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20以内4和6的倍数中各任取一个数相加,不同的和数有多少个?

(2013-06-26 14:47:52)
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数值

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下图

内大

个例

分类: 小升初信息与经验交流

http://home.51.com/pxb1957/diary/item/10033523.html

2008-10-23的日记2008-10-23 10:24

问题 15 】 在100以内5的倍数和7的倍数中,各任取一个数相加,一共有多少种不同的和数?

【分析与解】 100以内5的倍数有:5,10,15,……,95,100,一共20个。

            100以内7的倍数有:7,14,21,……,91,98,一共14个。

          那么,按题意一共有20×14 = 280(个)和数。其中最小的和数为5+7 = 12,最大的和数为100+98 = 198,由此可知和数均在12和198之间。不同的和数有198-12+1 = 187(个)。但这些和数中12+1,12+2,12+3,12+4,12+6,12+8,12+9,12+11,12+13,12+16,12+18,12+23及198―1,198―2,198―3,198―4,198―6,……,198-16,198―18,198―23,一共有12×2 = 24(个)是5与7的倍数相加不可能得到的和。所以不同的和数实际上只有:187-24 = 163(个)。

          有没有别的方法呢?或者说有没有不仅可以求5和7的倍数,还可以求其它倍数的不同和的个数呢?我们通过较小数来观察,看看有没有规律可寻。

          比如,在20以内3和5的倍数中各取一个数相加,一共有多少种不同的和数?

3(A)的倍数有:3,6,9,12,15,18共6(N)个;5(B)的倍数有:5,10,15,20共4(M)个。我们把它们的和排列起来:

第一行:3+5=8,6+5=11,9+5=14,12+5=17,15+5=20,18+5=23;

第二行:3+10=13,6+10=16,9+10=19,12+10=22,15+10=25,18+10=28;

第三行:3+15=18,6+15=21,9+15=24,12+15=27,15+15=30,18+15=33

第四行:3+20=23,6+20=26,9+20=29,12+20=32,15+20=35,18+20=38.

                    N=6                              行数表示5的倍数的个数,

                11  14  17  20  23              列数表示3的倍数的个数。小倍

M=4  13    16  19  22  25  28              数3用A表示,大倍数5用B表

            18    21  24  27  30  33  A=3        示。                      

23    26  29  32  35  38                                

                    B = 5                          

从图表中可以看出:每行的六个数表示20以内3的倍数有6个(用N表示);

每列的四个数表示20以内5的倍数有4个(用M表示)。

这时我们发现第一行的最后一个数23与第四行的第一个数23是重复数。本来它们相加的和数有6×4=20个,但由于有一个重复的数23,所以就只有24-1=23个不同的和数了。下面我们再仔细地观察,又会发现由下往上去掉3行,就剩下了第一行,而这个“3”正好是小倍数的3,我们用“A”来表示;再由左向右去掉5列,就剩下了第六列,而这个“5”也正好是大倍数的5,我们用“B”来表示。同时我们还发现这个第一行的第六列的数,正好是重复的和数23。这样我们就把重复数23给找出来了:(4-3)×(6-5)= 1×1 = 1(个)相同的和数,那么,不相同的和数就一有: 

4×6-(4-3)×(6-5)= 24-1×1 = 24-1 = 23个(不同的和数)。如果我们用字母表示,则为:M×N-(M-A)×(N-B),就是不相同的和数的个数。

真的是这样的吗?会不会是巧合呢?我们不妨再来举个例子,看看怎么样。



      又比如,40以内2和7的倍数中,各任取一个数相加,一共有多少种不同的和数?

40以内2的倍数一共有[40/2] = 20(个);7的倍数一共有[40/7]= 5(个)。

用上述的方法,阴影部分(重复数)为(M-A)×(N×B)= (20-7)×(5-2)

= 13×3 = 39(个)重复的数。(见下图,那么不相同的和数有100-39 = 61个)



09  11  13  15  17  19  21  23  25  27  29  31  33  35  37  39  41  43  45  47  

16  18  20  22  24  26  28  30  32  34  36  38  40  42  44  46  48  50  52  54

23  25  27  29  31  33  35  37  39  41  43  45  47  49  51  53  55  57  59  61

30  32  34  36  38  40  42  44  46  48  50  52  54  56  58  60  62  64  66  68  

37  39  41  43  45  47  49  51  53  55  57  59  61  63  65  67  69  71  73  75



用上述方法则  M×N-(M-A)×(N-B)= 20×5-(20-7)×(5-2)=61(个)。



    再比如在20以内4和6的倍数中各任取一个数相加,不同的和数有多少个?

N=5                          4的倍数有:[20/4]= 5(个)

      10  14  18    22  26                  6的倍数有:[20/6]= 3(个)从图上看

M=3  16  20  24    28  32    A=2        重复的和数有22,26两个,它们的位置

      22  26  30    34  38                在M-A=3-2=1即第一行;N-B=5-3=2,

        B=3                                即后两列。但是如果按照上述方法计算不

同的和数:M×N-(M-A)×(N-B)=3×5-(3-4)×(5-6),无法计算,这是为什么?

      需要注意的是因为6和4不是互质数,用6和4除以它们的最大公约数后所得到的商

作为大小倍数。即(4,6)=2,4÷2 = 2(小倍数即A),6÷2 = 3(大倍数即B),则不

同的和数为:    M×N-(M-A)×(N-B)=5×3-(3-2)×(5-3)= 13(个)



现在我们用M×N-(M-A)×(N-B)这个通式来解决原题:

100以内5(A)的倍数有:[100/5]= 20(N)

100以内7(B)的倍数有:[100/7]= 14(M)

M×N-(M-A)×(N-B)

= 20×14-(14-5)×(20-7)

            = 280-9×13

              = 280-117 

= 163        

答:一共有163个不同的和数。



        A表示较小的倍数,B表示较大的倍数,M表示在数的范围内大倍数的个数,N表示小倍数的个数。那么,在A和B中任意各取一个数相加,不同的和数一共有多少个?解决这类问题可以用下列通式来计算:

M×N-(M-A)×(N-B)

        需要注意的是如果两个倍数不互质,必须先将这两个数除以它们的最大公约数,用除得的商分别作为大、小倍数(A和B)。在规定的数值范围内,大、小倍数的个数可以用原来的倍数去计算。

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