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李恒星_释永思
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一道高中奥数题

(2011-10-29 10:48:12)
标签:

杂谈

一道高中奥数题

此题源于网络,但证明者是李均宇(李林星),思考奋斗了几天的结果,如有更好证明方法,可联系email:165442523@qq.com

设IE交三角形BIC外接圆于P,IC交三角形ABC内接圆于Q,

设内接圆半径为R=1,BE=b,EC=c,AF=a,设角DHE=角HEO=w,

如果证得EQ平行于PC即成功,此点不难证明的,篇幅有限,此点不详细证明。

如果IQ/QC=IE/EP=n/m,即知平行。

由三角形EQC相似于三角形EIC知QC*IC=EC*EC=c*c

由三角形ECP相似于三角形IEB知IE*EP=BE*CE=b*c

可得IC^2/c^2 -1=n/m,IE^2/(b*c)=n/m,如果等式成立,则命题得证,即:

b*(IC^2)=(IE^2)*c+(c^2)*b

///////////////////////

a=ctg(90-B/2-C/2),由和角公式和ctgB/2=b,ctgC/2=c,得a=(b+c)/(bc-1)

由三角形面积公式知

AD*(b+c)=(a+b)R+(b+c)R+(c+a)R,AD=2bc/(bc-1)

倍角公式知BD=ctg(2*B/2)*AD=c(b*b-1)/(bc-1)

DE=b-BD=(c-b)/(bc-1)

ctgw=HD/DE=bc/(c-b)

设I点坐标绝对值为Xi,Yi,则IE=2*cosw,

Yi=IE*cosw=2cosw*cosw

Xi=Yi*tgw-DE

勾股定理知

IC*IC=Yi*Yi+(Xi+DE+c)^2=Yi*Yi+(Yi*tgw+c)^2

=Yi*Yi*(1+tgw*tgw)+c*c+2c*Yi*tgw

=4cosw*cosw+c*c+4c*cosw*cosw*tgw

将IC*IC,IE,ctgw代入b*IC*IC=IE*IE*c+c*c*b

发现等式成立,于是命题得证。

///////////////////////////////////////

最优证明

设内接圆半径为R=1,BE=b,EC=c,AF=a,设角DHE=角HEO=w,

如果证明IB/IC=BE/EC即成功,此点不难证明的,篇幅有限,此点不详细证明。

即证明IB*IB*c*c=IC*IC*b*b即可。

a=ctg(90-B/2-C/2),由和角公式和ctgB/2=b,ctgC/2=c,得a=(b+c)/(bc-1)

由三角形面积公式知

AD*(b+c)=(a+b)R+(b+c)R+(c+a)R,AD=2bc/(bc-1)

倍角公式知BD=ctg(2*B/2)*AD=c(b*b-1)/(bc-1)

DE=b-BD=(c-b)/(bc-1)

ctgw=HD/DE=bc/(c-b)

设I点坐标绝对值为Xi,Yi,则IE=2*R*cosw=2cosw,

由余弦定理得:

IC*IC=IE*IE+c*c-2IE*c*cos(180-IEB)

=4cosw*cosw+c*c+4c*cosw*cosw*tgw

同理:

IB*IB=IE*IE+b*b-2IE*b*cos(IEB)

=4cosw*cosw+b*b-4b*cosw*cosw*tgw

代入IB*IB*c*c=IC*IC*b*b后消去b*b*c*c得

4cosw*cosw*(b*b-c*c)+4c*b*cosw*cosw*tgw*(b+c)=0

 消去4cosw*cosw得

(b*b-c*c)+c*b*tgw*(b+c)=0

再消去(b+c)得

(b-c)+c*b*tgw=0

由ctgw=HD/DE=bc/(c-b)知上式成立,命题得证。

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