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我研究连续统假设的经历

(2016-12-23 18:15:14)
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情感

题记:这段文字分别是1999年在家乡、2004年2016年底在北京写下的,记录了我研究连续统假设的心路历程。这是我研究经历中三个关键性的时刻,特整理出来以作留念。

 

 


我没能考上大学,20岁就开始在家乡“游学”了。或许这是我的天性吧,不喜欢强迫着读书,只喜欢自由思考。94年秋,一个偶然的机会,我进了北师大的作家班,可是不久我就对文学感到厌倦了,在作家班里反而使我少年时代的“文学梦”彻底地破灭了,我终于认识到了:文学特别是当代文学,本质上就缺乏一种实质性的力量,它既不能改变作者自己,也不能改变世界。我内心深处渴望能用一种朴素的、简单的方法来理解什么才是真实的东西和真正的意义,后来这就成为我读书的思想基础。听课没什么意思了,我就自己买了一些专业方面的书籍来读,读的最多的是心理学和科学史,哲学方面则喜欢读逻辑实证主义的著作,虽然不太懂,但都坚持读完了,有的还反复读了几遍。93年在家乡时我就读过波普尔的《猜想与反驳》,这是我第一本“啃”完的哲学专著。过了一个学期,我决心不再为一张文凭去读书了,纯粹为读书而读书,纯粹为思想而读书。我就从学校里搬了出来,在圆明园附近租了一间房子,开始了一种独特的读书生活。

 

北京真是一个读书的天堂,只要你愿意,怎么读书都可以。我通常是泡在北图里面,也经常去“风入松”、三联这些书店里去读些新书,学习和写作通常是在北大的教室里,也偶尔旁听一些课,和他们学生一样早早地去抢占座位,反正谁也不认识我。当然,最重要还是自己买书来读,通常每个礼拜我都要到北京几家大书店里去逛一逛,特别是周末两天,在北大东门胡同里,有一个旧书市场,赶集似的,非常热闹,在这里往往能够买到旧版的好书,我大半的书都是从旧书摊上买来的。久之,我就养成了买书的嗜好和读书的眼界,只要一个礼拜不买几本书、不读些新书,就会觉得像是失掉什么似的。我的藏书也颇为可观,尤其是非常精粹,“斯是陋室,惟吾书馨”,朋友来了没有不羡慕的,连苛刻的房东对我往往也是另眼相看。一位朋友戏称我为“流学生”,这倒是一个很形象的说法。这种“流学”生活我坚持了四年,现在想起来确实是很难熬的,可是居然也熬过来了。一直到现在,在孤独和艰难中我渡过了自己最美好的青春年华,从一个无所知识的少年长成为一个无畏知识的青年。

 

我读书虽然自由自在,不用考试,但我却始终有一个明确的目标,那就是为了解决一个著名的数学问题:连续统假设(简称CH)。对此我简单地介绍一下。CH是由集合论创始人、数学史上最有想象力的天才人物康托提出来的,用最简单的语言来说,CH就是求证“一条直线上究竟有多少个点”这样一个命题(哥德尔),也可以说是一个最基本的数学问题,它涉及到了对于无穷的本质的理解。在1900年国际数学家大会上,“数学王国的亚历山大”希尔伯特纲领性地提出了23个尚未解决的重大数学问题,就把CH列为第一个问题,因此CH也被称为希尔伯特第一问题,可见它对数学基础的重要意义。我想智慧最大的困境就在于要面对虚无,正像信仰最大的困境是要面对死亡一样,所以只有克服这种虚无才是真正的智慧。对此爱因斯坦曾有一句妙语:“这个世界最不可理解的就是它居然是可以被理解的。”其真正蕴涵在于:真实的东西往往是什么意义的,而有意义的东西往往又是不真实的。当我第一次弄懂康托超穷数概念时,我顿时就被人类思维之中那种奇妙而深刻的创造性所深深震撼了,“顿悟”了,对于连续统假设,也就有了一种直觉的认知,或者说是一种信念,我“看到”了这一无穷之谜的“谜底”及其证明所需的基本结构。但是,如何精确地表达这个直觉思想则是一种巨大的虚无感,我已用了半个青春还是没有完全克服这种虚无。

 

“流学”期间,我最基本的功课就是每隔三、四个月就写一篇论文,这是一种残酷的思维训练,每次写完论文以后我都仿佛大病一场似的,然而等到论文整理出来时,就会发现证明中仍有许多问题及模糊之处,于是就一点都不满意了,然后就又去重新查找资料,重新思考证明的细微结构,等到一些完整的思想成熟起来就又重写一篇论文,因为脑子里的思想只有写出来时才是真实可靠的,每次写完论文,我都能感觉到自己朝着最后的目标又实实在在地前进了一步,但却总是达不到终点。已经记不清楚到底写过多少篇论文了,开始时我还把论文寄给一些专家和学刊,但后来我就下定了坚忍之心,若不达到最后的目标就绝不示之于人。我感到自己像是背着一个沉重的十字架,孤独地朝着最后的目标艰难前行,而不达到终点就不能解放自己,所以我除了坚持别无选择。人往往是不能够决定自己的命运的,但是我们却能决定自己的选择,这是一个人最后的自由和尊严。

 

后来,我的“流学”生活不期而然地结束了,又是一个偶然的机会,我回到了家乡,一直到现在。我的父亲忽然患了脑溢血,在医院里昏迷了四十多天,瘫痪了,祸不单行,由于受了刺激加之劳累过度,本来身体就很虚弱的母亲也病倒了,她是一个残疾人,右臂被机器轧断了,这次心脏功能衰竭以及两肺纤维化,病情反复了好几次,基本上是靠着药物维持着生命。我家境并不太好,为了救治两个病人,我们四处借债,可医药费这个“无底洞”是很难填平的,病情之沉重,人情之淡薄,确实很难很苦,可是再难再苦,你也只能自己咽下去。古人做人做事,都以“孝”为本,我谈不上有这种美德,只是眼见父母如此,老弱病残,不忍也不能离去,然而内心确实是很苦闷的,心中不免常常烦躁愤懑,往往又深深自责。一段时间,精神几乎崩溃,头脑胀痛得要命,里面却又空空如也,对自己这几年的生活和理想逐渐感到怀疑起来,人不免就变得有些猥琐和卑怯,真是天地之大却无处容身,但又无法逃避。一日闲读《曾国藩家书》,见到“好汉打脱牙,和血吞之”的话,不禁大为感慨,是啊,一个人再难再苦,这都是算不得什么的,个人的喜怒哀乐、悲欢离合都是微不足道的,重要的是他这一辈子想做什么和能做什么。由此反省自己,最重要乃是自己的思想,若放弃思想,就丧失了自己的根本,而若坚持思想,也就守住了自己的根本。于是,我下定决心再来重写论文,尽管谁都不相信我,但我不能不相信自己思考的那些东西。有了这个想法,就犹如一道闪电刺破黑暗,使我看清了迷失的道路,我变得沉默、冷静和倔强。像我这样一个始终失败的人,却从不感到无聊和空虚,我是孤独求胜,这是一种以必死的决心来追求必胜的信念。

 

等父母身体稍好些后,我就悄悄回了农村老家,在舅舅山上的农场里住了下来,这是历史学家吕振羽的故里,现在还有当年他为纪念母亲而修建的一座“留念庭”之遗迹,两根石柱上还能辨认出“念非一日勉尽子道殷殷,留是有年常怀亲恩耿耿”的字句。这块贫瘠而深袤的黄土地收容了我,让我默默耕耘,并真实感觉到自己生存于天地之间,那股浩然之气充溢于心腹之中。《易经•彖传》上说:“地势坤,君子以厚德载物”,又说:“天行健,君子以自强不息”,这才是宇宙的精神。我在山上住了一个多月,居然完全凭着记忆又把论文写出来了……

 


我是从1995年开始钻研CH问题的,当时是从概率归纳逻辑入手的,我发现如果要对不同概率演算系统作出合理解释,就必须要掌握集合论方面的知识。但当我读了一些介绍集合论的书籍后,就完全被无穷本身的奥秘迷住了。我至今还清晰地记得,当我第一次掌握超穷数这个概念时,感到异常震悸,在数学上竟然有如此创造性的能力。那时我的思维正处于活跃期,对新学习到的知识具有一种本能上的敏锐,不久我就对CH作出了一种直觉上的判断,这种直觉是很难用语言来讲清楚的。于是我就试着想把头脑里这种直觉的思想表达出来,逐渐逐渐就完全陷入进去了。我从北师大宿舍里搬出来以后,就在圆明园东门的树村租了一间房子,白天就去北大旁听自习,一边读书,一边写论文,整天都忙这个。现在回想起来,这段时期是我理智上收获最大的时候,我在学术上还有几个美妙的思想,都是在这段时期萌生的,或许我一生要做的事情都在这里面。日子过得简单而又充实。论文反反复复写了许多遍,每次写完就会发现还有很多漏洞,于是又去查阅资料,想清楚了又来重写,忙得不亦乐乎。现在来看当时的所谓“证明”,是非常荒谬的,但要证明的基本定理始终没有太大的变化。也就是说,我抓住了一个证明的方向,但还不清楚如何去具体构造这个证明。这是一个探索阶段,这样的生活我大概过了三年。

 

后来,这种田园式的学习生活被打断了,一个偶然机会,我回了家乡,正好父母都得了重病,我只得留下来照顾他们,陪他们住院治疗,根本脱不开身。有一年多的时间,完全与外界隔绝了,全部书籍也都留在了北京,我家乡是个小县城,找不到有用的书来读。前途对我来说是黯淡的。在郁闷中,我突然想到把很久没想过的论文再重新推敲一遍,在没有任何资料的情况下,完全凭着记忆写了两稿,还是没有突破……那是一个午后,母亲打完吊针睡觉了,我坐在另一张病床上写论文,突然头脑里灵光一闪,我奇迹般的想到了现在的论文中称之为“超幂集合”的这个概念,并且自然地写下了P(x)这个符号,一下子就让我对整个证明的意义豁然开朗了,我终于清楚地认识到了自己最终要证明的东西究竟是什么。我异常兴奋,一口气就爬到医院后面的山顶上,坐在草地上,望着山下河水奔腾着蜿蜒流向远方,我感觉到大自然所呈现出来的内在结构之美是如此深邃和谐,心里油然升起瑰美庄穆之感。我浑身不停颤栗,但内心却无比澄静。这或许就是马斯洛描述的那种心灵的“高峰体验”。后来我读到海森堡的自传,他谈到自己刚发现量子力学新理论时的感受:

 

“刚开始,我很惊讶。我感到,透过原子现象的外表,我看到了异常美丽的内部结构,当想到大自然如此慷慨地将珍贵的数学结构展现在我眼前时,我几乎陶醉了。我太兴奋了,以致不能入睡。天刚朦朦亮,我就来到这个岛的南端,以前我一直向往着在这里爬上一块突出于大海之中的岩石。我现在没有任何困难就攀登上去了,并在等待着太阳的升起。”

 

确实,一个人如果有过这样的“高峰体验”,那就绝不会感到人生空虚的。

 

弄明白整个证明的意义后,我就可以构造出一个具体的证明了。但我接下来的生活就陷入了要为生存而奔波不停的状态,差不多有四年多的时间我都在为生存而忙碌,我只能零零碎碎地思考,根本不可能投入到论文的写作中去。也尝试着写过几次,但都被现实打断了,我无法再过以前那种田园般的生活了。我所做的事和我所想的事是分离的,这是一件痛苦的事情。我感到困惑苦闷,有时甚至有些绝望,怀疑自己到底能不能最终解决这个问题,这么做到底有没有意义。人首先得生存,然后才能思想,我就经常处在这种矛盾的心情当中。罗素好像也这样说过,纯粹为生存而忙碌奔波是件痛苦的事,这种生活是没有意义的。直到2004年,我攒了些钱,才下定决心,停下一切工作,花了半年时间把论文写了出来。我的学术研究可以说是在完全孤独的状态下进行的。

 


如果从1995年正式开始研究连续统假设,那到我2016年底完成最终的论文,整整就是21年的时间。2004年,我写出原始论文后,也投了一些稿,但都没有回音,我也只能把论文压在箱底,毕竟我首要问题是面对生活,而不是兴趣。直到2010年,我在网上认识了S,才又引发了我的研究兴趣。

 

S是一位工程师,他提出了一个很有意思的问题,就是论证了实数可数,这显然是违背数学常识的。S在辩论中说服了H教授,让H对这个问题也产生了极大的兴趣,H是搞计算机的,但退休以后,完全被无穷问题给迷住了,结果他写了一本很厚的专著《统一无穷理论》,从计算机编码这个角度,详细论证了实数可数问题,并在科学出版社出版了,不料引起了数学界的较大争议,认为他的理论是“胡扯”、“反智的”,批评他是一个“伪数学家”,当时H承受了很大压力,但也激发了他的斗志。其实H是一个很纯粹的学者,当完全被一个学术问题迷住时,都是这个样子。

 

H的积极联络下,我们三人在香山组织了一个小型的无穷问题讨论会,后来我也参加了几次H组织的学术会议,算是混进了学术圈里,本来我完全是一个局外人,这一点我非常感谢H。重要的是,我的研究兴趣又被重新激发出来了。有两件事件是关键性的。

 

第一件事情,我把原始论文投给了一家逻辑学的专业刊物,没想到居然被接受审稿了,大概有一年的时间,审稿结果出来了,认为我的基本定义还有歧义。现在来看,这个审稿意见是正确的,因为我当时只是从形式上做出了一个证明结构,但对一些基本定义的理解还有很大歧义,我也没法说明自己证明的结果究竟有何数学意义,一些关键性的概念确实还是不清楚的。这刺激了我重新去思考证明中的基本定义。

 

第二件事情,我参加了H组织的小圈子讨论。争论的焦点是实数可数问题。我也先后给出了五、六个证明,然后在圈子里大家讨论,挑毛病。数学辩论是很残酷的,一个很小的漏洞就会推翻你整个证明,但这种残酷的辩论对澄清你的思考是大有帮助的。我特别感谢的是Z院士,他指出了我一个专业上的错误,我立即就明白了,还有一位不知名的网友SS,他也具体地指出了我的一个错误,这些批评意见对我搞清楚基本概念帮助极大。科学上的专业批评,这是非常宝贵的,因为自己在某个研究方向上往往容易形成惯性思维,就很难发现自己的错误。我在圈子里和网上跟大家辩论了将近3年,不仅搞清楚了实数可数问题的实质,而且最终搞清楚了解决连续统假设所有的基本概念问题。这个过程,也是一点一点积累起来的,要是没有这些残酷的辩论,我可能不会最终解决连续统假设,搞清楚它的真实数学意义。

 

在辩论过程中,我形成了对数学的一种经验主义认识,这算是在科学思想上的一个很大收获。在我看来,基础数学研究跟到南极这样无人的荒原上去探险是类似的,经典数学家也是到了无人区后,发现了一些新东西,然后就把这些新东西标记下来,这就是那些基本数学定理,这些基本数学定理联系起来后就绘成了一幅地图,这就是经典数学理论。我自己也在无穷的荒原上独自探索20年了,虽然我的装备不好,非常原始,但我一步一步、缓慢艰难地摸索了整个区域,看到了前人留下来的标记,也发现了前人没有看到的新东西,逐渐的,我对教科书上的内容就变得很容易理解了,在辩论中,我也能很快地指出对手的问题出在哪里。很多人,包括很多专家,其实对教科书的内容并没有真正搞懂,我用一个浅显的比喻就能说明这个道理:这些人,其实并未真正到过南极,他们只是看过南极地图,所以,他们并不理解真正的南极是什么概念;我虽然没看过多少南极的专业地图,但我在南极真实的地理环境里摸爬滚打20年,我对南极反而是有深刻理解的,这些直观的认识,是在地图上找不到的,这完全是一种经验的认知。数学并不神秘,它也是从一些基本的直观经验中发展起来的,没有这种直观的经验认知,就永远也不会领悟到真实的数学之美。数学绝不是什么殿堂,而是无垠的荒原,正如康托所言:“数学的本质恰恰在于它的自由性。”

 

在搞清楚全部的基本概念后,我再来重新推导论文就水到渠成了。我本来计划用半年时间来写完论文,但没想到一个多月就完成了,期间还去杭州美美地住了一礼拜。原来证明中的几个疑点完全弄清楚了,大体上就没有障碍了,余下的事情就是临机发挥了,这是一个不确定性的、创造性的过程,跟艺术家的创作过程相似。幸运的是,在写作过程中,我出乎意料地想到了两个关键性的概念,一个辖域,一个是同构函数,彻底地、也是神来之笔地推导出了结论,整个推理之链算是严密合缝了。当你没完全想明白时,创作是一个痛苦难受的过程,但当你完全掌握了要领,创作就是一个不断产生惊奇和喜悦的过程。这是一种美妙的体验,哪怕你经历再多痛苦,只要最后你能享受到这种体验,也是值得的。但现在回想我研究连续统假设的经历,我并不主张大家去追求这种体验,要是有来生,我也不愿再过这种经历,我本来只是一个少年诗人,却把自己的大半生消耗在数学定理的证明上,完全出乎我的本意,也完全是没有理由的,从我内心来说,我几乎是绝望的,因为我做的就是一件几乎不可能的事情。但我必须去做。因为,我们最终必须服从命运,而命运是不可知的。你相信命运,命运就带着你走;你不相信命运,命运就拖着你走。命运是必然的。即使你不愿意,你也必须跟着自己的内心去走,你别无选择。快到终点时,我要放弃同命运抗争,并感谢所有的人。“黑夜给了我黑色的眼睛,我却用它寻找光明”。

 

爱因斯坦回忆自己创建广义相对论时,也曾这样说过:“在黑暗中焦急地探索着的年代里,怀着热烈的想望,时而充满自信,时而精疲力尽,而最后终于看到了光明——所有这些,只有亲身经历过的人才能体会 。”这位伟大的天才说的只是他个人的体验。但在我们这个年代,所有人都在黑暗中焦急地探索着,但能否最终看到光明,这仍是不确定性的。因为,走出教科书,所有的知识都变得不确定了,但要是你不走出教科书,你也无法发现新的知识。科学创新的难题在于,你说自己发现了新的知识,那怎么来认可这些“事实”呢?因为,谁都没见过这些新东西。经典的、权威的体系是会反对这些新思想的,惯性思维也会否定这些新思想,而且,创新的风险巨大,新思想绝大多数也将是错漏的。康托提出集合论时,也不被主流数学家承认,这让他晚年精神变得有些失常,以至于后人评论说:新思想要被承认,必须等老一辈人都去世后,新一代人都成长起来了,人们的观念才会改变过来。从某种意义上讲,自由的发表、交流和辩论,是科学创新的源泉,要是没有这种机制,新思想就很难出头,人们习惯于在经典的、权威的确定性世界里生活,而创新永远是一些“冒险家”所为,他们绝大多数人都会死在路上,只有极少数人才会建立起一块新的领地,一种新的世界观。只有出于对未知世界纯粹的好奇心和宗教般的热忱,人们才会愿意去冒险探索不确定性的未来。我深信,任何创新和探索本质上都是绝望的,但只有在绝望中看到光明,才是生命的根本意义之所在。人注定去死,但又当下活着,这就是最大的悖论。要么庸碌地活下去,要么选择一种信仰之生活,没有信仰,向死而生就注定是无意义的。

 

    但这也没有什么好抱怨的,人们不理解新思想,这是很正常的,不能指望每个创新者都像爱因斯坦那么幸运。正规渠道的严格审稿也是完全必要的,但更重要的是要有大量非正规的自由发表、交流和辩论之渠道,这些自由渠道才是思想创新的肥沃土地,仅靠少数几个正规渠道,思想创新和知识创新的奔涌源流必将最终堵死枯涸。这才是当前我们面临的最紧要的事情。

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