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信号的时移尺度变换及时间反转问题

(2016-05-09 20:01:48)
标签:

信号与系统

信号

时移

尺度变换

时间反转

信号的时移尺度变换及时间反转问题

注:由于文章中相关数学公式在博客中排版会有问题,因此欢迎移步至此处,查看下载该文档的PDF格式。

        这个问题通常蛮容易令人混淆的,首先,我们应该明确对一个原始信号x(t)信号做时移、尺度变换、时间反转等操作时,务必要按照先时移->时间反转->再尺度变换的原则来做,实际上时间反转可以包含在尺度变换中,以为我们知道尺度变换是在t上乘以一个数,当然这个数可以是-1,因此时间翻转和尺度变换的两个之间的顺序并不那么重要,但实际上先做时间翻转再做尺度变换会更加方便些。

        对x(t)->x(clip_image002) 这样处理应该理解为两步骤

(1) x(t)向右时移5得到 x(t-5)

(2) x(t-5)做尺度变换得到x(clip_image004 - 5),由于t上面乘以clip_image006 所以实际上是对信号图形进行了拉伸,因为在尺度变换后t=3时才能取到尺度变换之前t=2时的值,取写转折断点这些特殊点做变换画图就行了。注意无论是拉伸还是压缩,都是以t=0点为中心的,因为在该点函数值是不可能变化的

        对x(t)->x(clip_image008) 这样处理应该理解为三步骤

(1) x(t)向右时移5得到 x(clip_image010)

(2) x(t-5)以y轴为对称轴做时间翻转得到x(clip_image012)

(3) x(clip_image012[1])做尺度变换得到x(clip_image014),由于t上乘以clip_image016所以是对(2)得到图形进行了压缩,因为尺度变换后的图形在t=3时已经能取到变换前t=4的图形值了。

        对y(t)= x(clip_image008[1]) 做整体时移

        要是对一个已经做过尺度变换的图形再做整体时移,该怎么处理呢?例如对上面x(clip_image008[2])这个信号需要进行左移3个时间单位,所以如果直接在x()的括号内+3这显然是不行的,因为它已经违背了我们先时移再尺度变换的原则,它已经是一个尺度变换过的信号。

        令y(t)= x(clip_image018),如果我们不看y(t)后面是如何表示的,那么y(t)就代表了一个新的图形的整体,并且以这个新的图形为参照物来看,它并未做任何尺度变换因为y(t)中的t干干净净,没有黏上任何的系数,因此y(clip_image020)肯定是可以的,也就是把y(t)整体左移了3个时间单位,根据基本的数学变量替换原则,只要将(clip_image020[1])做为替换变量直接整体代替右边的表达式中的原来的变量t就可以了y(clip_image020[2])= x(clip_image022)= x(clip_image024)= x(clip_image026) ,这才是将一个已经尺度变换过的信号整体平移的正确方法。实际上整体时移是受到了尺度变换所影响的。

        已知某一LTI系统输入x(t)输出为y(t)= x(clip_image008[3]),当输入为x(clip_image028)时,输出z(t)为多少?

        这种情况是时移了最原始的输入信号,而不是对输出结果信号进行整体时移了,因此跟上面不同。实际上这种情况很简单,直接往x(clip_image018[1])括号里放时移量变成x(clip_image030),即得该系统当输入为x(clip_image032)时输出z(t)= x(clip_image030[1])。为什么直接放就行了,因为从上例可以看出如果对一个已经做了尺度变换的信号进行整体时移,那么时移量是跟尺度变换相关的,故不能直接往括号里面放。但如果是对原始输入信号进行平移,那么平移量跟尺度变换就没有关系了,因为我们的步骤是先时移再做尺度变换。因此更加严谨一点的话你可以重新按照步骤走一遍对x(clip_image032[1])向右时移5个时间单位,再进行时间翻转,再进行尺度变换,这样得到的结果是完全一样的,因为对原始信号的时移完全没有被尺度变换影响,因为我们总是对信号先时移再尺度变换的。

从数学角度具体化尺度变换的数学关系

通常,我这样混淆如果由clip_image034 两者到底哪个是压缩哪个是拉伸。实际上这种混淆根本上产生的原因我觉得是表示时间的那个字母t,clip_image036 中两个括号中的t对等吗,虽然他们都表示时间取值,但是实际上他们的范围并不一样。

设信号 clip_image038

引用张宇老师经典的变量替换说法 clip_image040,反正x()括号内的一坨,管它是什么,它的取值范围就是clip_image042, 所以:

clip_image044

因此可以得出结论clip_image046 这里的t已然是新信号的t了,它跟原来

clip_image048

中的t已经不是一个东西了。一样的还是x()中的那个狗。

由于知识有限,如有理解或者书写上的错误欢迎指出,并请随时关注该文档的讨论及修正版的发布位置:www.isoebbs.com .

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