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[转载]集论几何学定理:一个球变成两个球

(2013-01-31 10:53:00)
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分类: 数学的秘密
智慧在数学中俯首皆是,令人叹为观止。
缤纷的礼花,灿若繁星,令人心旷神怡。

       初看上去,这个定理确实荒唐,一个球体怎么会变成两个球体?这岂不是把一个西瓜变成了两个西瓜?实际上,这是一条数学定理,请不要少见多怪。

        请看下图所示:

[转载]集论几何学定理:一个球变成两个球

         这条几何学定理叫巴拿赫-塔尔斯基(Banach Tarski)定理,是1924年发表的。Tarski就是无穷小微积分作者J. Keisler的博士论文指导老师。

         该定理是说,可以将一个刚性球体剖分为许多小块,使这些小块在空间中发生旋转(Rotation)与位移(Translation),而保持体积、形状不变,然后可以拼装出两个体积大小完全相同的刚性球。完全类似地,两个球变4个球,......如上图所示。这岂不怪栽?

        1904年,Ernst Zermelo为证明”良序定理“(Well ordering theorem)把选择公理引入数学。实际上,良序定理等价于选择公理。自然数就是良集合。由此可见,微积分离不开选择公理。回顾历史,在1908年,Zermelo首先创立了公理化集合论,直到1922年,经过Abraham Fraenkel的补充,形成了公理化集合论的公理系统ZF,后来加入选择公理,最终成为正式的集合论ZFC公理系统,由此建立起整个现代数学的大厦。

         实际上,巴拿赫-塔尔斯基定理是选择公理的自然推论。也就是说,将刚性球剖分为无数的碎片,形状怪异,不可测度,然后,利用选择公理ACAxiom of Choice)将其拼装成两个同样的刚性球。简单地说,选择公理保证:在一个集合族里面,从各个集合中各选取一个元素,这些元素可以构成一个新的集合。

          在数学上,连续统假设CH,不真也不假,而选择公理AC,既是真的,又是假的(因为AC能够推出一个球变成两个球的怪论)。有人说,我们放弃选择公理AC行不行?不行,放弃了选择公理AC,数学将变得更加奇怪。数学存在这种毛病,大家见怪不怪也。

           上述巴拿赫-塔尔斯基定理还可以推出更奇怪的结论:一颗豌豆可以变成硕大无比的太阳。现代数学的这个毛病,我们不要当众宣传,免得让数学家们丢面子。在这里,我只是悄悄地说话,而不是大声地嚷嚷。谈到这里,在同学面前,我有点不好意思了。

         说明:A. Robinson的非标准分析(NSA)就是在ZFC大树上发出的新树枝,J. Keisler的无穷小微积分是更细小的嫩枝丫。我们想把中国的微积分教育移植到ZFC大道上,溯本清源,使其名正言顺。


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