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[转载]集合论的创始人康托尔(G.Cantor)的故事

(2013-01-29 15:10:21)
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分类: 数学的秘密
这说明了很多问题,如果你懂的。
这说明了很多问题,无需你懂得。
康托斯集很说明问题,若你懂得。
问题就在康托斯集中间,我懂了。

       德国数学家康托尔(1845.3.3-1918.1.6)在 (εδ)微积分的创建初期做了什么工作?值得我们称道(称赞)?

Georg Cantor3.jpg

         1872年,年仅27岁的康托尔在数学上放了一把”火“。他用有理数列构造实数RReal numbers),在数学发展历史上,这是”前无古人“的创意。由此可见,实数是纯粹的人为”构造物“,跟”虚数“(Imaginary numbers)一样。利用模型论工具(超滤器)构造超实数*RHyperreals),情况完全一样。

         1874年,康托尔证明了有理数没有实数多。也就是说,有理数集合与实数集合相比是元素更少的无穷集合(Infinite Set)。随后,康托尔又巧妙地证明了一个事实:单位正方形与单位线段上的点可以建立”一一对应“关系,也就是说,单位正方形的点与单位线段的点一样多。初看起来,这件事确实有点儿”奇怪“,与我们的直觉相”冲突“。由此可以推出:空间中的点与平面上的点一样多,等等。

          康托尔还证明有理数集合Q与正整数集合Z的元素一样多。康托尔猜想,在自然数集合与实数集合之间存在不存在一种”集合“,其元素比实数集合少一些,但是,却又比自然数集合多一些?康托尔猜想,这种”集合“是不可能存在的。这个猜想被人们称为康托尔”连续统“假设(CHContinuum Hypothesis)。这个假设到底对不对呢?1940年,哥德尔证明,从标准公理化集合论出发,不可能证明康托尔假设CH不是真的;1963年,Paul Cohen证明,从标准公理化集合论出发,不可能证明康托尔假设是真的。这样以来,康托尔假设既不是真的,也不是假的,既不能肯定它,也不能否定它。由此,承认CH能够搞一套数学,不承认CH也能搞一套数学。实数轴上的故事很多。二十几岁的小矛头康托尔竟然给世界数学家们出了这道”难题“,既可气,又好笑。

         说明:我们的微积分教育普及网站,既讲故事,也教数学。网站制作正在稳步进行中。


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