摘要：对起重机载荷起升离地阶段的两种常用动力学模型进行了探讨，对它们的特点进行了比较分析。依据“动力学分析模型应与实际系统在能量上保持一致”的原则，结合起重机载荷离地起升工况的特点提出对此阶段之动力学模型进行检验的能量准则，最后使用这一准则评价上述两种动力学模型的优劣。

 

    起重机的载荷离地起升工况是起重机的主要工作工况，也是受力比较严重的工况，由于其过程的复杂性，一直以来都是起重运输行业内的研究热点。通常认为此工况可分为3个阶段：第1阶段从起升机构启动时开始，至起升钢绳滑轮系统消除松弛状态将要受力时结束；第2阶段从起升钢绳滑轮系统张紧受力时开始，至起升质量离地起升时结束；此后至起升质量稳定上升为第3阶段。第1阶段起升机构仅空转、结构不发生振动。从第2阶段开始，结构发生变形并开始振动。为了研究问题的方便，假设起升机构在第1阶段已完成加速并达到额定起升速度，因此第3阶段可认为起升质量已离地并发生自由振动。这样一来，第2阶段(也即载荷离地起升前的振动阶段)就显得最为重要，它将直接确定整个工况的振动形态。

    当前对载荷离地起升工况进行动力学分析主要有两种方法，即解析法和动力有限元法。当起重机可抽象为少自由度模型时(如桥式起重机)，一般使用解析法；当起重机自由度较多时(如塔式起重机)，目前主要借助于动力有限元法。对此工况之第2阶段进行动力学分析常用的有限元计算模型有两种，分别如图1a、b所示。

    图中k₂为起升钢绳滑轮系统的等效刚度；ν₀为第2阶段起升载荷的速度(即起升载荷的额定起升速度)；m₂为起升载荷质量(第2阶段起升载荷不参与振动)；t₂为第2阶段持续时间。这2种模型的不同之处在于，模型a带有钢绳滑轮系统的等效单元，激励载荷反映了起升机构的刚性收绳量；模型b将钢绳滑轮系统的影响计人到外加激励Q中，认为激励载荷线性增至起升载荷重量。

    为了考查上述两种有限元模型，先针对凝聚质量的少自由度系统用上述两种动力学模型进行分析，在探讨模型获得的过程后比较其优劣。因为少自由度起重机具有解析解，可以为我们提供判断的基准，从而为多自由度起重机采用何种有限元动力学模型提供依据。

图1. 载荷离地起升工况第2阶段有限元模型示意图

图2. 起重机载荷离地起升工况第2阶段模型

 

2  载荷离地起升工况第2阶段动力学模型

2.1 系统模型解析解

    多数起重机的振动主要是起升平面内的垂直振动，仅考虑载荷离地起升工况之第2阶段的起重机可抽象为如图2a所示模型，图中m₀为起升机构传动零件转动惯量转化至卷筒周向的质量。此时系统的运动方程为：

 

     m₁——结构在起升质量悬挂点的转化质量；

     k₁——结构在起升质量悬挂点的刚度。

    式(1)需满足以下初始和终止条件：

    (1) m₁初位移和初速度为零，x|_t=0= x|_t=0=0；

    (2) 起升质量离地瞬时，钢绳滑轮系统的弹性力等于m₂的重力，即k₂(ν₀t₂+x|_t=t2)= m₂g。

    使用上述条件可以解得第2阶段m₁的位移响应x及作用时间t₂。

 

    求解第2阶段作用时问t₂的式(3)为一超越方程，可用数值方法求解。

2.2 动力学模型I

    将式(1)作适当变换并用x₁替换x可得：

 

    由式(4)可得此阶段原系统模型的等效动力有限元模型，如图2b所示(可称为动力学模型I)，图中F(t)=-k₂ν₀t，即激励是由起升机构的刚性收绳量而产生的钢绳拉力。此动力学模型的解显然与式(1)的解相同，即

    x₁= x    (5)

    用有限元方法求解此动力学模型时，除应满足系统模型的初始和终止条件外，还应满足以下条件：m₁的初始静平衡位移为δ_st=m₁g/k；初始时k₂处于原长状态，内力为零。此时作用时间t₂可参考文献[1—3]之方法得到，其确定的基本原则为起升载荷离地时刻t₂等效钢绳滑轮系统单元走：的内力与起升载荷重量m₂g相等。使用有限元软件结合该模型可以得到与式(2)之解析解相同的结果。显然，该动力有限元模型可以很方便地推广到图1a所示的多自由度系统。

2.3 动力学模型Ⅱ

    如果只需满足此阶段k₂内力Q的初始和终止条件：Q|_t=0=0、Q|_t=t2=k₂(ν₀t₂+x(t₂)=m₂g，而不考虑其中问形态，则可得作用载荷为Q(t)=-(m₂g/t₃)t，对式(1)做适当变换：

 

    (6)和式(7)的右侧项在t=0和t=t₂时刻相等。由式(7)可得等效动力有限元模型如图2c所示(可称为动力学模型Ⅱ)，这也是许多文献所采用的载荷离地起升工况第2阶段的线性加载模型。

    式中p₀——动力学模型Ⅱ的系统圆频率，

p₀=(k₁/m₁)^1/2

k₂(ν₀t₂+x(t₂))= m₂g可得作用时间t₂的解析求解式为

 

t₂也可参考文献[1—3]之方法得到。显然此动力有限元模型可以推广到图1b所示的多自由度系统。

2.4 两种动力学模型的特点

    图2b、c的两种有限元模型为当前研究起重机载荷离地起升工况第2阶段的常用模型，它们具有各自特点：

    (1)动力学模型I是对实际系统的再现，由其得到的系统运动方程与实际情况完全相同，因此使用该模型用有限元方法求解，结果也是相同的，但在建模时需要考虑钢绳滑轮系统的特殊处理。

    (2)动力学模型Ⅱ中去掉了钢绳滑轮系统，将其影响计入到外加激励中，从而简化了建模，并为与第3阶段的联合求解创造了条件。此外，由于臂架式多自由度起重机的钢绳滑轮系统之等效刚度通常要远大于臂架头部的结构刚度，这一模型可避免因结构刚度矩阵的病态而造成求解困难及减少计算误差。

 

3. 动力学模型评判的能量准则

    对于构造形式和运动情况都很复杂的动力学系统而言，不同的动力学模型会导致不同的分析结果。此时如何评价动力学计算模型的正确性就成为关键问题。对于动力学系统，人们最关心的莫过于其位移和速度，位移主要影响系统的势能，而速度主要影响系统的动能，因此可以通过考查动力学模型的势能和动能情况来判断这一模型的优劣。

    针对起重机载荷离地起升这一具体工况，由于主要关心其在载荷离地后起升过程中的动力学特性，因此保证其在载荷离地前的动力学计算模型在载荷离地瞬时的系统势能和动能与实际情况相符，是确保动力学模型正确性的基本要求，我们把这一要求称为建立动力学模型的“能量准则”。应当指出，由于动能和势能分别代表系统的位移和速度情况，这两者对第3阶段的影响是不同的，因此动能和势能应分别考查。

    2阶段结束瞬时的动能和势能。由于动力学模型I中m₁的位移响应与原系统相同，因此m₁的动能和势能及k₁的势能(略去静平衡位置处的势能，只考虑势能的变化部分)与实际系统完全一致。由式(5)和式(2)可得m₁的动能和足，的势能分别为

 

    此模型中k₂的势能与原系统有所不同，但可通过第3阶段的初始条件加以修正。

    使用式(8)可得动力学模型Ⅱ中m₁的动能和k₁的势能分别为

4  实例仿真

    为了更加直观地说明，本文以文献[2]中3.3节某桥式起重机为例作数值仿真，具体参数如下：m₁=18500kg、m₂=16000kg、k₁=1.2×10⁷N/m、k₂=8×10⁶N/νm，速度ν分别取0.1、0.2、0.3、0.4m/s，解得的两种模型的作用时间t₂列于表1，m₁的位移响应、k₂的内力响应、m₁的动能和k₁的势能在整个阶段内的变化曲线分别如图3～6所示，在t₂时刻的能量数值及误差分别列于表2和表3。

表1  第二阶段作用时间t₂

5. 结论

   (1)图2b所示动力学模型工与原系统具有相同的响应，并保证了能量的一致性，它是对原系统的真实再现。

   (2)由图3可知，由于动力学模型Ⅱ略去了钢绳滑轮系统等效单元，从而导致系统的固有频率、振动周期等动力学特性发生了改变。

   (3)从图4可见，钢绳滑轮系统等效单元走：的真实内力并非直线，此时起升钢绳的受力不仅取决于起升机构起升过程中的刚性收绳量，还受吊点处结构振动位移的影响，等效模型Ⅱ将其作为线性激励是一种简化近似，这种近似会对系统的实际振动产生较大影响。

   (4)由式(10)～式(13)及图5、图6和表2、表3可以看到，动力学模型Ⅱ中Ⅲ。的动能和志，的势能与实际情况存在一定误差。这一误差的产生主要缘于动力学模型Ⅱ对动力系统的改变以及使用了线性加载方式。而这一误差的大小无法预知，它对第3阶段系统振动的影响就难以准确估计。

   (5)依据上述分析，在使用有限元方法对多自由度起重机系统的载荷离地起升工况进行动力学分析时，应以动力学模型工为基础。

[1]. 夏拥军,陆念力,罗冰.关于水平臂式塔机起升动载系数忱的一点讨论[J].工程机械,2005(1):32～36.

[2]. 胡宗武,阎以诵.起重机动力学[M].机械工业出版社  1988.

[3]. 穆远东、陆念力.水平臂式塔式起重机起升动载系数分析[J].建筑机械，2004(1):83～85.

 

夏拥军，罗冰，陆念力

(哈尔滨工业大学机电工程学院，黑龙江  哈尔滨  150001)