加载中…在“一一列举”中培养逻辑思维能力——以《鸽巢问题》为例
(2020-03-29 17:03:20)
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湖北教育教师教海寻理教育 |
分类： 约稿 |
文 /
曹艳红
《鸽巢问题》是人教版小学数学六年级数学广角中的内容。鸽巢问题又称为抽屉原理，是数学重要原理之一，在现实生活中有广泛的应用。这部分内容对于不少学生来说十分抽象，所以教师难教，学生难学。笔者在深入研究教材、充分了解学生的基础上，在“一一列举”这一环节，重视搭建“一一列举”这个脚手架，让学生的思维顺着“一一列举”拾级而上，逐步提升，让数学逻辑推理能力得以培养，让抽屉原理的数学模型得以构建。
一、在一一列举中理解
通过课前交谈，教师发现学生对鸽巢问题基本形式表述中的“总有”“至少”等关键词没有真正理解。这两个词语是分析和理解问题的关键，这一单元所有的讨论都由此展开，是学习的重点和难点。虽然教师在前一环节让学生整体读一遍题目，“4支铅笔放在3个笔筒里，总有一个笔筒至少有2支铅笔”后，再问学生“总有、至少”分别是什么意思，学生能说出“总有就是一定有，至少就是最少、最起码”，但还有不少学生理解不透，甚至产生这样的疑问：“一个笔筒里至少有2支铅笔，还有的笔筒里连1支笔都没有，这个笔筒里的笔不是最少的吗？”因此，在学生动手把4支铅笔放到3个笔筒时，不管学生用哪一种放法，笔者都追问：“总有一个笔筒里至少有2支铅笔，这种摆法中究竟是哪个笔筒？为什么是这个笔筒？”学生给这种情况做上标记，认识到研究的就是这种特殊情况，至少放进2支笔就是最少是2支，比2支多也是可以的，3支、4支都是符合要求的。
这种引导加深了学生对鸽巢问题的基本形式中关键词语的理解，形成了对抽屉原理的初步认识。
二、在一一列举中思维
学生动手操作时，往往处于一种无序的状态。因此，在分小组展示时，教师提出这样的问题：“你发现有几种摆法？怎样做到既不重复也不遗漏？”在思考的基础上，学生再次梳理操作过程，自主记录四种情况的思维过程：把4支铅笔全部放到第1个笔筒里，第2个笔筒和第3个笔筒里铅笔的支数则为0。然后把第1个笔筒放3支铅笔，剩下1支铅笔，放到第2个笔筒，则第3个笔筒里铅笔支数为0。放2支铅笔到第1个笔筒，剩下2支铅笔放到第2个笔筒，则第三个笔筒里铅笔支数为0。第1个笔筒里放2支铅笔，第2个笔筒放1支铅笔，剩下1支放进第3个笔筒里了，学生在有序操作过程中，边说边展示分的过程和分的结果，经历了直观形象地理解抽屉原理的形成过程，不仅积累了基本的数学活动经验，而且培养了思维的条理性，为培养逻辑思维奠定了坚实的基础。
三、在一一列举中优化
教学环节进行到这里，教师让学生观察四种摆法“哪一种与众不同，并说说理由”。学生交流中指出，4支铅笔放在3个笔筒里，先在每个笔筒里放1支，剩下1支放在任意一个笔筒里，也就是上面讲的第种分法，会产生至少有一个笔筒放2支。这种摆法，是什么方法？学生通过对一一列举中这4种摆法进行观察分析，原来第种是一种最特殊的情况，也是最不利原则。
当我们以后面对当数量比较大的鸽巢问题时，还把所有情况一一列举出来吗？你认识到一一列举有什么局限性？学生认识到，当数量比较大时，一一列举就不可能把所有情况都列举出来。此时学生认识到，像这种尽量平均分就是一种“假设法”，先假设每一个笔筒都有。以“平均分”直观展示，学生从“一一列举”中与已有的知识经验发生联系，让思维逐步走向深入。
四、在一一列举中归纳
抽屉原理难，难在模型的建立上。因此笔者设计了一组练习，让学生填一填：
5支铅笔放在4个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒至少有（ ）支铅笔。
6支铅笔放在5个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒至少有（
）支铅笔。
7支铅笔放在6个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒至少有（
）支铅笔。
……
100支铅笔放在99个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒至少有（
）支铅笔；（
）支铅笔放在（
）个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒至少有（
）支铅笔。
这样做可以引领学生发现铅笔和笔筒的数量关系，形成对这类问题的一般性理解，总结归纳这一类“抽屉原理”的一般性结论：铅笔数总比笔筒数多1，多的这个1不管放在哪个笔筒，总有一个笔筒至少有2支铅笔。然后，笔者又设计一组题：
5个人抢4个凳子，总有一个凳子至少坐（
）个人。
8只鸽子飞进放在7个鸽巢，总有一个鸽巢至少有（
）只鸽子。
10个苹果放在9个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有（
）个苹果。
这些问题属于抽屉原理类型，能让学生在解释应用中进一步深刻理解蕴含的抽屉原理，进而分析归纳抽屉原理的待放物品数量与抽屉数量的关系，从而初步构建抽屉原理的数学模型。
（作者单位:枣阳市第二实验小学）
责任编辑 张敏
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