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小学奥数-牛吃草问题

(2019-04-11 12:53:37)
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小学奥数

牛吃草

分类: 小学奥数

英国的著名物理学家牛顿曾编出过这样的一道题:农场上有一片青春,每天都生长的一样快。这片青草供给10头牛吃,可以吃22天,供给16头牛吃,可以吃10天,期间草一直生长。如果供给25头牛吃,可以吃多少天?这个问题因牛顿提出得名,叫牛顿问题。人们也把这类问题称作牛吃草问题或者是消长问题。

关键词:草的增长速度、原有草量、每天实际消耗的原有草量、实际消耗的总草量

小学奥数-牛吃草问题

解决这类问题的关键是要从变化中找到不变量。需要考虑的是在牛吃草过程中,草是不断变化的(或增长或减少)。但是农场上原有草量是不变的,每天变化的(增长或减少)草量也是不变的。根据这些不变量,我们推出牛吃草问题的四个基本公式。

1.草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多的天数-相应的牛头数×吃的较少的天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数)

2.原有草量=牛头数×吃的天数-草的增长速度×吃的天数

3.吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的增长速度)

4.牛头数=原有草量÷吃的天数+草的增长速度

小学奥数-牛吃草问题

解题步骤:

求出每天的草的变化量求出农场原有草量求出每天实际消耗的原有草量求出牛可吃的天数精讲1:牧场上有一片青草,牛每天吃草,草每天以均匀的速度生长,这片青草可以供给10头牛吃20天,供给15头牛吃10天。那么供给25头牛吃几天?

分析:设一头牛一天吃的草为1份。原有草量是固定的。在牛吃草的过程中,草每天都增加。牛吃草的天数越多,长出来的草就越多。现在10头牛吃20天,15头牛吃10天,10×20-15×10=50份,(如若理解不了这里,可以这样想:原有草量+20天增加草量=10头牛20天吃的总量=10×20份,原有草量+10天的增加草量=15头牛20天吃的总量=15×10份)多出来的50份就是(20-10)天的长草量。那么(10×20-15×10)÷(20-10)就是每天的长草量。

每天的长草量:(10×20-15×10)÷(20-10)=5(份)

牧场原有草量:10×20-5×20=100(份)或者15×10-5×10=100(份)

牧场25头牛每天实际消耗的原有草量:25-5=20(份)

25头牛可吃多少天:原有草量÷牧场25头牛每天实际消耗的原有草量=25头牛可吃的天数

100÷20=5(天)

解:(10×20-15×10)÷(20-10)=5(份)

10×20-5×20=100(份)

100÷(25-5)=5(天)

答:可以供给25头牛吃5天。

小学奥数-牛吃草问题

精讲2:天气渐渐变冷,牧场上的草不仅不增长反而以固定的速度减少。已知牧场上有一片草地,草地上的草可供给20头牛吃5天,15头牛吃6天,照这样计算可供给多少头牛吃10天?

分析:设一头牛一天吃的草为1份。原有草量是固定的。在牛吃草的过程中,由于天气变冷,草每天都均匀的减少。草每天减少的量是固定的。那么原有草量-5天草的减少的量=20头牛吃5天的草量=20×5=100份。原有草量-6天草的减少量=15头牛吃6天的草量=15×6=90份。那么(100-90)÷(6天草的减少量-5天草的减少的量)就是草每天的减少量。

每天草的减少量:(100-90)÷(6-5)=10份。

原有草量:20×5+10×5=150(份)或者15×6+10×6=150(份)

牧场10天实际消耗的原有草量:10×10=100(份)

10天可供多少头牛吃:(150-100)÷10=5(头)

答:可供给5头牛吃10天。

精讲3:自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶。已知男孩每分钟走20级台阶,女孩每分钟走15级台阶,结果男孩用了5分钟到了楼上,女孩子用了6分钟到了楼上。问:该扶梯共有多少级台阶?

分析:这个问题是典型的牛吃草问题的变形。我们首先要找到不变量即自动扶梯的速度是不变的。上楼的速度可以分为两部分,一部分是男、女孩自己的速度,另一部分是自动扶梯本身的速度。男孩5分钟走了20×5=100(级)台阶,女孩6分钟走了15×6=90(级)台阶。女孩比男孩少走了100-90=10(级)。但是多用了6-5=1(分钟) 。(重点说明:扶梯的台阶总数=5分钟男孩走的台阶数+5分钟扶梯走的台阶数,扶梯的台阶总数=6分钟女孩走的台阶总数+6分钟扶梯走的台阶总数)说明扶梯1分钟走10级。由于男孩5分钟到楼上,上楼的速度是自己的速度+扶梯的速度。所以扶梯共有(20+10)×5=150(级)。

解:自动扶梯每分钟走:(20×5-15×6)÷(6-5)=10(级)

自动扶梯共有:(20+10)×5=150(级)

答:该扶梯共有150级台阶。

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