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关于等幂和数组的几个定理

(2009-04-11 15:30:09)
标签:

等幂和数组

分类: 等幂和数组

 

关于等幂和数组的几个定理

 

定义

 

等幂和数组:如果两个n阶一维整数数组,其n个元素的和、二次和、……一直到k次和都相等,则称这两个数组为n阶k次等幂和数组。一般要求元素都不相同。

等幂和数组链:如果三个或三个以上n阶一维整数数组,其n个元素的和、二次和、……一直到k次和都相等,则称这这些数组为n阶k次等幂和数组链。如果有m个数组,则称为mnk次等幂和数组。

 

关于等幂和数组的简单记号

 

设A是一个n阶数组,其元素为a1、a2、……an,则记为A=(a1,a2,……an)。

 

以下都采用这种记法,即大写的字母表示数组,小写且带下标的是数组中元素。

 

定义1:(A+x)=(a1+x,a2+x,……an+x)

定义2:(A,B)=(a1,a2,……an, b1,b2,……bn,)

 

如果A和B是一组n阶k次等幂和数组,则记为Ak=Bk

 

定理1. 如果Ak=Bk,那么(A+x)k=(B+x)k

定理1的意义:如果两个数组是等幂和数组,则将元素都加减一个数,得到的新数组仍然是等幂和数组。

 

定理2. 如果Ak=Bk,那么(A+x,B+y)k+1=(A+y,B+x)k+1

定理2的意义:如果知道一组n阶k次等幂和数组,则可以构造一组2n阶k+1次等幂和数组。

适当选择x,y,可以使得到的新数组中有相同元素(指的是有同样的元素在两个数组中都出现),则可以将相同元素舍去,以减小阶数。

 

定理3. 如果Ak=Bk=Ck,那么(A+x,B+y,C+z)k+1=(A+y,B+z,C+x)k+1=(A+z,B+x,C+y)k+1

定理3的意义:如果知道三个n阶k次等幂和数组链,则可以构造三个3n阶k+1次等幂和数组链。

 

以上三个定理都可以利用二项式定理及已知的k次幂和相等进行证明。

 

定理3可以推广到任意链长的等幂和数组链,只要将每个数组要加的数值进行轮换即可。

例如可以得到如下的定理。

定理4. 如果Ak=Bk=Ck=Dk,那么

(A+x,B+y,C+z,D+w)k+1=(A+y,B+z,C+w,D+x)k+1

=(A+z,B+w,C+x,D+y)k+1=(A+w,B+x,C+y,D+z)k+1

定理4的意义:如果知道四个n阶k次等幂和数组链,则可以构造四个4n阶k+1次等幂和数组链。

 

 

 

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