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50道杂题别解(第一部分)

(2013-06-26 15:07:31)
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分类: 国际国内杯赛试题与信息
【从事小学数学教育50年的两位老教师,贵在从教50年后依然有激情有创造力,膜拜一下。
彭伏元;小学数学思考题教学的几点体会[J];安徽教育;1980年04期 
来源:《安徽教育》1984年第12期小学五年级应用题简析作者:高崇康 ,胡炳卿
来自:http://www.gaoqischool.com/detail.php?cid=35&did=1548&page_type=article
关于《50道杂题别解》和多余的话 (数学特级教师 高崇康)
发布时间:2006-10-27   来源:校办   作者:校办
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50道杂题别解(第一部分)

 

50道杂题别解(第一部分)

 

50道杂题别解(第一部分)

 

《50道杂题别解》(一)
发布时间:2006-10-27   来源:校办   作者:校办
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50道杂题别解(第一部分)

 

50道杂题别解(第一部分)

 

《50道杂题别解》(续二)
发布时间:2006-11-06   来源:校办   作者:校办
【浏览次数:501 次】 【字体:  】 【打印本页】 【关闭窗口

【问题   5个不同的自然数,使得其中任意3个数的和都是3的倍数,这5个数的和最小是多少?

           这是一道数字问题,成题后,彭伏元校长向我提出建议:是否限制为“非零自然数”,这样解题的答案就是唯一的。这个提议非常好,也非常重要。我见到本题是十多年前的事了,现在的教材已经把“0”纳入了自然数范畴,把过去为了使小学生能比较顺利地学习数的整除知识的权宜之计改了过来,这是本质上的恢复。我想,如果不改题目,而在解题时考虑两种不同情况的解,是不是也很有意义呢?

          因此,在解这个问题时,要考虑到:1.非零自然数;2.包含“0

在内的自然数两种解。

【这真的是数学老师】

 

《50道杂题别解》(三)
发布时间:2006-11-06   来源:校办   作者:校办
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问题   5个不同的自然数,使得其中任意3个数的和都是3的倍数,这5个数的和最小是多少?

分析与解  由于现在的教材已经将“0”纳入自然数范畴,所以在解题时应该将“0”考虑在内,那么,“0”就是最小的自然数。如果5个自然数被3除的余数不全相同,则至少有1个余数与其他余数不同,而且至少有两个余数相同(012)。这样从中总能找到3个数,它们的和不是3的倍数。为了使所取的5个自然数的和最小,我们就要把取“0”考虑在内。任意自然数被3除,余数有012三种情况。如果5个自然数被3除的余数完全相同(5152或者50),那么,任意3个数的和一定都能被整除。

所以,要符合题目要求,这5个自然数被3除的余数必须相同。只有在余数完全相同的条件下(全部是012),才能够保证其中任意3个数的和能被3整除。要使这5个自然数的和尽可能小,就必须取自然数列中靠前的3个被3除余0的数,即取036912。这样,所取的五个自然数的和最小是(036912 =30

如果是非零自然数,那就应该取被3除余1的数,即取:1471011。这五个自然数的和最小是(1471013 =35
    
如果把题目稍作改动:在若干不同的自然数中,至少要从中取出多少个数,才能保证其中必有3个数的和是3的倍数。这就与下一题的意思一样了。考虑这一题的解法,也就考虑了问题四的解法。

 

 

问题   有若干个不同的自然数,至少要从中取出多少个数,其中必有4

个数的和能被4整除?

这道题与问题3有一定的联系。要使得任意3个数的和能被3整除,需要5个数,4个数行不行呢?弄清楚这个问题,对解答本题有“相当”的帮助。那么,到底至少要取出多少个数,才能保证其中必有4个数的和能被4整除呢?根据我们发现的规律,如果有可能,是不是还可以多考虑一些,比如“至少要从中取出多少个数,其中必有5个数的和能被5整除”,“至少要从中取出多少个数,其中必有6个数的和能被6整除”…呢?甚至,还能找出一个“通式”,把所有类似的问题都解决呢?

 

《50道杂题别解》(四)
发布时间:2006-11-15   来源:校办   作者:校办
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50 道 杂 题 别 解13/11/2006

 

问题      有若干个不同的自然数,至少要从中取出多少个数,其中必有4个数的和能被4整除?

 【分析与解】

 

任何自然数被4除的余数只有0123四种情况,因此本题可以转化为:在足够多的0123的数群中,至少需要取出几个数,才能保证其中4个数的和一定能被4整除?如果余数相同的4个数,它们的和一定都能被4整除。下面我们就来讨论余数不一定相同的4个数,它们的和是不是也一定能被4整除的问题。因为任意多个余数是“0”的自然数的和都能被4整除,所以我们只需要讨论余数是123的情况就可以了。

根据“抽屉原理”,我们可以把除以4的余数123分别作为3个抽屉:如果是4个数,那么,只有一个抽屉有2个数,不能保证一定能被4整除;如果有5个数,那么,就有两个抽屉里有2个数,或者有1个抽屉里有3个数,“1”和“2”、“2”和“3”不行,3个“1”、“2”或“3”也不行;如果有6个数,只有3个抽屉里都有2个数,或者两个抽屉里各有三个数时可以。如果有7个数,我们只要讨论前6种情况就可以了。

 

             抽屉“1        抽屉“2”        抽屉“3        结论

                 3                3                1            可以

                 3                1                3            可以

                 3                2                2            可以

                 2                2                3            可以

                 2                3                2            可以

                                           可以

                 4                1                2            可以

                ……             ……             ……          ……

经列表观察:如果取7个数,不管各个抽屉里是几个数,都有四个数的和能被4整除。所以在若干个自然数中,至少要取出7个数才能保证其中有4个数的和能被4整除。

同理,可以找出至少要取出9个数才能保证5个数的和能被5整除;至少要取出11个数才能保证6个数的和能被6整除,……   所以,如果要取出若干个数,使其中n个数的和一定能够被n整除,至少要取多少个数的一般通式为:

2n1)+1 = 2n21 = 2n1.

              

 

我们还可以这样证明关于在任意7个自然数中,必有4个自然数的和是4的倍数:因任意3个自然数中,必有2个自然数的和是2的倍数。任意个自然数非奇即偶,3个数中一定至少有两个数同奇偶,则它们的和是偶数,即2的倍数。

 

证明   7个自然数中任取三个,则在这三个数中必有两数之和为偶数,(a1+a2);在余下的5个自然数中再任取三个,则在这三个数中也必有两数之和为偶数,(a3+a4);那么,在余下的3个自然数中,也必有两数之和为偶数,(a5+a6);因为a1+a2a3+a4a5+a6均为偶数,它们被4除的余数只有02两种,则a1+a2a3+a4a5+a6中一定而且至少有两个余数相同,所以它们的和一定是4的倍数。

 因此,我们可以反过来叙述:任意3个自然数中,必有2个自然数的和是2的倍数,取这2个数;再任意取3个自然数,情况同上,又取2个数;第三次再取3个自然数,其中必有2个数的和是2的倍数。这样共取(223 =7个数,所以说至少要取7个自然数,才能保证其中必有4个数的和能被4整除。

 

问题5 一群同学计划合伙买一个大型玩具。后来,有10个同学说不参加了,这样余下的每个同学就要多出1元钱。到结伴去买玩具时,又有15个同学退出,这样余下的每个同学又要多出2元钱。问:一开始这一群计划合伙买玩具的同学一共有多少人?

 

        这道题,用方程解可以列二元一次方程组,但列方程容易,解方程难,尤其是学生;也可以列一元一次方程来解,但解方程容易,列方程难。如果您能列出简易方程,您就同时还能用算术方法解。您看,我真是废话连篇,耽误了您思考的时间,实在抱歉,就此“带住”!

 

《50道杂题别解》(五)
发布时间:2006-11-20   来源:校办   作者:校办
【浏览次数:610 次】 【字体:  】 【打印本页】 【关闭窗口

 

50 道 杂 题 别 解20/11/2006

 

问题5 一群同学计划合伙买一个大型玩具。后来,有10个同学不参加了,这样余下的每个同学就要多出1元钱。到结伴去买玩具时,又有15个同学退出,这样余下的每个同学又要多出2元钱。问:一开始这一群计划合伙买玩具的同学一共有多少人?

 

【分析与解】

        解一:设原来有x人,每人负担y元。(以总钱数为等量关系)

             xy =y1)(x10            x = 10y10 …………①

             xy =y12)(x1015     3x25y = 75…………②

             代①入②: 31010)-25y = 75    5y = 45    y = 9

             y入①: x = 10×910      x = 100

       解二:设原来有x人,每人负担y元。(以因退出减少钱数为等量关系)

             10y = x10)×1                  10y = x10 ……①

             15×(y1x1015)×2      15y = 2x65……②

                ①×3得:30y = 3x30       

②×2得:30y = 4x130

             消元后得:3x30 = 4x130    x = 100

       解三:因为(平均费用×10/(总人数-15= 1

                  [平均费用×(1015]/(总人数-1015= 12

             那么,平均费用 =(总人数-10/10

                   平均费用 =[(总人数-1015)×3]/1015  

             [1×(总人数-10]/10 = [3×(总人数-1015]/1015

             设原来的总人数为x人。(以平均费用为等量关系)则有方程

                [1×(x10]/10 = [3×(x1015]/1015

                     25×(x10= 10×3×(x25

                         25x250 = 30x750     5x = 500    x = 100

       解四:因为平均费用 =(总人数-10)÷10 = 总人数÷101

                 平均费用 =[(总人数-1015)×(12]÷(1015

总人数×3/253   

             所以  总人数/101 =(总人数×3/253

                   总人数×3/25-总人数×1/10 = 31

                   总人数×(3/251/10= 2     故可以推导出算术解:

                   211)÷[12/1015)-1/10]

                  = 2÷(3/251/10

= 2÷1/50 = 100(人)

解五:设原先同意购买的人数为x,则1×(x10)元是原先10人付款数;(12×x1015)元是原先(1015)付款数。根据每人付款数一定的条件,则付款人数与付款额数成正比关系.由此可见,此题可以用比例来解答:

10∶(1015= 1×(x10)∶(12)×(x1015

25 = x10)∶3×(x25

2×3×(x25= 5×(x10

6x150 = 5x50

x = 100

 

 

 

 

【问题 6 】有一列数:11989198811987,……,从第三个数起,每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差.那么第2006个数是多少

 

        解这道题的关键是根据规律找到合适的解题方法。方法正确了,解题的过程就会非常简单,方法如果不合适,解题的过程就会变得很复杂。您在思考和试解的过程中,体会一定会非常深刻。

 


 

 




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