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Floyd算法<弗洛伊德算法>

(2013-08-08 11:28:09)
标签:

flody算法

c

it

分类: 数据结构

Floyd算法

Floyd算法用于求最短路径。Floyd算法可以说是Warshall算法的扩展,三个for循环就可以解决问题,所以它的时间复杂度为O(n^3)。

Floyd算法的基本思想如下:从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能,1是直接从A到B,2是从A经过若干个节点X到B。所以,我们假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离,对于每一个节点X,我们检查Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)是否成立,如果成立,证明从A到X再到B的路径比A直接到B的路径短,我们便设置Dis(AB) = Dis(AX) + Dis(XB),这样一来,当我们遍历完所有节点X,Dis(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

代码看起来可能像下面这样:

for ( int i = 0; i < 节点个数; ++i )

{

    for ( int j = 0; j < 节点个数; ++j )

    {

        for ( int k = 0; k < 节点个数; ++k )

        {

            if ( Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j] )

            {

                // 找到更短路径

                Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j];

            }

        }

    }

}

但是这里我们要注意循环的嵌套顺序,如果把检查所有节点X放在最内层,那么结果将是不正确的,为什么呢?因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了,而当后面存在更短的路径时,已经不再会更新了。

让我们来看一个例子,看下图:

Floyd算法<弗洛伊德算法>

图中红色的数字代表边的权重。如果我们在最内层检查所有节点X,那么对于A->B,我们只能发现一条路径,就是A->B,路径距离为9。而这显然是不正确的,真实的最短路径是A->D->C->B,路径距离为6。造成错误的原因就是我们把检查所有节点X放在最内层,造成过早的把A到B的最短路径确定下来了,当确定A->B的最短路径时Dis(AC)尚未被计算。所以,我们需要改写循环顺序,如下:

for ( int k = 0; k < 节点个数; ++k )

{

    for ( int i = 0; i < 节点个数; ++i )

    {

        for ( int j = 0; j < 节点个数; ++j )

        {

            if ( Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j] )

            {

                // 找到更短路径

                Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j];

            }

        }

    }

}

这样一来,对于每一个节点X,我们都会把所有的i到j处理完毕后才继续检查下一个节点。

那么接下来的问题就是,我们如何找出最短路径呢?这里需要借助一个辅助数组Path,它是这样使用的:Path(AB)的值如果为P,则表示A节点到B节点的最短路径是A->...->P->B。这样一来,假设我们要找A->B的最短路径,那么就依次查找,假设Path(AB)的值为P,那么接着查找Path(AP),假设Path(AP)的值为L,那么接着查找Path(AL),假设Path(AL)的值为A,则查找结束,最短路径为A->L->P->B。

那么,如何填充Path的值呢?很简单,当我们发现Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)成立时,就要把最短路径改为A->...->X->...->B,而此时,Path(XB)的值是已知的,所以,Path(AB) = Path(XB)。

具体的C++代码实现:

#include "iostream"
#include "stack"
#define INFINITE 1000           // 最大值
#define MAX_VERTEX_COUNT 100    //最大顶点个数
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 
struct Graph
{
    int     arrArcs[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT];    // 邻接矩阵
    int     nVertexCount;                                   //顶点数量
    int     nArcCount;                                     //边的数量
};
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//首先,我们写一个方法,用于读入图的数据:

void readin( Graph *_pGraph )
{
    std::cout << "请输入顶点数量和边的数量: ";
    std::cin >> _pGraph->nVertexCount;
    std::cin >> _pGraph->nArcCount;
 
    std::cout << "请输入邻接矩阵数据:" << std::endl;
    for ( int row = 0; row < _pGraph->nVertexCount; ++row )
    {
        for ( int col = 0; col < _pGraph->nVertexCount; ++col )
        {
            std::cin >> _pGraph->arrArcs[row][col];
        }
    }
}

//接着,就是核心的Floyd算法:

void floyd( int _arrDis[][MAX_VERTEX_COUNT], int _arrPath[][MAX_VERTEX_COUNT], int _nVertexCount )
{
    // 先初始化_arrPath
    for ( int i = 0; i < _nVertexCount; ++i )
    {
        for ( int j = 0; j < _nVertexCount; ++j )
        {
            _arrPath[i][j] = i;
        }
    }
    //////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 
    for ( int k = 0; k < _nVertexCount; ++k )
    {
        for ( int i = 0; i < _nVertexCount; ++i )
        {
            for ( int j = 0; j < _nVertexCount; ++j )
            {
                if ( _arrDis[i][k] + _arrDis[k][j] < _arrDis[i][j] )
                {
                    // 找到更短路径
                    _arrDis[i][j] = _arrDis[i][k] + _arrDis[k][j];
 
                    _arrPath[i][j] = _arrPath[k][j];
                }
            }
        }
    }
}

//OK,最后是输出结果数据代码:

void printResult( int _arrDis[][MAX_VERTEX_COUNT], int _arrPath[][MAX_VERTEX_COUNT], int _nVertexCount )
{
    std::cout << "Origin -> Dest   Distance    Path" << std::endl;
 
    for ( int i = 0; i < _nVertexCount; ++i )
    {
        for ( int j = 0; j < _nVertexCount; ++j )
        {
            if ( i != j )   // 节点不是自身
            {
                std::cout << i+1 << " -> " << j+1 << "\t\t";
                if ( INFINITE == _arrDis[i][j] )    // i -> j 不存在路径
                {
                    std::cout << "INFINITE" << "\t\t";
                }
                else
                {
                    std::cout << _arrDis[i][j] << "\t\t";
 
                    // 由于我们查询最短路径是从后往前插,因此我们把查询得到的节点
                    // 压入栈中,最后弹出以顺序输出结果。
                    std::stack stackVertices;
                    int k = j;
                    
                    do
                    {
                        k = _arrPath[i][k];
                        stackVertices.push( k );
                    } while ( k != i );
                    //////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 
                    std::cout << stackVertices.top()+1;
                    stackVertices.pop();
 
                    unsigned int nLength = stackVertices.size();
                    for ( unsigned int nIndex = 0; nIndex < nLength; ++nIndex )
                    {
                        std::cout << " -> " << stackVertices.top()+1;
                        stackVertices.pop();
                    }
 
                    std::cout << " -> " << j+1 << std::endl;
                }
            }
        }
    }
}


int main( void )
{
    Graph myGraph;
    readin( &myGraph );
    //////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 
    int arrDis[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT];
    int arrPath[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT];
 
    // 先初始化arrDis
    for ( int i = 0; i < myGraph.nVertexCount; ++i )
    {
        for ( int j = 0; j < myGraph.nVertexCount; ++j )
        {
            arrDis[i][j] = myGraph.arrArcs[i][j];
        }
    }
 
    floyd( arrDis, arrPath, myGraph.nVertexCount );
    //////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 
    printResult( arrDis, arrPath, myGraph.nVertexCount );
    //////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 
    system( "pause" );
    return 0;
}

实例如下

如图所示:

Floyd算法<弗洛伊德算法>

输出结果如图所示:

Floyd算法<弗洛伊德算法>

 

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