录加以推断。他们把量子系统反馈控制分为测量估算阶段和反馈控制阶段。研究了一个简单量子系统模型的反馈信息的提取和信息之间的干扰问题，推进了量子系统的反馈控制理论。[12]

一般来说，量子系统控制的建立过程包括：建立量子系统模型，可控性研究，控制系统设计及其应用。量子系统控制研究，始于可控性研究，然后转到对简单系统的开环控制研究，再到对复杂系统的闭环控制研究。在研究的初期，人们主要是对化学和物理领域的特定对象展开单独的量子控制性研究。直到20世纪90年代中后期，伴随量子信息和量子计算机的提出，量子系统控制特别是反馈控制才开始取得进展。近年来，量子系统的鲁棒控制又成为量子控制研究的重点。可以预见，在不久的将来，量子控制一定会取得更大的进展，进而形成较为系统的量子控制理论。

2、量子控制的特点

尽管量子控制理论还不是非常成熟，但是，业已显示出量子控制具有不同于经典控制的特点，表现在以下方面：

（1）控制对象不同。量子控制的对象是量子系统或量子力学系统，而经典控制的对象是经典系统。经典系统(如集成芯片、半导体)的尺寸越来越小，量子效应也逐步显现出来。由于量子系统存在一系列区别于宏观系统的特点，如量子干涉、量子相干、量子纠缠、海森堡不确定性原理等，经典控制论就不可能有效的指导完成各种量子控制任务，引导量子控制论的发展。量子控制论主要研究对象是量子力学系统，其目的是有效的对量子系统状态进行主动控制，以实现人们的期望暂时或永久的改变微观物质的量子状态。

（2）控制系统中流动的信息不同。控制过程就是一个信息的输入、处理和输出的过程，信息的运动规律制约了控制系统的信息的运动。量子控制系统处理的是量子信息，而经典控制系统处理的经典信息。量子信息是指在量子相干长度之内所展示的事物运动的量子状态与关联方式。量子信息不是量子实在，而是作为量子实在的状态、关联、变化、差异的表现。从哲学上讲，量子信息将信息从经典领域拓展到量子领域，丰富了信息的涵义，赋予了量子信息以独立存在的哲学意义。量子信息与经典信息之间的区别主要表现在：第一，经典信息不具有相干性和纠缠性，而量子信息具有相干性和纠缠性。第二，经典信息可以完全克隆，而量子信息不可克隆（no-cloning）。所谓量子克隆是指原来的量子态不被改变，而在另一个系统中产生一个完全相同的量子态。克隆不同于量子态的传输。量子传输是指量子态从原来的系统中消失，而在另一系统中出现。量子不可克隆定理是指两个不同的非正交量子态，不存在一个物理过程将这两个量子态完全复制。第三，经典信息可以完全删除，而量子信息不可以完全删除。已有学者证明，任何未知的量子态的完全删除是不可能的。第四，经典信息在四维时空中进行，速度不超过光速；而量子信息则在内部空间中进行，量子信息的变换可大大快于经典信息，甚至是超光速的。所谓内部空间就是指微观粒子所具有的内禀变量或内部变量（如自旋）所形成的空间。内部空间与普通的三维空间是没有关系的，或者脱离了普通的三维空间。比如，量子信息已成功在自旋空间传递，量子信息的处理速度远高于经典信息。[13]

（3）控制理论不同。量子控制基于量子理论，而经典控制基于经典理论。不能将通常的经典控制方式运用于量子控制理论，因为在对状态的测量过程中会出现“波函数塌缩”现象。量子系统中每一个可以测量的量称为可观测量，它与一个算符的本征值相联系，在测量中每一个算符的本征值都有一定的几率出现。要进行量子系统控制的研究，需要涉及到三个方面的知识：第一，量子力学的有关理论；第二，李群、李代数及其在经典刚体旋转系统中的应用；第三，几何控制理论。

（4）反馈控制不同。经典控制中常用到微分方程、传递函数和状态空间三种模型，虽然量子控制可以借鉴，但是，它必须根据量子系统的特点进行改造。在经典控制中，经常用图示来描述控制系统各部分的联系，再通过合适的简化和变换来分析控制系统的特性。随着频域分析技术的发展，结构图得到广泛的应用到系统分析和设计。结构图中各环节一般是传递函数的形式，利用它的等效变换和化简原则，比较容易得到整个系统的模型。

但是，在量子系统控制中，控制的目标是系统的量子态，被控系统具有相干性、不确定性等特点，测量会干扰被测量子系统的状态，系统中的各环节的内在联系以及系统与环境之间的相互作用难以直接描述。目前，直接用经典控制中的结构图来分析量子控制系统还有相当大的距离。特别是量子控制的测量滞后，以及测量与环境之间的作用，量子控制系统的描述要比经典控制系统复杂得多。

在经典控制中，测量过程由各种测量仪器完成，其中的变换功能一般由相应的测量传感器来完成。在量子控制中，测量需要用量子检测仪和量子传感器来完成。量子传感器具有经典传感器所不具有的性质，比如，非破坏性、实时性、稳定性、灵敏性、多功能性等。

3、哲学思考

由于量子控制不同于经典控制，量子控制引起的新的哲学问题需要我们研究。量子控制理论有丰富的哲学意涵，本文仅讨论以下三点。

（1）波函数是量子实在与量子信息的统一。正统的量子力学认为，波函数不具有实在性。但是，量子控制论将告诉我们波函数必定具有实在性。以上述的开环控制为例，控制磁场强度u₀和作用时间t就可以使电子自旋系统演化到给定的目标自旋态。这里的目标自旋态就是波函数，当然具有实在性。所谓量子系统的可控性，是指当量子系统初始状态时刻处于状态空间中的任意一点，倘若能够找到容许的控制函数u使得在有限时间区间内将系统由初始的状态转移到状态空间的特殊点，并称该系统是状态 可控的，这是指态的可控性。一般来说，量子系统的可控性包括量子控制的纯态可控性（pure state controllability）和等价状态能可制性（equivalent state controllability），前者控制的是量子系统的纯态，而后者控制到量子系统的状态差别一个相位因子，因相差一个相位因子在物理学上是等价的；可控性还包括算符可控性和密度矩阵可控性。[14]

量子态反映了量子信息，这在于量子信息理论以量子态作为信息单元，对量子信息的处理就是对量子态的操纵。Fuchs等认为，纯粹的量子信息理论可以重构量子力学的概念基础。[15] 从波函数可以被近似克隆和概率克隆来看，这就表明波函数既是量子信息的载体又包含着量子信息。因此，波函数还体现了量子实在与量子信息的统一。由此，我们认为，物质是客观实在与信息的统一。

（2）量子状态是可测量性与可控性的统一。在经典系统的控制中，反馈技术已广泛应用于各个方面，但量子系统的反馈控制却存在本质上的困难，因为反馈需要利用系统的测量信息，量子系统通常处于物质构成的最基本层次，测量过程本身会对系统状态产生不可逆的破坏作用。根据海森堡不确定性原理，这种破坏作用是不可忽略的。于是，量子信息的获取和干扰的引入便构成了一对尖锐的矛盾，即不可能在不干扰量子系统的情况下通过测量获得量子系统的信息。

如果任意的量子态可以被精确克隆，那么，在原则上，我们就可以对任意的未知量子态进行大量的复制，对副本进行测量来获得原来未知量子态的信息，这样就可以“间接”测量获得未知量子态的信息，显然，这就与量子力学的不确定原理相矛盾。既然不能对未知量子态进行精确克隆，那么，非精确克隆是可能的吗？量子信息理论的研究为非精确克隆开辟了道路，近似克隆或概率克隆是可能的。概率克隆（概率小于1的精确克隆）与近似克隆是量子态不可克隆定理向两个不同方向的发展。

段路明与郭光灿提出了概率克隆。概率克隆的涵义是，测量结果可以分为两类，一类是“成功”的，另一类是“失败”的。当测量结果为“成功”时，就知道该过程已产生了输入态的精确复制；反之，若测量结果“失败”了，机器的输出态就不是输入态的精确复制，就抛弃该输出态。[16] 概率克隆机的输出一定是输入态的精确复制态，但对于非正交态，有时候机器没有输出（对于测量结果为“失败”情况）。

陈宗海等学者提出利用量子克隆和状态识别的反馈控制方法，从而在信息的获得与干扰中取得了一定程度的平衡。[17] 在该方案中，输出信息首先经量子克隆机复制，得到输出信息的多个副本，取出一个副本用来识别器识别，如果副本满足预先设定的精度要求，就可将另一部分副本用作反馈。经过识别器测量的副本信息已成为经典信息，而反馈部分的副本无需测量而保持了反馈信息的量子性质，于是，通过量子克隆使得在量子控制中，量子态的测量与反馈得到了辩证的统一，因此，等效的讲，量子态是可以测量的，而且可以被反馈。

如何知道过程是成功或失败？通过量子态的识别来完成，比如，引入态距离，通过基于态距离的聚类算法来识别量子态之间的态相似性。如果态距离D小于态距离阀值d₀，就识别它们为同一类，即：  。可见，利用量子概率克隆解决了测量干扰量子系统和实现量子控制的矛盾，这说明概率世界也可以实现控制的目的。

对于量子力学的测量，量子力学哥本哈根学派的创始人玻尔曾认为：“量子公设意味着，原子现象的任何观察，都将涉及一种不可忽略的和观察仪器之间的相互作用。”“任何将现象加以细分的企图都将要求一种实验装置的改变，这种改变将引入在客体和测量仪器之间发生原则上不可控制的相互作用的新可能性。”[18] 可见，在玻尔看来，客体与测量仪器之间的相互作用具有不可控制性，但是，上述的量子控制的分析表明，利用量子信息和量子克隆，量子控制在一定程度上克服了客体与测量仪器之间的不可控制的相互作用，或者说，客体与测量仪器之间的不可控制的相互作用是可以控制的。

（3）量子态是一种重要的资源，开辟了人类利用新资源的途径。量子态可以存储（如量子位与量子存贮器）和操控，量子态也可以超空间传递（如量子隐形传态quantum teleportation等）。量子态可以处于不同的物理状态。在前面处于恒定磁场中电子自旋的量子控制中，控制外场和作用的时间，就可以控制电子的自旋态，即是说，外部时空中的外场可以控制自旋——内部空间的变量。量子态是不同于经典物理资源的新型资源。以量子态和量子纠缠为基础，人们正在研究量子算法、量子计算、量子网络等，一个新的量子时代正在出场。

 

参考文献