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李恒星_释永思
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1996年全国高中数学联赛几何题

(2011-10-29 10:50:08)
标签:

杂谈

1996年全国高中数学联赛几何题

///////////////////////////////////////////
设AG=a,AH=c,BE=b,角BAC=2A,角ABC=2B,角ACB=2C,R2=1
AF交O2B于N,PA交O2B于M,易知PF垂直于O2B,即证tan(FPA)=tanB
c=tanA=tan(90-B-C)=(1-tanB*tanC)/(tanB+tanC)
b=tanB
又a+b+c=1/tgB,得a=1/tanB-b-c
三角形PEF中正弦定理得
PF/sin(90-C)=(a+c+b+b)/sin(90-B+90-C)

PF=(a+c+b+b)*cosC/(sinB*cosC+sinC*cosB)
BN= (a+b+c)*cosB
PH=PF-2*(a+b+c)*sinB
PN=PF-(a+b+c)*sinB
三角形HBN中被PA所截,由梅涅劳斯定理得
((a+b)/c)*PH/PN*NM/BM=1
即(PN/BN)*(((a+b)/c)*PH/PN+1)=PN/MN
代入可得(或者由matlab产生下式)
PN/MN=((1/tanB+tanC)*cosC/(sinB*cosC+sinC*cosB)-1/tanB*sinB)*tanB/cosB*((1/tanB-(1-tanB*tanC)/(tanB+tanC))/(1-tanB*tanC)*(tanB+tanC)*((1/tanB+tanC)*cosC/(sinB*cosC+sinC*cosB)-2/tanB*sinB)/((1/tanB+tanC)*cosC/(sinB*cosC+sinC*cosB)-1/tanB*sinB)+1)
设X=(1+tanB*tanC)/(sinB*(tanB+tanC))
化简上式得
PN/MN=tanC*(1+tanB*tanB)*(X-2*cosB)/((1-tanB*tanC)*cosB)+(X-cosB)*tanB/cosB=(X-cosB)*Y-tanC*(1+tanB*tanB)/(1+tanB*tanC)
其中Y=tanC*(1+tanB*tanB)/((1-tanB*tanC)*(1/cosB))+tanB/cosB)=(tanB+tanC)/(cosB*(1-tanB*tanC))
又X-cosB=(cosB*cosB*(1-tanB*tanC)+tanB*tanC)/(sinB*cosB*(1-tanB*tanC)
)
所以PN/MN=(cosB*cosB*(1-tanB*tanC)+tanB*tanC-tanC*(1+tanB*tanB)*tanB*cosB*cosB)/(sinB*cosB*(1-tanB*tanC)
因为 (1+tanB*tanB)=1/(cosB*cosB),代入上式即得
PN/MN=1/tanB,命题得证。

 

 

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