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电算游戏(四)纯元数的实验与探究

(2010-09-27 08:49:45)
标签:

教育

分类: 科普

纯元数的实验与探究

4·1纯元数探秘及其等式队列

前面已经提到,由同一个数字构成的数我们称作纯元数。所列出的等式队列的根源,似乎都同纯元数有关:12345679×9111111111,12222221×909091=11111111111111,

1111111111×11111111111234567900987654321,1111111112=12345678987654321,…

等等。虽然22…22,33…33,……,99…99,也是纯元数,但是没有特别说明,我们一般所说的纯元数,均指111…111。

为了表示方便,如果111…111中1的个数是m,我们记作F(m),比如11111≡F(5)。

作为等式队列,有的巧妙,如回文数,有的整齐,如同穿上制服的军队,穿上校服的学生,数字“清一色”或排列有序,是特别受到青睐的,所以纯元数扮演了等式队列的主角。有一些整齐的等式可能是偶然发现的,比如“缺8数”,偶然中的必然却是需要探究的,这就是数学!我们更需要的是按照数学规律寻找等式队列。

实际上:111111111是九个1,数字之和是9,因此它是9的倍数;九个1是3个111,因此又是111的倍数。其中111=3×37,于是我们得到

111111111=3×3×37×333667,

等式右边分组求积,得到:3×3=9,37×333667=12345679。这就解开了“缺8数” 12345679×9111111111的神秘面纱。

在自然数的探究中,质因数分解如同我们体检的时候做“X光”透视,观察内部情况,便于分析内在关系

如果您细心观察了F(m)平方数构建的数字大厦,会发现“缺8数” 12345679在大厦中反复出现,原因就在于它本身就是F(9)的一个因数。

同样,有了F(14)=11111111111111=11×239×4649×909091,

等式右边前三项求积:11×239×4649=12222221,

就有颇具神秘的等式12222221×909091=11111111111111,及其衍生的等式队列。

我们又得到8个1,10个1和12个1的纯元数的质因数分解,试试分组求积,取有趣的作为等式队列的源头:

F(8)=11111111=11×73×137×101=101×110011,     -----------------(i)

F(10)=1111111111=11×41×271×9091=1122211×9091,---------------(ii)

F(12)=111111111111=3×7×11×13×37×101×9901

=(3×101×9901)×(7×11×13×37)=37037×3000003------(iii)

在Excel工作表中计算,分别用101×110011=11111111,1122211×9091=1111111111和37037×3000003=111111111111三个等式做出等式队列

   (i) 110011乘以9,101依次乘以1,2,3,......,7,8,9,得到等式队列:

101×99009999999999

202×990099199999998

303×990099299999997

404×990099399999996

505×990099499999995

606×990099599999994

707×990099699999993

808×990099799999992

909×990099899999991

(ii) 9091依次乘以1,2,3,......,7,8,9得到等式队列:

9091×112221110202020201

18182×112221120404040402

27273×112221130606060603

36364×112221140808080804

45455×112221151010101005

54546×112221161212121206

63637×112221171414141407

72728×112221181616161608

81819×112221191818181809

(iii)  3000003乘以9再依次乘以1,2,3,......,7,8,9得到等式队列:

3000003×37037111111111111

27000027×37037999999999999

54000054×370371999999999998

81000081×370372999999999997

108000108×370373999999999996

135000135×370374999999999995

162000162×370375999999999994

189000189×370376999999999993

216000216×370377999999999992

243000243×370378999999999991

F(12)=111111111111=(11×13×37×101)×(9901×3×7)=534391×207921,分组不同,求积得到不同的表示,因此得到的等式队列不同,但是右边相同。

534391×207921111111111111

4809519×207921999999999999

9619038×2079211999999999998

14428557×2079212999999999997

19238076×2079213999999999996

24047595×2079214999999999995

28857114×2079215999999999994

33666633×2079216999999999993

38476152×2079217999999999992

43285671×2079218999999999991

   隐去质因数的真面目,变化多多,因人而异,结果各有千秋。

   将上述各等式队列堆叠起来,也是数字大厦。

找等式队列,我们从寻宝开始,也会偶有收获,进而探幽,寻求隐藏“偶然”背后的秘密。现在进入佳境,揭秘并且创造属于自己的等式队列,您试试,成功的喜悦欢迎您!

我们知道,纯元数1111……11中,如果是偶数个1,必定被11整除,得到等式队列:如11111111×10101
   
同样地,纯元数111……111中,如果1的个数是3的倍数,必定被111整除,得到等式队列:如111111111×1001

    对各等式的来源我们已经心中有数了!

     在计算器中都可以进行运算。如果对以上纯元数进行质因数分解,而后拆分组合,又可以得到创建等式队列的素材:

111111×101

11111137×3003

1111111173×152207

11111111137×3003003

11111111119901×11222211

11111111111137037×3000003

111111111111114649×2390000239

111111111111111138232951×290616

11111111111111111888888877×5882353

111111111111111111333667×333000000333

纯元数的性质与纯元数分解

 

       设k个组成的数 1111…11记作111…11(k个1),用函数式可以表示为

111…11≡F(k)=1+10+100+1000+……+10k-1

                                =1+102+103++……+10k-1 。  (k=1,2,3,...)   

性质1:如果n=km,那么F(km)= [1+10k+102k+……+10k( m-1)] ·F(k)。

(m,n,k=1,2,3,...)

证明:F(k)≡ (k个1), 于是

      F(km)= ……   m ,每个 长度为k

+ ·10k+ ·102k+……+ ·10k( ( m-1)

·[1+10k+102k+……+10k( m-1)][1+10k+102k+……+10k( m-1)]· F(k)

证明完成。

例如    F(12) 1111111111113×7×11×13×37×101×9901

11×10101010101 (K=6, m=2,其中3×7×13×37×101×9901 =101010101)111×1001001001 (k=3, m=4,其中7×11×13×101×9901 =1001001001)

1111×1000100010001 (k=4,m=3,其中3×7×13×37×9901 =1000001)

111111×1000001 。   (k=6,m=2其中,101×9901 =1000001)

性质2:设n=km, 如果质数p整除F(k),那么p整除F(km),

即:若质数p整除F(k),那么p整除F(km)。

证明:∵n=km,且p整除F(k),根据性质1,有

   F(km)= [1+10k+102k+……+10k( m-1)] ·F(k)

∴   p整除F(km)。(证毕)

(说明:两个性质都是基本的,这里只是将它们用于纯元数,并且用中学的方法给以证明)。

特别地,偶数个1组成的纯元数F(2m)均能被11整除,除了11是质数,其他都是合数;而 n=3m时,F(3m)均能被111(3×37)整除,所以都是合数。

11 11 11 …… 11 11    (m个11)

11+11·102+11·104+……+11·102m-1

11×10101……01m-101

111 111  …… 111 111            (m个111)

111+111·103+111·103+……+111·103(m-1)

111·[1+102+103+……+103(m-1)]

111·1001001……001         (m-1个001)

例:已知41整除F(5),试分解F(15)为质因数的积。

解:∵15=3×15,∴F(3)和F(5)都能整除F(15),即

111111111111111=111×11111·y ,

已知41整除11111, 由11111÷41=271   (271是质数),

得        11111=41×271,

又        111=3×37,

∴   111111111111111=3×37×41×271·y

                    =1233321·y,        

y=90090991=31×2906161

∴111111111111111=3×31×37×41×271×2906161。

涉及到自然数整除的性质,应该掌握如下规律:

一个自然数,如果数字之和被3整除,这个自然数也被3整除,一个自然数,如果数字之和被9整除,这个自然数也被9整除;

一个自然数,如果奇数位数字之和跟偶数位数字之和相等,或两者的差被11整除,这个自然数也被11整除;

一个自然数如果被1001整除,这个自然数也被7×11×13整除。

    有了以上常用的自然数整除的性质,本文中提到的两个性质,试加以证明:

    (1)纯元数1111……11中,如果1的个数是偶数,它被11整除;

(2)纯元数111……111中,如果1的个数被3的整除,它被111整除。

推论   F(km)=111…11·100…0100…0100…01……00…01 , 其中:

111…11有m个1,共(k-1)个“00…01”,“00…01”有(m-1)个0。

如   F(15)=111111111111111=111×1001001001001=11111×10000100001,

F(42)=1111111×100000010000001000000100000010000001,(m=7,k=6)。

有了这些基本的规律,我们就可以使用电脑的32位计算器,分段分解64个以下的大多数纯元数。

例:分解F(42)=111111111111111111111111111111111111111111为质因数的乘积。

∵42=6×7,

∴F(42)=111111×1000001000001000001000001000001000001------①

(1后边有6个000001),111111的质因数都是F(42)的质因数

F(42)=1111111×100000010000001000000100000010000001------②

(1后边有5个0000001),1111111的质因数都是F(42)的质因数

已知   111111= 3×7×11×13×37, 1111111= 239×4649,

因此3,7,11,13,37,239,4649都是F(42)的质因数,但是不是全部!

用这些质因数依次去除F(42)所得到的商,再进行质因数分解,可以得到F(42)的质因数分解。

当然用3×7×11×13×37×239×4649=123456654321去除F(42)所得到的商,再进行因式分解,同样可以得到F(42)的质因数分解。

F(42) = 111111111111111111111111111111111111111111

3×7×7×11×13×37×43×127×239×1933×2689×4649×459691×909091×10838689。

如果用①的111111去除②后边的数100000010000001000000100000010000001,即

100000010000001000000100000010000001/111111

=900000990000999000999900999991

            =7×43×127×1933×2689×459691×909091×10838689

所得到的质因数都是F(42)的质因数,就可以找到全部F(42)的质因数。

后面这种方法,因为除数111111结构简单,做除法比较方便!

 

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